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高二理科数学期中试卷 (2)


绍兴一中

2015 学年 第一学期

期中测试试题卷

一、选 择题: 本大题共 8 小题, 每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中, 只 有一项是符合题目要求的. 1. 不等式 | x ? 3 | < 2 的解集是 ( A .{x│x>5 或 x<1} )B D. {x│x>1}

>B. {x│1<x<5} C.{x│-5<x<-1} )A D. 6
[来源

2.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C.4

3.设 ? , ? 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 A.若 l ? ? , ? ? ? ,则 l ? ? C.若 l ? ? , ? / / ? ,则 l ? ?



)C

B.若 l / /? , ? / / ? ,则 l ? ? D.若 l / /? , ? ? ? ,则 l ? ? ( )B

4. 某几何体的三视图如图所示,根据图中数据,可得该几何体的体积是

A.3 2+ 3 C.2 2+3 3

5.在四面体 O-ABC 中, OA =a, OB =b, OC =c,D 为 BC 的中点,E 为 AD 的中点, 则 OE 等于(

??? ?

B. 2+3 3 D.3 2-2 3

??? ?

??? ?

??? ?

)D 1 1 1 B. a+ b+ c 4 4 2 1 1 1 D. a+ b+ c 2 4 4

1 1 1 A. a+ b+ c 2 2 4 1 1 1 C. a+ b+ c 4 2 4 6. 有下列命题: ①若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb ( x, y ? R) ; ②若 p=xa+yb ( x, y ? R) ,则 p 与 a,b 共面; ③若 a、b 共线,则 a 与 b 所在直线平行;

→ → → → ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、 B、 C, 若OP=xOA+yOB+zOC (其中 x、 y、 z∈R), 则 P、A、B、C 四点共面.

其中正确的命题为 A. ① B. ② C. ③ D. ④ 7.如图,在正四棱锥 S ? ABCD 中, E , M , N 分别是 BC, CD, SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论: ① EP ? AC ; ② EP / / BD ;③ EP // 面SBD;④ EP ? 面SAC .其中恒成立的为 ( )A



)B

S

N

A
B
B. ③④ C. ①② D. ②③④

D

E

.

C

M

A. ①③

(第 8 题图)

8.长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,已知二面角 A 1 ? BD ? A 的大小为

? ? ,若空间一条直线 l 与直线 CC1 所成的角为 ,则直线 l 与平面 A 1BD 所成角的取值范围 6 4
是 A. [ (

? 7?
12 12 ,

)C

]

B. [

, ] 12 2

? ?

C. [

? 5?
12 12 ,

]

D. [0,

?
2

]

二、 填空题: 本大题共 7 小题,每小题 4 分, 共 28 分.

9. 已知 a = ( - 1,2,3) , b = (1,1,1) ,则向量 a 在向量 b 方向上的投影为 ________ ,

?

?

?

?

? ? ? 4 3 ,18 a? (a ? b) ? ________. 3
10.一个红色的棱长是 3cm 的正方体,将其适当分割成棱长为 1cm 的小正方体,这样的小正 方体共得______个,二面涂色的小正方体有______个。27,12 11.如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C,D 是展开图上的四点,则在 正方体盒子中, 直线 AB 与 CD 的位置关系是________, ∠ABC 的值为________。 异面, 60
0

D

12. 已知 AB ? (? ?1,0, 2?), CD ? (6, 2? ?1, 2), AB 与 CD 共线, 则 ? ? ? ? ________。

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

7 10

13.如图,设三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为 2,P、Q 分别是侧棱 AA1、CC1 上的点,且 AP =QC1,则四棱锥 B-APQC 的体积为_______.

2 3

14.如图,在三棱锥 A ? BCD 中, ?BCD 是正三角形, 点 A 在平面 BCD 上的射影为 ?BCD 的中心, E , F 分 别是 BC, BA 的中点, 且 EF ? FD ,则 EF 与平面 ABD 所成角等于_______. 90
0

15. 如图, 三棱锥 P ? ABC 的底面是边长为 2 的等边三 角形,若 PA ? PB ? 2 ,二面角 P ? BA ? C 的大小为

60 0 ,则三棱锥 P ? ABC 的外接球的面积等于________.

52 ? 9

P

B

A

C

三、解答题: 本大题共 5 小题, 共 48 分.解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 8 分)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 a , (Ⅰ)求 MN 的长; (Ⅱ)求异面直线 D1M 与 AC 所成角的余弦值。 解 : 分别以 DA, DC, DD1 为 x 轴 , y 轴 , z 轴建立 空 间 直 角 坐 标 系

AN BM ? ? 3。 NC MC1

O ? xyz

,



a 3a a 3a M ( , ,0), N ( , a, ) ………………2 分 4 4 4 4
(Ⅰ) MN ?

10a ………………2 分 4
????? ? ???? a 3a 1 , ,? a ) , AC ? (?a, a,0) , cos ? D1M , AC ?? ………………3 分 4 4 2
1 ………………1 分 2
AD // 中,

(Ⅱ) D1 M ? (

所以异面直线 D1M 与 AC 所成角的余弦值

17. (本小题满分 10 分) 如图所示, 在侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD-

BC,AD⊥AB,AB= 2 ,AD=2,BC=4,AA1=2, E、F 分别是 DD1, AA1 的中点. (I)证明:EF // 平面 B1C1CB; (II)证明:平面 A1 BC1 ? 平面 B1C1 EF ; (Ⅲ)求 BC1 与平面 B1C1 EF 所成的角的正弦值. (I) ∴ EF // AD , 证明:∵ E , F 分别是 DD1 , AA 1 的中点

B C1CB 又 AD // BC , EF ? 平面,且 BC ? 平面 ,∴EF // 平面 B1C1CB………………3 分
设 A1 B ? B1 F ? G , 连 C1G , 在 矩 形 ABB 1A 1 中 , AB =

2 , AA1 = 2, 所 以

AB AA1 , Rt?A1 B1 F ∽ Rt?A1 AB , ∴ A1 B ? B1 F , 又 BB1 ? 平 面 A1 B1C1 D1 , ∴ ? A1 F A1 B
BC1 ? BB1 , 又 AD //
BC , AD ⊥ AB , ∴ B1C1 ? A1 B1 , ∴ B1C1 ? 平 面

ABB1 A1 , A1 B ? B1C1 , ∴ A1 B ? 平面 B1C1 EF , 又 A1 B ? 平面 A1 BC1 , ∴平面 A1 BC1 ? 平
面 B1C1 EF ………………4 分 ( Ⅲ ) 值,

?BC1G



BC1

与 平 面

B1C1 EF 所 成 的 角 的 正 弦

AB1 BG 30 2 2 , BG ? , BC1 ? 20 , sin ?BC1G ? ………………3 分 ? 15 B1 F BB1 3
法二

18.(本小题满分 10 分)如图,弧 AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的 中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足 FB ? FD ? 5a ,

FE ? 6a .
(Ⅰ)证明: EB ? FD ; (Ⅱ)已知点 Q, R 分别为线段 FE, FB 上的点, 使得 FQ ? ? FE, FR ? ? FB, 求当 RD 最短时, 平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值. (Ⅰ)证明:∵ E 为弧 AC 的中点, AB ? BC , AC 为直径,∴ EB ? AD . A ∵ EF ? 6a ? ( 5a) ? a ? BF ? BE ,∴ EB ? FB.
2 2 2 2 2 2

F

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

R Q B C

D

E
…………4 分

∵ BF ? BD ? B, ∴ EB ? 平面 BDF . ∵ FD ? 平面 BDF , ∴ EB ? FD. (Ⅱ)过 D 作 HD ∥ QR .

∵ FQ ? ? FE, FR ? ? FB, ∴ QR ∥ EB. ∴ HD ∥ EB. ∵ D ? 平面 BED ? 平面 RQD , ∴ HD 为平面 BED 与平面 RQD 的交线. ∵ BD, RD ? 平面 BDF , EB ? 平面 BDF , ∴ HD ? BD, HD ? RD. ∴ ? RDB 为平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的平面角.

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

2 5a BR 5 5 ? ?BRD 是直角三角形,? sin ?BDR ? .…………6 分 ? ? BD 2a 5
19.(本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? 1 ? 2x ? 1 ? x (Ⅰ)解不等式 f ? x ? ? 4 ; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 a ? 2a ? 1 ? x ? f ? x ? 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

20.(本小题满分 10 分)在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,A1A=AB=3 2 ,AC=3,

?CAB ? 90?, P 、Q 分别为棱 BB1、CC1 上的点,且
1 2 BP ? BB1 , CQ ? CC1 . 3 3
(Ⅰ)求平面 APQ 与面 ABC 所成二面角的大小. (Ⅱ)在线段 A1B(不包括两端点)上是否存在一点 M,使 AM+MC1 最小? 若存在,求出最小值;若不存在,说明理由.

解: (1) 几何法:设 QP ? CB ? E ,连 AE,过 C 作 CG ? AE,垂足为 G,,QG, ∵CQ ? 平面 ABC,∴QG ? AE, ?QGC 为平面 APQ 与面 ABC 所成二面角的平面角,由余弦 定理得 AE ? 9, 由面积相等得 CG ? 2 2 , CG ? CQ , ?QGC ? 450 , 平面 APQ 与面 ABC 所成二面角的大小为 45 .………………5 分 法二:建立如图所示空间直角坐标系 A ( x, y, z ) A(0,0,0) ,P(3 2 ,0, 2 ) ,Q(0,3,2 2 ). 设平面 APQ 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z )
0

? ?n1 ? AP ? 0 ? 3 2 x ? 2 z ? 0. ? ? ?n1 ? AQ ? 0 ? 3 y ? 2 2 z ? 0.
令 z ? 3 ,则 x ? ?1, y ? ?2 2 ,? n1 ? (?1,?2 2 ,3) 平面 ABC 的一个法向量 n2 ? (0,0,1).

? cos(n1 , n2 ) ?

3 2 ? . ∴平面 APQ 与面 ABC 所成的锐角大小为 45°. 2 1? 8 ? 9

(2)沿 A1B 将面 A1BC1 与面 A1BA 展开,连结 AC1 与 A1B 交于点 M, 此时 AM+MC1 有最小值. ∵ ?A1 AB ? 90?, AA 1 ? AB,? ?A 1 AB ? 45?, 又 C1A1⊥面 ABB1A1, ∴C1A1⊥A1B.,∴△AA1C1 中,∠AA1C1=135° AC1=

AA12 ? A1C12 ? 2 AA1 ? A1C1 ? cos 135 ? ? 18 ? 9 ? 18 ? 3 5.

∴存在点 M,使 AM+AC1 取最小值为 3 5. ………………5 分


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