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1-2-3空间几何体的直观图 课件(人教A版必修2)


成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修2

第一章
空间几何体

第一章

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1.1.2

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第一章
1. 2 空间几何体的三视图和直观图

第一章

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第一章
1.2.3 空间几何体的直观图

第一章

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课前自主预习 课堂基础巩固 思路方法技巧 课后强化作业 建模应用引路

第一章

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课前自主预习

第一章

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温故知新 1.给出一个空间图形,如何把它画在平面内,使得它既 富有立体感又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关 系,是我们本节课研究的重点. 2.初中我们就学会了在平面上画正方体和长方体,它们 的六个面只有两个面画成了正方形或长方形,其余各面都画成 了平行四边形,这样画出的几何体才有立体感.

第一章

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完成以下练习为学新知打下基础: 1.下列图形中,采用中心投影(透视)画法的是( )

A.(1)(3) C.(1)(4)

B.(2)(3) D.(2)(4)

[答案] C

第一章

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2.已知某空间几何体的三视图如图所示,则此几何体为 ( )

第一章

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A.圆台 C.四棱柱

B.四棱锥 D.四棱台

[答案] D

第一章

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3.下列几何体中,正视图、侧视图、俯视图都相同的几 何体的序号是( )

A.(1)(2) C.(3)(4)

B.(2)(3) D.(1)(4)

[答案] D
第一章 1.1 1.1.2

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新课引入 如图所示的建筑物是江南著名古镇之一的乌镇,它是由不 同的几何体组合而成的.建筑工人在建造时要依据工程师设计 的图纸进行施工.工程师是利用什么方法画出图纸呢?

第一章

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自主预习 阅读教材 P16-19,回答: 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 (1)在已知图形中取互相 垂直 的 x 轴和 y 轴,两轴相交于 点 O.画直观图时,把它们画成对应的 x′轴与 y′轴,两轴交 于点 O′,且使∠x′O′y′=45° (或 135° ),它们确定的平面 表示水平面.

第一章

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(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段,在直观图中分别 画成 平行 于 x′轴或 y′轴的线段. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段, 在直观图中保持原长度
不变 ,平行于 y 轴的线段,长度变为原来的 一半.

第一章

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[破疑点]用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放置的 平面图形的直观图的画法,而画水平放置的平面图形的关键是 确定多边形的顶点.因为多边形顶点的位置一旦确定,依次连 接这些顶点就可画出多边形.

第一章

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在已知图形中平行于 x 轴的线段 AB=6cm, 则在直观图中 线段 A′B′=________cm;在已知图形中平行于 y 轴的线段 CD=4cm,则在直观图中线段 C′D′=________cm.

[答案] 6 2

第一章

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[解析]

由于平行于 x 轴的线段在直观图中保持原长度不

变, 则 A′B′=AB=6cm; 由于平行于 y 轴的线段在直观图中 1 长度变为原来的一半,则 C′D′= CD=2cm. 2

第一章

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2.画空间几何体的直观图的步骤 (1)在几何体中取水平平面,作互相垂直的轴 Ox,Oy,再 作 Oz 轴,使∠xOy=90° ,∠xOz=90° . (2)画出与 Ox, Oy, Oz 对应的轴 O′x′, O′y′, O′z′, 使∠x′O′y′=45° (或 135° ), ∠x′O′z′=90° , x′O′y′ 所确定的平面表示水平平面.

第一章

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(3)几何体中,平行于 x 轴、y 轴或 z 轴的线段,在直观图 中分别画成 平行 于 x′轴、y′轴或 z′轴的线段,并使它们 和所画坐标轴的位置关系,与已知图形中相应线段和原坐标轴 的位置关系相同. (4)几何体中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中保持长 度 不变 ,平行于 y 轴的线段,长度为原来的 一半. (5)擦除作为辅助线的坐标轴, 就得到了空间几何体的直观 图.

第一章

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[破疑点](1)用斜二测画法画几何体的直观图时,与画水平 放置的平面图形的直观图相比,只是多画一个与x轴、y轴都垂 直的z轴,并且平行于z轴的线段的平行性和长度都不变,在直 观图中,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和 z′O′x′表示直立平面.

第一章

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(2)画几何体的直观图时,如果不作严格要求,图形尺寸 可以适当选取.用斜二测画法画图的角度也可以自定,但要 求图形具有一定的立体感. (3)斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.

第一章

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在空间几何体中,平行于z轴的线段AB=10cm,则在直观 图中对应的线段A′B′=________cm.

[答案] 10

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[解析]

由于平行于z轴的线段在直观图中保持长度不

变,则A′B′=AB=10cm.

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思路方法技巧

第一章

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命题方向

水平放置的平面图形直观图的画法

[例1] [分析]

画正五边形的直观图. 建立坐标系xOy后,B、E两点不在坐标轴上或

平行于坐标轴的直线上,故需作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于 H.

第一章

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[画法]

(1)以正五边形的中心为原点O,建立如图(1)所示

的直角坐标系xOy,再建立如图(2)所示的坐标系x′O′y′, 使∠x′O′y′=45° ;

第一章

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(2)在图(1)中作BG⊥x轴于G,EH⊥x轴于H,在坐标系 x′O′y′中作O′H′=OH,O′G′=OG,O′A′= 1 2

1 OA,O′F′= 2 OF,过F′作C′D′∥x′轴使C′D′=CD 且F′为C′D′的中点.

第一章

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(3)在平面x′O′y′中,过G′作G′B′∥y′轴,且 1 1 G′B′= BG,过H′作H′E′∥y′轴,且H′E′= HE, 2 2 连接A′B′,B′C′、C′D′、D′E′、E′A′,得五边 形A′B′C′D′E′为正五边形ABCDE的平面直观图.

第一章

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如图所示,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4cm,CD= 2cm,∠DAB=30° ,AD=3cm,试画出它的直观图.

第一章

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[分析]

以AB所在直线为x轴,以A为原点建立平面直角

坐标系.只需确定四个顶点A,B,C,D在直观图中的相应点 即可.

第一章

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[画法]

步骤:

(1)如图a所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x 轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图b所示,画出 对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45° .

第一章

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(2)在图a中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在x′轴上取 3 A′B′=AB=4cm,A′E′=AE= 3 ≈2.598 (cm);过点 2 1 1 3 E′作E′D′∥y′轴,使E′D′= ED= × =0.75(cm), 2 2 2 再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2cm.

第一章

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(3)连接A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一 些辅助线,如图c所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作 的直观图.

第一章

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[反思]在画水平放置的平面图形的直观图时,选取适当的 直角坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点 在坐标轴上,便于画点;原图中的共线点在直观图中仍是共 线点;原图中的共点线,在直观图中仍是共点线;原图中的 平行线,在直观图中仍是平行线.本题中,关键在于点D′的 位置的确定,这里我们采用作垂线的方法,先找到垂足E的对 应点E′,再去确定D′的位置.

第一章

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命题方向

画几何体的直观图

[例2]

用斜二测画法画出六棱锥P-ABCDEF的直观

图,其中底面ABCDEF是正六边形,点P在底面的投影是正 六边形的中心O(尺寸自定).

第一章

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[解析]

画法:(1)画六棱锥P-ABCDEF的底面.

①在正六边形ABCDEF中,取AD所在直线为x轴,对称轴 MN所在直线为y轴,两轴相交于O(如图1所示),画相应的x′ 轴和y′轴、z′轴,三轴交于O′,使∠x′O′y′=45° ,∠ x′O′z′=90° (如图2所示).

第一章

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②在图2中,以O′为中点,在x′轴上取A′D′=AD, 1 在y′轴上取M′N′= MN,以点N′为中点画B′C′平行于 2 x′轴,并且等于BC;再以M′为中点画E′F′平行于x′ 轴,并且等于EF. ③连接A′B′,C′D′,D′E′,F′A′得到正六边 形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′.

第一章

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(2)画六棱锥P-ABCDEF的顶点,在O′z′轴上截取 O′P′=OP. (3)成图.连接P′A′,P′B′,P′C′,P′D′, P′E′,P′F′,并擦去x′轴,y′轴,z′轴,便得到六棱 锥P-ABCDEF的直观图P′-A′B′C′D′E′F′(图3).

第一章

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用斜二测画法画长、宽、高分别是4cm,3cm,2cm的长方 体ABCD-A′B′C′D′的直观图.

第一章

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[画法]

(1)画轴.如图①所示,画x轴、y轴、z轴,三轴

相交于点O,使∠xOy=45° ,∠xOz=90° . (2)画底面.以点O为中点,在x轴上取线段MN,使MN= 3 4cm;在y轴上取线段PQ,使PQ= 2 cm.分别过点M和点N作y轴 的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为 A,B,C,D,四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

第一章

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(3)画侧棱,过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线,并 在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′,BB′,CC′, DD′. (4)成图.顺次连接A′,B′,C′,D′,并加以整理 (擦掉辅助线,将被遮挡的线改为虚线),就得到长方体的直观 图(如图②).

第一章

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第一章

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[反思] 本原则:

利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基

①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下,长度 和角度可适当选取.为了增强立体感,被挡住的部分通常用 虚线表示. ②画法规则可简记为:两轴夹角为45° ,竖轴垂直仍不 变,平行不变,长度变,横竖不变,纵折半. ③画空间几何体的直观图,要注意选取适当的原点,建 系画轴.

第一章

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探索延拓创新

第一章

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命题方向
[例3]

由三视图画直观图

由几何体的三视图如图所示,用斜二测画法画

出它的直观图.

第一章

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[分析]

先根据该几何体的三视图得到该几何体的上部是

一个圆锥,下部是一个圆台,再利用“斜二测画法”画出该 几何体的直观图.

第一章

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[画法]

(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=

45° ,∠xOz=90° . (2)画圆台的两底面.利用斜二测画法,画出底面⊙O,在 z轴上截取OO′,使OO′等于三视图中相应的高度,过O′ 作Ox的平行线O′x′,作Oy的平行线O′y′,利用O′x′与 O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样).

第一章

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(3)画圆锥的顶点.在Oz上取一点P,使PO′等于三视图 中相应的高度. (4)成图.连接PA′,PB′,A′A,B′B,整理得到三 视图表示的几何体的直观图,如图②.

第一章

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[反思]

由三视图画几何体的直观图,首先要认清几何体

的形状与大小,这是解决此类问题的关键,然后按斜二测画 法规则及其步骤作出其直观图.

第一章

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利用下图所示的三视图,画出它的直观图.

第一章

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[分析]

由正视图和俯视图知该几何体为柱体,由侧视图

知,该几何体是一横放的三棱柱.

第一章

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[解析]

该几何体是一个三棱柱,直观图如下图所示

第一章

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下图是一个几何体的直观图,画出它的三视图.

第一章

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[解析]

三视图如图所示.

第一章

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[小结]三视图与直观图的异同 剖析:如下表所示
两种视图 相同点与联系 都是空间几何体的表现形 式,已知一种形式可转化为 另一种形式.三视图需有一 直观图 定的空间想象能力才能看 懂,供较专业的人们使用. 不同点 从三个不同位置观察得出的是三视 图,它能体现各部分的准确比例. 从一个位置观察而得出的是直观 图,它能直观地体现几何体的形 状,但某些方向上的尺寸失真.

三视图

第一章

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建模应用引路

第一章

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命题方向 [例4]

直观图的还原

如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图

是一个底角为45° 、腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面 图形的面积是( )

第一章

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1 2 A.2+ 2 C.1+ 2

2 B.1+ 2 D.2+ 2

[答案] D

第一章

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[解析]

如图所示,∵A′D′∥B′C′,

∴AD∥BC.

第一章

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∵∠A′B′C′=45° , ∴∠ABC=90° . ∴AB⊥BC. ∴四边形ABCD是直角梯形. 其中,AD=A′D′=1,BC=B′C′=1+ 2, ∴S梯形ABCD=2+ 2. 2 ,AB=

第一章

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[反思]

由直观图还原为原图是画直观图的逆过程,有两

个量发生了变化,一是∠x′O′y′由45° 恢复为∠xOy= 90° ,二是与O′y′平行的线段,在平面xOy中的长度是直观 图中的2倍.

第一章

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如图所示,正方形O′A′B′C′的边长为1,它是水平 放置的一个平面图形的直观图,则原图形的周长是多少?

第一章

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[ 解]

原图形为

OABC为平行四边形, OA=1,AB= OA2+OB2=3, ∴四边形OABC周长为8.

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课堂基础巩固

第一章

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1.下列关于直观图的说法不正确的是(

)

A.原图形中平行于y轴的线段,对应线段平行于直观图 中y′轴,长度不变 B.原图形中平行于x轴的线段,对应线段平行于直观图 中x′轴,长度不变

第一章

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C.画与直角坐标系xOy对应的x′O′y′时,∠ x′O′y′可以画成135° D.在画直观图时,由于选轴的不同所画直观图可能不同

[答案] A
[解析] 平行于y轴的线段,直观图中长度变为原来的一

半,故A错.

第一章

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2.如果平面图形中的两条线段平行且相等,那么在它的 直观图中对应的这两条线段( A.平行且相等 C.相等不平行 )

B.平行不相等 D.既不平行也不相等

[答案] A

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3.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两 边平行于x轴、y轴,则在直观图中,∠A′=( A.45° C.90° B.135° D.45° 或135° )

[答案] D

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[解析]

因∠A的两边平行于x轴、y轴,故∠A=90° ,在

直观图中,按斜二测画法规则知∠x′O′y′=45° 或135° , 即∠A′=45° 或135° .

第一章

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4.AB=2CD,AB∥x轴,CD∥y轴,已知在直观图中, AB的直观图是A′B′,CD的直观图是C′D′,则( A.A′B′=2C′D′ C.A′B′=4C′D′ B.A′B′=C′D′ 1 D.A′B′=2C′D′ )

[答案] C

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[解析]

∵AB∥x轴,CD∥y轴,

∴AB=A′B′,CD=2C′D′, ∴A′B′=AB=2CD=2(2C′D′)=4C′D′.

第一章

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5.梯形的直观图是( A.梯形 C.三角形

)

B.矩形 D.任意四边形

[答案] A

[解析] 斜二测画法中平行性保持不变.

第一章

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6.如图,△A′B′C′是△ABC的直观图,那么△ABC 是( )

A.等腰三角形 C.等腰直角三角形

B.直角三角形 D.钝角三角形

[答案] B
第一章

1.1

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[解析]

∵A′B′∥x′轴,A′C′∥y′轴,∴AB∥x

轴,AC∥y轴,∠A=90° .

第一章

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1.1.2

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7.长方形的直观图可能是下列图形的哪一个(

)

A.①② C.①④⑤

B.①②③ D.②⑤

[答案] D

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8.用斜二测画法画一个底面边长为4cm,高为6cm的正 六棱柱的直观图. [分析] 要画正六棱柱的直观图,根据斜二测画法的画法

规则,只需建立恰当的坐标系,画出下底面的直观图,再根 据正六棱柱的对称性确定上底面的六个顶点,即可根据斜二 测画法的画法规则及画直观图的步骤可得正六棱柱的直观 图.

第一章

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第一章

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[画法]

(1)画轴:画x′轴、y′轴、z′轴,记坐标原点

为O′,如图(1)所示. (2)画底面:按x′轴、y′轴画边长为4cm的正六边形的直 观图ABCDEF. (3)画侧棱:过A,B,C,D,E,F各点分别作z′轴的平 行线,并在这些平行线上截取AA′、BB′、CC′、DD′、 EE′、FF′,使它们都等于6cm.

第一章

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(4)成图:顺次连接A′,B′,C′,D′,E′,F′, 并加以整理(去掉辅助线,并将被遮住的部分改为虚线),就得 到正六棱柱的直观图,如图(2)所示.

第一章

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第一章

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