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江苏省周庄高级中学08-09学年高三上学期第三次调研测试(数学)


江苏省周庄高级中学 08-09 学年高三上学期第三次调研测试 (数学)
考试时间:120 分钟 分值:160 分 命题人:金春林

一、 填空题:(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需写出解答过 程) w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1+i2009 1 在复平面内,复数 对应的点位于 (1-i)2 2.已知 f

( x) ? ? 第二象限 .

x ?0 ? ?? cos ? x ,则 f ( 4 ) ? f (? 4 ) 的值等于 3 3 f ( x ? 1) ? 1 x ? 0 ? ?

3

3.设函数 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2cos x,1), b ? (cos x, 3sin 2 x) ,则函数 f(x)的最小正周期 是 π .
2

4.已知函数 f ( x) ? x ? 2 f ?(? ) x, 则f ?(? ) ?

1 3

1 3

2 3 3 ____________ 2
条件.

5.a ? ( x,3),b ? (2,?1) , 若 a 与 b 的夹角为锐角, 则 x 的范围是______ x ? 6.p:“

3 ? 2x ? 0 ”和 q:“ 2 x 2 ? 5 x ? 3 ? 0 ”,则 ?p 是 q 的 x ?1

必要不充分

7.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体 积为

36 3

.

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

8. .已知向量 a ? (3,1), b ? (?2, ), 直线 l 过点 A(1, 2) 且与 向 量 a ? 2b 垂 直 , 则 直 线 l 的 一 般 方 程 是

1 2

x ? 2y ? 3 ? 0

.

9.在小时候,我们就用手指练习过数数. 一个小朋友 按如图所示的规则练习数数,数到 2008 时对应的指头 是 食指 .(填出指头的名称, 各指头的名称依次为大拇指、 食指、 中指、 无名指、 小指).

10. 函数 y ? 3 sin( ? 2 x ) 的图象是将函数 y ? ?3 sin 2 x 的图象经过怎样的平移而得

?

4

________向右平移

? ________ 8
5

?x ≥1 ? 11. 如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ≤ 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值为 ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?

12. 已知 a , b 是两条不重合的直线, ? , ? , ? 是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ③若 ? // ? , a ? ? , b ? ? , 则a // b ②若 ? ? ? , ? ? ? , 则? // ? ④若 ? // ? , ? ? ? ? a, ? ? ? ? b, 则a // b

其中正确命题的序号有____①④____. 13. 设 ?an ? 是正项数列,其前 n 项和 Sn 满足:4Sn ? (an ?1)(an ? 3) ,则数列 ?an ? 的通项公 式 an =

2n ? 1
14. 下列四种说法: ① 命题“ ? x∈ R,使得 x2+1>3x”的否定是“ ? x∈ R,都有 x2+1≤3x”; ② “m=-2”是“直线(m+2)x+my+1=0 与直线(m-2)x+(m+2)y-3=0 相互垂直”的 必要不充分条件; ③ 在区间[-2,2]上任意取两个实数 a,b,则关系 x 的二次方程 x2+2ax-b2+1=0 的

16 1 1 ④ 过点( ,1)且与函数 y= 图象相切的直线方程是 4x+y-3=0. 2 x
其中所有正确说法的序号是 二.解答题
?π ? ?π π? 15.(本题 14 分)已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

两根都为实数的概率为 1 ?

?



① ③



(1)求 f ( x) 的最大值和最小值;
?π π? (2)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围 ?4 2?
? π? ?π ?? ? 解: (1)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ? ? 2 x ? ? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 2 3? ? ? ? ? ? π? π π 2π ?π π? ? 又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?
∴ f ( x)max ? 3, f ( x)min ? 2 .

?π π? (2)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , ?4 2?
∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,

∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1, 4) .

16.(本题 14 分)已知 ABCD 是矩形,AD=4,AB=2,E、F 分别是线段 AB、BC 的中点, PA⊥ 平面 ABCD. (Ⅰ)求证:PF⊥ FD; (Ⅱ)问棱 PA 上是否存在点 G,使 EG//平面 PFD,若存在,确定点 G 的位置,若不存 在,请说明理由. P

16. (Ⅰ )证明:连结 AF,在矩形 ABCD 中,因为 AD=4,AB=2,点 F 是 BC 的中点,所以∠ AFB=∠ DFC=45° . 所以∠ AFD=90° ,即 AF⊥ FD. 又 PA⊥ 平面 ABCD,所以 PA⊥ FD. 所以 FD⊥ 平面 PAF. 故 PF⊥ FD. (Ⅱ )过 E 作 EH//FD 交 AD 于 H,则 EH//平面 PFD,且 AH= 交 PA 于 G,则 GH//平面 PFD,且 AG= 从而点 G 满足 AG= B E

A C

D

F

1 AD. 再过 H 作 HG//PD 4

1 PA. 所以平面 EHG//平面 PFD,则 EG//平面 PFD, 4

1 PA. 4

17.(本题 15 分)如图,已知圆心坐标为 M ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 y ? 3x 均相切, 切点分别为 A 、 B ,另一圆 N 与圆 M 、 x 轴及直线 y ? 3x 均 y 相切,切点分别为 C 、 D . (1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线 l 被圆 N 截得的弦 的长度.
O N B M A C D

x

解: (1)由于⊙M 与∠BOA 的两边均相切,故 M 到 OA 及 OB 的距离均为⊙M 的半 径,则 M 在∠BOA 的平分线上, 同理,N 也在∠BOA 的平分线上,即 O,M,N 三点共线,且 OMN 为∠BOA

的平分线, ∵M 的坐标为 ( 3,1) ,∴M 到 x 轴的距离为 1,即⊙M 的半径为 1, 则⊙M 的方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1, 设⊙N 的半径为 r ,其与 x 轴的的切点为 C,连接 MA、MC, 由 Rt△OAM∽Rt△OCN 可知,OM:ON=MA:NC, 即

r 1 ? ? r ? 3, 3? r r

则 OC= 3 3 ,则⊙N 的方程为 ( x ? 3 3) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 ; (2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点直线 MN 的平行线被⊙ N 截得的弦 的长度,此弦的方程是 y ?

3 ( x ? 3 ) ,即: x ? 3 y ? 3 ? 0 , 3 3 , 2

圆心 N 到该直线的距离 d=

则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 . 另解: 求得 B (

3 3 , 再得过 B 与 MN 平行的直线方程 x ? 3 y ? 3 ? 0 , , ) 2 2 3 ,则弦长= 2 r 2 ? d 2 ? 33 . 2

圆心 N 到该直线的距离 d ? =

(也可以直接求 A 点或 B 点到直线 MN 的距离,进而求得弦长) 18. (本小题满分 15 分)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时,乙船位于 甲船的北偏西 105 方向的 B1 处, 此时两船相距 20 海里, 当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处,此时两 船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 18.解:如图,连结 A1B1 ,由已知 A2 B2 ? 10 2 , 北

120 A 2
B2

B1


105 A 1


A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60



A1 A2 ? A2 B2

120 A 2

B2

105

B1


A1



又 ∠A 1A 2 B2 ? 180 ? 120 ? 60 ,

? △A1 A2 B2 是等边三角形,

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知, A 1B 1 ? 20 ,

∠B1 A1B2 ? 105 ? 60 ? 45 ,
在 △ A1 B2 B1 中,由余弦定理,
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 A1B2 cos 45

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?
? 200 .

2 2

? B1B2 ? 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为

10 2 . ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

19. (本小题满分 16 分) 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln x ? 2a ln x ?1 ( x ? (0, ??)) .
2

? (Ⅰ)令 g ( x) ? xf ( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值,并比较 g ( x) 的最小值与零的大小;
(Ⅱ)求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (Ⅲ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

解(Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? (ln x)(ln x) ? 2a ln x ?1 , x ? (0, ??)

1 1 2a 2 ln x 2a f ?( x) ? 1 ? [ ? ln x ? (ln x) ? ] ? ? 1? ? , x x x x x ∴

? ∴ g ( x) ? xf ( x) ? x ? 2ln x ? 2a , x ? (0, ??)

g ?( x) ? 1 ?
∴ 列表如下:

2 x?2 ? x x ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 ,

x
g ?( x )
g ( x)

(0, 2)

2 0 极小值 g (2)

(2, ? ∞)

?
递减

?
递增

∴ g ( x) 在 x ? 2 处取得极小值 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a , 即 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .

g (2) ? 2(1 ? ln 2) ? 2a ,∵ ln 2 ? 1 ,∴ 1 ? ln 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ g (2) ? 0 . ? 证明 (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知,g ( x) 的最小值是正数, ∴对一切 x ? (0, ??) , 恒有 g ( x) ? xf ( x) ? 0 , ? ? ∞) 上是增函数. 从而当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ? ∞) 上是增函数, 证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知: f ( x ) 在 (0,
∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) , 又 f (1) ? 1 ? ln 1 ? 2a ln1 ?1 ? 0 ,
2
2 ∴ f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 ,

∴ x ? ln x ? 2a ln x ? 1
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

20. (本小题满分 16 分) 已知直线

n

: y ? x ? 2n 与圆 Cn : x2 ? y2 ? 2an ? n ? 2(n ? N ? )
1 2 An Bn . 4

交于不同点 An、Bn,其中数列 {an } 满足: a1 ? 1, an ?1 ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ?

2an ? 1 ,数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn,求使 Sn>2008 的 n 的最小值; an ? 2

( 3 ) 是 否 存 在 指 数 函 数 g ( x ), 使 得 对 于 任 意 的 正 整 数 n 有

?
k ?1

n

g (k )(ak ? 2)(ak ?1 ? 2) 1 ;若不存在,请 ? 成立?若存在,求出满足条件的一个 g(x) (ak ? 5)(ak ?1 ? 5) 2

说明理由. 解:(1)圆心到直线的距离 d ? n ,

1 An Bn )2 ? 2an ? 2, 则an ?1 ? 2 ? 2(an ? 2) 2 ?易得an ? 3 ? 2n ?1 ? 2 ? an ?1 ? (

1 1 2a ? 1 1 1 1 2n ? 2 ? n ?1 ∴ (2) bn ? n S n ? 2n ? (1 ? ? 2 ? ? ? n?1 ) ? 2n ? 1 2 an ? 2 2 2 2 1? 2 1 1 ? 2n ? 2(1 ? n ) ? 2n ? 2 ? 2 n . 2 2 1 n 1 n 由 Sn ? 2008 ,得 2n ? 2 ? 2( ) ? 2008 , n ? ( ) ? 1005 , 2 2 1?
因此 n 的最小值为 1005.

(ak ? 2)(ak ?1 ? 2) 2k ?12k 1 1 (3)∵ ? k ?1 ? 2k ( k ? k ?1 ) k (ak ? 5)(ak ?1 ? 5) (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ?1 2 ?1
1 1 g (k )(ak ? 2)(ak ?1 ? 2) ?1? ? k ?1 ? k 令 g (k ) ? ? ? ,则有: 2 ?1 2 ?1 (ak ? 5)(ak ?1 ? 5) ?2?

k

g (k )(ak ? 2)(ak ?1 ? 2) n 1 1 = ? ( k ?1 ? k ) ? ?1 2 ?1 (ak ? 5)(ak ?1 ? 5) k ?1 2 k ?1
n

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?( ? )?( 1 ? 2 ) ? … ? ( n ?1 ? n )? ? n ? 1?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 2 ?1 2

?1? 即函数 g (k ) ? ? ? 满足条件. ?2?

x


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