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【步步高】2016高考数学大一轮复习 4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式学案 理 苏教版


学案 17

同角三角函数的基本关系式及诱导公式

π 导学目标: 1.能利用单位圆中的三角函数线推导出 ±α ,π ±α 的正弦、余弦、正 2 sin x 2 2 切的诱导公式.2.理解同角三角函数的基本关系式:sin x+cos x=1, =tan x. cos x

自主梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方

关系:___________________________. (2)商数关系:___________________________. 2.诱导公式 (1)sin(α +2kπ )=____________,cos(α +2kπ )=____________, tan(α +2kπ )=__________,k∈Z. (2)sin(-α )=__________,cos(-α )=__________,tan(-α )=__________. (3)sin(π -α )=__________, cos(π -α )=__________, tan(π -α )=__________. (4)sin(π +α )=__________, cos(π +α )=__________, tan(π +α )=__________. π π ? ? ? ? ?π ? (5)sin? -α ?=__________,cos? -α ?=________.(6)sin? +α ?=________, 2 2 ? ? ? ? ?2 ? π ? ? cos? +α ?=__________. ?2 ? 3.诱导公式的作用是把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,一般步骤为:

上述过程体现了化归的思想方法. 自我检测 1.(2010?全国Ⅰ改编)cos 300°=________. 1 2.(2009?陕西改编)若 3sin α +cos α =0,则 2 的值为________. cos α +sin 2α 3 3.(2010?福建龙岩一中高三第三次月考)α 是第一象限角,tan α = ,则 sin α = 4 ________. 17π 17π 4.cos(- )-sin(- )=________. 4 4 π 2 2π 5.已知 cos( -α )= ,则 sin(α - )=________. 6 3 3

探究点一 利用同角三角函数基本关系式化简、求值 π 1 例 1 已知- <x<0,sin x+cos x= . 2 5
1

(1)求 sin x-cos x 的值; tan x (2)求 的值. 2sin x+cos x

2

2

变式迁移 1 已知 sin(3π +α )=2sin?

?3π +α ?,求下列各式的值. ? ? 2 ?

sin α -4cos α 2 (1) ;(2)sin α +sin 2α . 5sin α +2cos α

探究点二 利用诱导公式化简、求值 π? 5 ? 例 2 (2010?安徽合肥三模)已知 sin?α + ?=- ,α ∈(0,π ). 2? 5 ? π 3 π ? ? ? ? sin?α - ?-cos? +α ? 2? ? ? 2 ? (1)求 的值; sin?π -α ?+cos?3π +α ? 3π ? ? (2)求 cos?2α - ?的值. 4 ? ?

变式迁移 2

设 f(α ) =

2sin?π +α ?cos?π -α ?-cos?π +α ? (1 + 2sin ? 3π ? ? 2 2?π 1+sin α +cos? +α ?-sin ? +α ? ? 2 ? ?2 ?

? 23π ?=________. α ≠0),则 f?- ? 6 ? ? 探究点三 综合应用 例 3 在△ABC 中,若 sin(2π -A)=- 2sin(π -B), 3cos A=- 2cos(π -B), 求△ABC 的三个内角.

π π 变式迁移 3 是否存在角 α , β , 其中 α ∈(- , ), β ∈(0, π ), 使得等式 sin(3π 2 2 π -α )= 2cos( -β ), 3cos(-α )=- 2cos(π +β )同时成立.若存在,求出 α , 2 β 的值;若不存在,请说明理由.

2

转化与化归思想 1 (14 分)已知 α 是三角形的内角,且 sin α +cos α = . 5 (1)求 tan α 的值; 1 (2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. 2 cos α -sin α 1 2 2 多角度审题 由 sin α +cos α = 应联想到隐含条件 sin α +cos α =1, 要求 tan α , 5 应当切化弦,所以只要求出 sin α ,cos α 即可,(2)需要把弦化成切. 【答题模板】 例 1 ? ?sin α +cos α = , 5 解 (1)联立方程? 2 2 ? ?sin α +cos α =1, ① ②

1 2 由①得 cos α = -sin α ,将其代入②,整理得 25sin α -5sin α -12=0.[2 分] 5 4 sin α = ? ? 5 是三角形的内角,∴? 3 cos α =- ? ? 5

∵α

,[4 分]

4 ∴tan α =- .[7 分] 3 sin α +cos α 2 2 2 2 cos α 1 sin α +cos α tan α +1 (2) 2 = = 2 = ,[10 分] 2 2 2 2 2 cos α -sin α cos α -sin α cos α -sin α 1-tan α 2 cos α ?-4?2+1 ? ? 2 4 1 tan α +1 ? 3? 25 ∵tan α =- ,∴ 2 = = =- .[14 分] 2 2 3 cos α -sin α 1-tan α 4 7 ? ?2 1-?- ? 3 ? ? 【突破思维障碍】 1 2 2 由 sin α +cos α = 及 sin α +cos α =1 联立方程组, 利用角 α 的范围, 应先求 sin 5 α 再求 cos α .(1)问切化弦即可求.(2)问应弦化切,这时应注意“1”的活用. 【易错点剖析】 在求解 sin α ,cos α 的过程中,若消去 cos α 得到关于 sin α 的方程,则求得两 解,然后应根据 α 角的范围舍去一个解,若不注意,则误认为有两解. 1.由一个角的三角函数值求其他三角函数值时,要注意讨论角的范围. 2.注意公式的变形使用,弦切互换、三角代换、消元是三角代换的重要思想,要尽量 少开方运算,慎重确定符号.注意“1”的灵活代换. 3.应用诱导公式,重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断.
2 2

(满分:90 分)
3

一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 35π 1.(2011?苏州月考)cos(- )的值是________. 3 5 2.已知 tan α =- ,且 α 为第二象限角,则 sin α 的值等于________. 12 sin?π -α ?cos?2π -α ? 31π 3.已知 f(α )= ,则 f(- )的值为________. cos?-π -α ?tan α 3 4.(2011?连云港调研)设 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ),其中 a、b、α 、β 都是非零实数,若 f(2 010)=-1,则 f(2 011)=________. 5.(2010?全国Ⅰ改编)记 cos(-80°)=k,则 tan 100°=________. 1 1+2sin?π -α ?cos?-2π -α ? 6.已知 tan α = ,则 的值为________. 2 5π 2 2 sin ?-α ?-sin ? -α ? 2 2 2 2 2 7.sin 1°+sin 2°+sin 3°+?+sin 89°=________. sin α +cos α 8 .(2010?东北育才学校高三第一次模拟考试 ) 若 tan α = 2 ,则 + sin α -cos α 2 cos α =________. 二、解答题(共 42 分) sin?π -α ?cos?2π -α ?tan?-α +π ? 9.(14 分)已知 f(α )= . -tan?-α -π ?sin?-π -α ? (1)化简 f(α ); 3π 1 (2)若 α 是第三象限角,且 cos(α - )= ,求 f(α )的值. 2 5

sin?kπ -α ??cos[?k-1?π -α ] 10.(14 分)化简: (k∈Z). sin[?k+1?π +α ]?cos?kπ +α ?

11.(14 分)已知 sin θ ,cos θ 是关于 x 的方程 x -ax+a=0(a∈R)的两个根. 3 π 3 π (1)求 cos ( -θ )+sin ( -θ )的值; 2 2 1 (2)求 tan(π -θ )- 的值. tan θ

2

答案

自主梳理

sin α 2 2 1.(1)sin α +cos α =1 (2) =tan α 2.(1)sin α cos α tan α (2) cos α -sin α cos α -tan α (3)sin α -cos α -tan α (4)-sin α -cos α tan α (5)cos α sin α (6)cos α -sin α 自我检测
4

1.

1 2

1 解析 cos 300°=cos(360°-60°)=cos 60°= . 2 10 2. 3 2 2 解析 ∵3sin α +cos α =0,sin α +cos α =1, 1 2 ∴sin α = , 10 1 1 ∴ = 2 2 cos α +sin 2α cos α +2sin α ??-3sin α ? 1 10 = = . 2 1-7sin α 3 3 3. 5 4. 2 解析 17π 17π π π π cos(- )-sin(- )=cos(-4π - )-sin(-4π - )=cos(- )- 4 4 4 4 4

π sin(- ) 4 π π =cos +sin = 2. 4 4 2 5.- 3 2π 2π 解析 sin(α - )=-sin( -α ) 3 3 π π π 2 =-sin[( -α )+ ]=-cos( -α )=- . 6 2 6 3 课堂活动区 例 1 解题导引 学会利用方程思想解三角函数题, 对于 sin α +cos α , sin α cos α , sin α -cos α 这三个式子,已知其中一个式子的值,就可以求出其余二式的值,但要注 意对符号的判断. 1 解 由 sin x+cos x= 得, 5 1 24 1+2sin xcos x= ,则 2sin xcos x=- . 25 25 π ∵- <x<0,∴sin x<0,cos x>0, 2 即 sin x-cos x<0.则 sin x-cos x 2 2 =- sin x-2sin xcos x+cos x 24 7 =- 1+ =- . 25 5 2 2 (1)sin x-cos x=(sin x+cos x)(sin x-cos x) 1 ? 7? 7 = ??- ?=- . 5 ? 5? 25

5

1 sin x+cos x= ? ? 5 (2)由? 7 sin x-cos x=- ? ? 5 3 ? ?sin x=-5 得? 4 ? ?cos x=5



3 ,则 tan x=- . 4

3 - 4 tan x 15 即 = = . 2sin x+cos x 6 4 8 - + 5 5 变式迁移 1 解 ∵sin(3π +α )=2sin?

?3π +α ?, ? ? 2 ?

∴-sin α =-2cos α . ∴sin α =2cos α ,即 tan α =2. 方法一 (直接代入法): 2cos α -4cos α 1 (1)原式= =- . 5?2cos α +2cos α 6 2 2 2 sin α +2sin α cos α sin α +sin α 8 (2)原式= = = . 2 2 sin α +cos α 1 5 2 2 sin α + sin α 4 方法二 (同除转化法): tan α -4 2-4 1 (1)原式= = =- . 5tan α +2 5?2+2 6 2 (2)原式=sin α +2sin α cos α 2 2 sin α +2sin α cos α tan α +2tan α 8 = = = . 2 2 2 sin α +cos α tan α +1 5

? ? 三角函数的诱导公式记忆有一定规律:? π +α ?的本质是:奇变偶 ?2 ? 不变(对 k 而言, 指 k 取奇数或偶数), 符号看象限(看原函数, 同时可把 α 看成是锐角). 诱 导公式的应用是求任意角的三角函数值,其一般步骤:(1)负角变正角,再写成 2kπ +α , 0≤α <2π ;(2)转化为锐角三角函数. π? 5 ? 解 (1)∵sin?α + ?=- ,α ∈(0,π ), 2 5 ? ?
例 2 解题导引

k

5 2 5 ,sin α = . 5 5 π? ? ?3π ? sin?α - ?-cos? +α ? 2? -cos α -sin α 1 ? ? 2 ? ∴ = =- . sin?π -α ?+cos?3π +α ? sin α -cos α 3 ∴cos α =- 5 2 5 ,sin α = , 5 5 4 3 ∴sin 2α =- ,cos 2α =- , 5 5 3π ? 2 2 2 ? cos?2α - ?=- cos 2α + sin 2α =- . 4 ? 2 2 10 ? (2)∵cos α =- 变式迁移 2 3
6

?-2sin α ??-cos α ?+cos α 解析 ∵f(α )= 2 2 1+sin α +sin α -cos α 2sin α cos α +cos α cos α ?1+2sin α ? 1 = = = , 2 2sin α +sin α sin α ?1+2sin α ? tan α 1 1 1 ? 23π ?= ∴f?- = = = 3. ? 6 ? 23π ? π? π ? ? ? tan?- tan?-4π + ? tan 6 ? 6? 6 ? ? ? 例 3 解题导引 先利用诱导公式化简已知条件,再利用平方关系求得 cos A.求角时, 一般先求出该角的某一三角函数值,再确定该角的范围,最后求角.诱导公式在三角形中常 A B C π 用结论有:A+B=π -C; + + = . 2 2 2 2 解
2

① ?sin A= 2sin B, 由已知得? ? 3cos A= 2cos B, ②
2 2

① +② 得 2cos A=1,即 cos A=± (1)当 cos A=

2 . 2

2 3 时,cos B= , 2 2 又 A、B 是三角形的内角, π π 7 ∴A= ,B= ,∴C=π -(A+B)= π . 4 6 12 2 3 时,cos B=- . 2 2 又 A、B 是三角形的内角, 3 5 ∴A= π ,B= π ,不合题意. 4 6 π π 7 综上知,A= ,B= ,C= π . 4 6 12 变式迁移 3 解 假设满足题设要求的 α ,β 存在,则 α ,β 满足 (2)当 cos A=-

?sin α = 2sin β ? ? 3cos α = 2cos β
2 2 2

① ②
2

① +② ,得 sin α +3(1-sin α )=2, 1 2 2 即 sin α = ,sin α =± . 2 2 π π π π ∵- <α < ,∴α = 或 α =- . 2 2 4 4 π 3 (1)当 α = 时,由②得 cos β = , 4 2 π ∵0<β <π ,∴β = . 6 π 3 π (2)当 α =- 时,由②得 cos β = ,β = ,但不适合①式,故舍去. 4 2 6 π π 综上可知,存在 α = ,β = 使两个等式同时成立. 4 6 课后练习区 1 1. 2

7

35π 35π π 解析 cos(- )=cos =cos(12π - ) 3 3 3 π 1 =cos = . 3 2 5 2. 13 5 解析 已知 tan α =- ,且 α 为第二象限角, 12 有 cos α =- 5 所以 sin α = . 13 1 3.- 2 sin α cos α 31π 解析 ∵f(α )= =-cos α ,∴f(- ) -cos α tan α 3 31π π π 1 =-cos(- )=-cos(10π + )=-cos =- . 3 3 3 2 4.1 解析 ∵f(2 010)=asin(2 010π +α )+bcos(2 010π +β ) =asin α +bcos β =-1, ∴f(2 011)=asin(2 011π +α )+bcos(2 011π +β ) =asin[2 010π +(π +α )]+bcos[2 010π +(π +β )] =asin(π +α )+bcos(π +β )=-(asin α +bcos β )=1. 2 1-k 5.- cos α =- 2 2 sin α +cos α
2

1 12 =- , 2 1+tan α 13

k

解析 ∵cos(-80°)=cos 80°=k, 2 2 sin 80°= 1-cos 80°= 1-k . 2 1-k ∴tan 100°=-tan 80°=- .

k

6.-3 1+2sin α cos α ?sin α +cos α ? 解析 原式= = 2 2 2 2 sin α -cos α sin α -cos α sin α +cos α tan α +1 = = =-3. sin α -cos α tan α -1 89 7. 2 2 2 2 2 解析 sin 1°+sin 2°+sin 3°+?+sin 89° 2 2 2 2 2 =sin 1°+sin 2°+?+sin 45°+?+sin (90°-2°)+sin (90°-1°) ? 2?2 2 2 2 2 =sin 1°+sin 2°+?+? ? +?+cos 2°+cos 1° ?2? 1 1 2 2 2 2 2 2 = (sin 1°+ cos 1°)+ (sin 2°+ cos 2°)+?+ (sin 44°+ cos 44°)+ = 44 + 2 2 89 = . 2 16 8. 5 2 tan α +1 cos α 解析 原式= + 2 2 tan α -1 sin α +cos α
8
2

1 1 16 =3+ 2 =3+ = . tan α +1 5 5 sin?π -α ?cos?2π -α ?tan?-α +π ? 9.解 (1)f(α )= -tan?-α -π ?sin?-π -α ? sin α cos α ?-tan α ? = = - cos tan α sin α α .??????????????????????(7 分) 3π 1 (2)∵α 是第三象限角,且 cos(α - )=-sin α = , 2 5 1 ∴sin α =- ,?????????????????????????????(10 5 分) 1 2 2 6 2 ∴cos α =- 1-sin α =- 1-?- ? =- , 5 5 ∴f(α )=-cos α = 2 6 .????????????????????????? 5

(14 分) 10.解 当 k 为偶数 2n (n∈Z)时, sin?2nπ -α ??cos[?2n-1?π -α ] 原式= sin[?2n+1?π +α ]?cos?2nπ +α ? sin?-α ??cos?-π -α ? = sin?π +α ??cos α -sin α ?cos?π +α ? -cos α = = = - -sin α ?cos α cos α 1;????????????????????(6 分) 当 k 为奇数 2n+1 (n∈Z)时, sin[?2n+1?π -α ]?cos?2nπ -α ? 原式= sin[?2n+2?π +α ]?cos[?2n+1?π +α ] sin?π -α ??cos?-α ? sin α ?cos α = = = - sin?2π +α ??cos?π +α ? sin α ??-cos α ? 1.???????????????(12 分) ∴当 k∈Z 时,原式=-1.????????????????????????(14 分) 11.解 由已知原方程的判别式 Δ ≥0, 2 即(-a) -4a≥0,∴a≥4 或 a≤0.?????????????????????(3 分) ? ?sin θ +cos θ =a 2 2 又? ,(sin θ +cos θ ) =1+2sin θ cos θ ,则 a -2a-1= ?sin θ cos θ =a ? 0,????(6 分) 从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去), 因 此 sin θ + cos θ = sin θ cos θ = 1 - 2.???????????????????(8 分) 3 π 3 π 3 3 (1)cos ( -θ )+sin ( -θ )=sin θ +cos θ 2 2 2 2 =(sin θ +cos θ )(sin θ -sin θ cos θ +cos θ ) = (1- 2)[1 - (1- 2)] = 2 - 2. ????????????????????? (11 分)

9

1 1 (2)tan(π -θ )- =-tan θ - tan θ tan θ sin θ cos θ 1 = - ( + ) = - cos θ sin θ sin θ cos θ 2.????????????(14 分)

= -

1 1- 2

= 1 +

10


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