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【金版学案】2015高考数学(理)二轮专题复习作业:专题八 第二讲 数形结合思想]


数学(理科) 班级:__________________ 姓名:__________________

第一部分

知识复习专题

专题八

思想方法专题

第二讲

数形结合思想

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

一、选择题 1.已知 0<a<1,则方程 a|x|=|logax|的实根个数为( A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.1 个或 2 个或 3 个 )

解析:判断方程的根的个数就是判断图象 y=a|x|与 y=|logax|的 交点个数,

画出两个函数图象(如右图所示),易知两图象只有 2 个交点,故

方程有 2 个实根. 答案:B

x+3 2.为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lg x 的图象 10 上所有的点( )

A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度

解析:本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本 运算的考查.按各选项变换后的函数如下所示: A.y=lg(x+3)+1=lg10(x+3), B.y=lg(x-3)+1=lg10(x-3), x+3 C.y=lg(x+3)-1=lg , 10 x-3 D.y=lg(x-3)-1=lg . 10 答案:C

3.定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+2)=f(x),当 x∈[3, 4]时,f(x)=x-2,则(
? 1? ? 1? A.f?sin2?<f?cos2? ? ? ? ? ? π? ? π? B.f?sin ?>f?cos ? 3? ? 3? ?

)

C.f(sin 1)<f(cos 1)

? 3? ? 3? D.f?sin2?>f?cos2? ? ? ? ?

解析:由 f(x)=f(x+2)知 T=2 为 f(x)的一个周期,设 x∈[-1, 0],知 x+4∈[3,4],f(x)=f(x+4)=x+4-2=x+2,画出函数 f(x) 的图象,如图所示:

1 1 A:sin <cos 2 2 π π B:sin >cos 3 3 C:sin 1>cos 1 3 3 D:sin >cos 2 2 答案:C

? 1? ? 1? f?sin2?>f?cos 2?; ? ? ? ? ? π? ? π? f?sin ?<f?cos ?; 3? ? 3? ?

f(sin 1)<f(cos 1);
? 3? ? 3? f?sin2?<f?cos2?. ? ? ? ?

4.已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1、抛物线 y2= 4x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( )

A.2 B.3 C.

11 37 D. 5 16

解析:记抛

物线 y2=4x 的焦点为 F,是 F(1,0),注意到直线 l2:x=-1 是 抛物线 y2=4x 的准线,于是抛物线 y2=4x 上的动点 P 到直线 l2 的距 离等于|PF|,问题即转化为求抛物线 y2=4x 上的动点 P 到直线 l1:4x -3y+6=0 的距离与它到焦点 F(1,0)的距离之和的最小值,结合图 形,可知,该最小值等于焦点 F(1,0)到直线 l1:4x-3y+6=0 的距 离,即等于 |4×1-3×0+6| =2.故选 A. 5

答案:A 5.已知 P 为抛物线 y2=4x 上的一个动点,Q 为圆 x2+(y-4)2 =1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的 距离之和最小值是( )

A.5 B.8 C. 17-1 D. 5+2 解析:抛物线 y2=4x 的焦点为 F(1,0),圆 x2+(y-4)2=1 的圆 心为 C(0,4),设点 P 到抛物线的准线的距离为 d,由抛物线的定义 有 d=|PF|,所以|PQ|+d=|PQ|+|PF|≥(|PC|-1)+|PF|≥|CF|-1= 17-1. 答案:C 6.函数 f(x)=2x+x3-2 在区间(0,1)内的零点个数是( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

)

解析:

解法一

因为 f(0) = 1 + 0 - 2 =- 1 , f(1) = 2 + 23 - 2 = 8 ,即

f(0)· f(1)<0 且函数 f(x)在(0,1)内连续不断,故 f(x)在(0,1)内的零点 个数是 1. 解法二 设 y1=2x, y2=2-x3, 在同一坐标系中作出两函数的图

象(如上图所示),可知 B 正确. 答案:B 7.(2014· 福建卷)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A, 1 B 两点,则“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的( 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 )

解析:由 k=1 时,圆心到直线 l:y=x+1 的距离 d=

2 ,所以 2

1 2 1 弦长为 2,所以 S△OAB= × 2× = ,所以充分性成立,由图形 2 2 2 1 的对称性当 k=-1 时, △OAB 的面积为 , 所以不必要性不成立. 故 2

选 A. 答案:A

二、填空题 8.当 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值范围为 ________. 解析:在同一坐标系内作出 y=(x-1) 2,x∈(1,2)及 y=logax 的图象,若 y=logax 过(2,1),则 loga2=1,∴a=2.结合图形,若使 x∈(1,2)时,(x-1)2<logax 恒成立,则 1<a≤2.

答案:(1,2]

三、解答题 3 9.已知 0<x< π ,方程 sin2x+2sin xcos x+3cos2x+a=0 有 3 2 个实数根,求 a 的取值范围.

解析:原方程可化为 2+sin 2x+cos 2x+a=0, 即 2sin?2x+
? ?

π? ?=-a-2. 4? π 3π )(0<x< ), 4 2

令 f(x)= 2sin(2x+

则原方程有 3 个实根等价于 y=f(x)与 y=-a-2 有 3 个交点.

由图象可得-1<-a-2≤1, ∴a 的取值范围为[-3,-1).

x2 10.已知圆 C 过椭圆 +y2=1 的右焦点,且圆心在 x 的正半轴 2 上,且直线 l:y=x-1 被圆 C 截得的弦长为 2 2. (1)求圆 C 的标准方程; (2)从圆 C 外一点 P 向圆引一条切线,切点为 M, O 为原点, 且有|PM|=|PO|,求使|PM|最小的 P 点的坐标.

x2 2 解析:(1)在椭圆 +y =1 中,c2=a2-b2=1,所以 c=1,于是 2 右焦点为(1, 0). 设圆心为(t, 0)(t>0), 圆心到直线的距离为 d= |t-1| . 2

?|t-1|?2 ?L?2 ? +2= (t 注意到弦长、半径、弦心距满足: ? 2 ? =r2- d2,即? ? ? ? 2 ?

-1)2,解之得 t=3 或 t=-1(舍去),半径 r=3-1=2,所以圆 C 的 标准方程为(x-3)2+y2=4.

(2)如图,

不妨设 P(x,y),由于|PM|2=|PC|2-|CM|2,且|PM|=|PO|,所 以 |PO|2= |PC|2- |CM|2,也即 |PC|2- |PO|2= |CM|2= 4,于是 (x- 3)2 5 5 +y2-(x2+y2)=4,即 x= ,即点 P 所在曲线方程为 x= .要使|PM| 6 6 5 最小,由|PM|2=|PC|2-4,只需|PC|最小,也即圆心到直线 x= 的距 6
?5 ? 离最小,可知点 P 在 x 轴上时满足题意,即点 P?6,0?. ? ?


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