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金湖二中高二年级第一学期学情调查(一)数学试卷


金湖二中高二年级第一学期学情调查( 金湖二中高二年级第一学期学情调查(一) 高二年级第一学期学情调查 数学试卷
本试卷满分: 本试卷满分:160 分 考试时间: 考试时间:120 分钟

一、填空题: (每小题 5 分,共 70 分) 填空题:
1. 直线 l 不在平面 α 内 (用 ∈,?, ?, ? 等 符号表示) 。

2、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径,则圆柱、圆锥、球的体积之比为 3、如图所示的直观图,则其平面图形的面积 为 . 2

y

o

3

x

4.若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1, AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到 底面 ABCD 的距离为 5. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则直线 AC 和 MN 所成的角的度数是 。

6. 如图,在边长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上一点, 则三棱锥 M-DEC 的体积是
D1


C1

D1

M

.

C1 B1

A1

B1
D

A1
N

C
M

D A

A

(第 5 题图)

B

E

.

C

B

(第 6 题图)

7.设 α , β 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 ①若 l ⊥ α , α ⊥ β ,则 l ? β ③若 l ⊥ α , α / / β ,则 l ⊥ β ②若 l / /α , α / / β ,则 l ? β ④若 l / /α , α ⊥ β ,则 l ⊥ β

8. 圆台上、下底面面积分别为 π 、 4π , 侧面积是 6π , 这个圆台的高为_________; 9. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则该圆锥的体积为___________;
1

10.已知 m, n, l 是直线, α、β 是平面,下列命题中,正确的命题是 ①若 l 垂直于 α 内两条直线,则 l ⊥ α ; ②若 l 平行于 α ,则 α 内可有无数条直线与 l 平行; ③若 m ? α , l ?

。 (填序号)

β , 且l ⊥ m ,则 α ⊥ β ;

④若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ⑤若 m ? α , l ? β , 且α // β ,则 m // l ; 11. 棱长为 a 的正方体的外接球的表面积是_________ 12. 正四棱锥的底面边长为 __________ 13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,则二面角 D1-AB-D 的大小为 . 14、已知 ?ABC 不在平面 α 内,若 A、B、C 三点到平面 α 的距离相等,则平面 ABC 与平面 α 的位置关系是 。

2 ,它的侧棱与底面所成角为 60 o ,则正四棱锥的体积为

二、解答题:(14+14+14+16+16+16,共 90 分) 解答题:(14+14+14+16+16+16,共
15.在四面体 ABCD 中, CB = CD, AD ⊥ BD ,且 E , F 分别是 AB, BD 的中点。 求证: (1)直线 EF ∥面 ACD ; (2)面 EFC⊥面 BCD .

2

16. 如图,已知四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M, N 分别是 AB, PC 的中点。 (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥DC;

P

N
D

C
M

A

B

17. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,
P

且 PA= 2 AB, E 是 PA 的中点. (Ⅰ)判断直线 PC 与平面 BDE 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)求二面角 E-BD-A 的大小.

E

A

D C

B

18.三棱锥 A ? BCD 中, E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; A (2)若 AC = BD ,求证:四边形 EFGH 是菱形; (3)当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是正方形.
E H D B F C G

3

19. 如图, AB是圆O的直径, 是圆O上的点, PA垂直于圆O所在平面, AE ⊥ PB 于 C

E, AF ⊥ PC于F
求证:(1) BC ⊥ AF (3) AB = 2 , BC = 积 (2) 平面AEF ⊥ 平面PAB

P E

2 , PB = 6 ,求三棱锥 P ? ABC 的全面
F A C B

20. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. D1 (Ⅰ)求证:EF⊥B1C; (Ⅱ)求三棱锥 B1-EFC 的体积. A
1

C1 B1

E

D F A B

C

4

金湖二中学高二第一学期学情调查( 金湖二中学高二第一学期学情调查(一) 数学试卷
本试卷满分: 本试卷满分:160 分 考试时间: 考试时间:120 分钟

一、填空题: (每小题 5 分,共 70 分) 填空题:
1. 直线 l 不在平面 α 内

l ?α

(符号表示) 。

2、 若圆柱、 圆锥的底面直径和高都等于球的直径, 则圆柱、 圆锥、 球的体积之比为 3∶1∶2 3、如图所示的直观图,则其平面图形的面积为 y 6 . 2

o 4.若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 1,

3

x

AB1 与底面 ABCD 成 60°角,则 A1C1 到底面 ABCD 的距离为

3

5 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点,则直线 AC 和 MN 所成的角的度数是

600



6 如图,在边长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上一点,M 是棱 D1C1 上一点,则 三棱锥 M-DEC 的体积是
D1

1 3 a 6
B1



D1
C1
N

M

.

C1 B1

A1

A1

D
D

C
M

A

A

E

.

C

B

(第 5 题图)

B

(第 6 题图) ③

7.设 α , β 是两个不同的平面, l 是一条直线,以下命题正确的是 ①若 l ⊥ α , α ⊥ β ,则 l ? β ③若 l ⊥ α , α / / β ,则 l ⊥ β ②若 l / /α , α / / β ,则 l ? β ④若 l / /α , α ⊥ β ,则 l ⊥ β

8. 圆台上、下底面面积分别为 π 、 4π , 侧面积是 6π , 这个圆台的高为___ 3 ______;

5

9. 半径为 R 的半圆卷成一个圆锥,则该圆锥的体积为___

3 3 πR ________; 24
。 (填序号)

10.已知 m, n, l 是直线, α、β 是平面,下列命题中,正确的命题是 ② ①若 l 垂直于 α 内两条直线,则 l ⊥ α ; ②若 l 平行于 α ,则 α 内可有无数条直线与 l 平行; ③若 m ? α , l ?

β , 且l ⊥ m ,则 α ⊥ β ;

④若 m⊥n,n⊥l 则 m∥l; ⑤若 m ? α , l ? β , 且α // β ,则 m // l ; 11. 棱长为 a 的正方体的外接球的表面积是__3 πa _______
2

12. 正四棱锥的底面边长为

2 ,它的侧棱与底面所成角为 60 o ,则正四棱锥的体积为

_____

2 3 _____ 3 450


13.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,则二面角 D1-AB-D 的大小为

14、已知 ?ABC 不在平面 α 内,若 A、B、C 三点到平面 α 的距离相等,则平面 ABC 与平面 α 的位置关系是 平行或相交 。

二、解答题:(14+14+14+16+16+16,共 90 分) 解答题:(14+14+14+16+16+16,共
15.在四面体 ABCD 中, CB = CD, AD ⊥ BD ,且 E , F 分别是 AB, BD 的中点。 求证: (1)直线 EF ∥面 ACD ; (2)面 EFC⊥面 BCD . (Ⅰ)∵ E,F 分别是 AB,BD 的中点, ∴EF 是△ABD 的中位线,∴EF∥AD, ∵EF ? 面 ACD ,AD ? 面 ACD ,∴直线 EF∥面 ACD . (Ⅱ)∵ AD⊥BD ,EF∥AD,∴ EF⊥BD. ∵CB=CD, F 是 BD 的中点,∴CF⊥BD. 又 EF I CF=F,∴BD⊥面 EFC.∵BD ? 面 BCD,∴面 EFC⊥面 BCD . 16.(本小题满分 15 分) 如图,已知四边形 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,M, N 分别是 AB, PC 的中点。 (1)求证:MN∥平面 PAD; (2)求证:MN⊥DC; (1)设 PD 的中点为 E,连 AE, NE, 则易得四边形 AMNE 是平行四边形 则 MN∥AE

P

N
D

C
M

A
6

B

MN ? 平面PAD, AE ? 平面PAD
所以 MN∥平面 PAD ……………………………8 分

(2)∵PA⊥平面 ABCD , CD ? 平面ABCD ∴PA⊥CD 又 AD⊥CD , PA∩DA=A ∴ CD 平面 PAD ∵ AE ? 平面PAD ∴CD⊥AE ∵MN∥AE ∴MN⊥DC………………15 分 17. 如图所示,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,
P

且 PA= 2 AB, E 是 PA 的中点. (Ⅰ)判断直线 PC 与平面 BDE 的位置关系,并加以证明; (Ⅱ)求二面角 E-BD-A 的大小. 解: (Ⅰ)直线 PC∥平面 EBD 证明:连结 AC ∩ BD=O,连结 EO ∵四边形 ABCD 是正方形,∴O 是 AC 的中点 ∵E 是 PA 的中点,∴EO∥PC PC ? 平面 EBD, EO ? 平面 EBD, ∴PC∥平面 EBD B (Ⅱ)∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥BD ∵BD⊥AC, PA ∩ AC=A, ∴BD⊥平面 PAC ∴BD⊥AO, BD⊥EO, ∴∠EOA 是二面角 E-BD-C 的平面角 设 AB=1 则 PA= 2 , EA=

E

A

D C

P

2 =AO 2

E

在 Rt△EAO 中, ∴∠EOA=45° ∴二面角 E-BD-C 为 45°.
A O B C D

18.三棱锥 A ? BCD 中, E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)求证:四边形 EFGH 是平行四边形; A (2)若 AC = BD ,求证:四边形 EFGH 是菱形; (3)当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是正方形.
E H D B F C G

7

19. 如图, AB是圆O的直径, 是圆O上的点, PA垂直于圆O所在平面, AE ⊥ PB 于 C

E, AF ⊥ PC于F
求证:(1) BC ⊥ AF (3) AB = 2 , BC = 积 (2) 平面AEF ⊥ 平面PAB

P E

2 , PB = 6 ,求三棱锥 P ? ABC 的全面
F A B C

证明:(1)

Q PA ⊥ 平面ABC,BC ? 平面ABC

∴ PA ⊥ BC

又AB是圆O的直径

∴ AC ⊥ BC
又AC,PA在平面PAC中交于A

∴ BC ⊥ 平面PAC 又AF ? 平面PAC ∴ BC ⊥ AF
(2)由 BC ⊥ AF , AF ⊥ PC ,BC,PC在平面PBC中交于C

∴ AF ⊥ 平面PBC
∴ AF ⊥ PB

又 PB ? 平面PBC

又AE ⊥ PB,AF,AE在平面AEF中交于A ∴ PB ⊥ 平面AEF 又PB ? 平面PAB ∴ 平面PAB ⊥ 平面AEF
(3) 2 + 2 2

20. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 DD1、DB 的中点. D1 (Ⅰ)求证:EF⊥B1C; (Ⅱ)求三棱锥 B1-EFC 的体积. A
1

C1 B1

E

D F A
8

C B

(Ⅰ)证明一: 连结 BD1, BC1 ∵E、F 分别为 DD1、BD 的中点 ∴EF∥BD1 ∵正方体 ABCD-A1B1C1D1 ∴D1C1⊥平面 BCC1B1 ∴D1C1⊥B1C ∵正方形 BCC1B1 ∴B1C⊥BC1 ∵D1C1 ∩ BC1=C1 ∴B1C⊥平面 BC1D1 ∴B1C⊥BD1 ∵EF∥BD1 ∴EF⊥B1C

D1 A1 E B1

C1

D

ED 1 2 DF = = = 证明二:∵ FB 2 BB1 2

∴Rt△EDF∽Rt△FBB1
A

F B

C

∴∠DEF=∠BFB1 ∴∠BFB1+∠DFE=∠DEF+∠DFE=90° ∴∠EFB1=90° ∴EF⊥FB1 又∵CF⊥平面 BDD1B ∴CF⊥EF B1F ∩ CF=F ∴EF⊥平面 B1FC ∴EF⊥B1C (Ⅱ)∵CB=CD,BF=DF ∴CF⊥BD ∵DD1⊥平面 ABCD ∴DD1⊥CF 又 DD1 ∩ BD=D ∴CF⊥平面 BDD1B1 又 CF= 2

方法一: △B1EF 的面积= 2 × 2 2 ? 2 ? 2 ? 方法二: ∵EF⊥平面 B1FC EF= 3 , FB1= 6 ∴ EF⊥FB1

2 3 = 2 2 2

D1 1 E 1 D 2

2 2

B1 2

1 1 3 Rt△B1EF 的面积= × EF × FB1 = × 3 × 6 = 2 2 2 2 1 1 3 ∴ V B1 ? EFC = VC ? B1EF = × S ?B1EF × CF = × 2 × 2 =1 3 3 2
∴三棱锥 B1-EFC 的体积为 1.

F

2

B

来源:http://sj.smez.net/Soft_Class.asp?ClassID=57

9


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