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2013年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题


2013 年杭州市第一次高考科目教学质量检测 理科数学试题
一、选择题: 1.若复数 z ? 2i ? A.

2 ,其中是虚数单位,则复数 z 的模为( 1? i

)

2 B. 2 C. 3 D. 2 2 2.设 a?R,则“ a ? 4 ”是“直线 l1 : ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 l

2 : 2 x ? y ? a ? 0 平行”的(
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 3.设函数 f ( x ) ? 2 ,则下列结论中正确的是(
x

)

B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) B. f (? 2) ? f (?1) ? f (2) D. f (?1) ? f (? 2) ? f (2) ) B. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 D. Sm ? 0 ,
开始

A. f (?1) ? f (2) ? f (? 2) C. f (2) ? f ( ? 2) ? f ( ?1) A. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0 C. Sm ? 0 ,且 S m ?1 ? 0

4.设等差数列 ?a n ? 的前 n 项和是 Sn ,若 ?am ? a1 ? ?am ?1 ( m?N*,且 m ? 2 ),则必定有(



S m ?1 ? 0
5.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出 k 的值是( A. 4 C. 6 6 . 设 函 数 f ( x) ? B. 5 D. 7


)

n=5,k=0 n 为偶数

否 n=3n+1

la o g x

? ( a 的 定1 义 域 为 0 ? )

n?

1 [m, n](m ? n) ,值域为 [0, 1] ,若 n ? m 的最小值为 ,则实 3
的值为( A. ) B.

n 2

数 a
k=k+1

1 4

1 2 或 4 3

C.

2 3

D.

2 3 或 3 4

否 n =1? 是 输出 k 结束

7.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F1 的直线 4 3
)

交双

曲线左支于 A, B 两点,则 BF2 ? AF2 的最小值为( A.

19 2
D. 16

B. 11

C. 12

8.已知集合 A ? ( x, y ) x( x ? 1) ? y ( y ? 1) ? r ,集合 B ? ( x, y ) x2 ? y2 ? r 2 ,若 A ? B ,则实 数 r 可以取的一个值是( )
·1·

?

?

?

?

A.

2 ?1

B.

3

C. 2

D. 1 ?

2 2
)

?1 ? x ? 1 , x ? (??, 2) ? 9.设函数 f ( x) ? ? 1 ,则函数 F ( x) ? xf ( x) ?1 的零点的个数为( f ( x ? 2), x ? [2, ??) ? ?2
A. 4 10. 设等差数列 ?a n ? 满足: B. 5 C. 6 D. 7

sin 2 a3 ? cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ? sin 2 a3 sin 2 a6 公差 d ? (?1, 0) . 若 ? 1, sin(a4 ? a5 )
)

当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,则首项 a1 的取值范围是( A. ?

? 7? 4? ? , ? 3 ? ? 6
5

B. ?

? 4? 3? ? , ? 2 ? ? 3

C.

? 7? 4? ? ? 6 , 3 ? ? ?

D.

? 4? 3? ? ? 3 , 2 ? ? ?

二、填空题:

2 11.二项式 ? 1 ? ? 的展开式中第四项的系数为 ? ? ? x?

. (用数字回答).

12.从 0,1,2,3 中任取三个数字,组成无重复数字的三位数中,偶数的个数是

13.无穷数列 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 的首项是,随后两项都是 2 ,接下来 3 项都是 3 ,再接下来

4 项都是 4 ,?,以此类推.记该数列为 ?a n ? ,若 an ?1 ? 20 , an ? 21 ,则 n ?
14.若正数 x, y 满足 2 x ? y ? 3 ? 0 ,则



x ? 2y 的最小值为 xy



15.在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ? 线 ax ? by ? c ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为

1 2 c .则直 2


y
(0,7)

?y ? x ? 0 16.若整数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 7 ? 0 , .. ? ?x ? 0 ?
则 2x ? y 的最大值为 .

? 3, 4 ?
? 3,3?
O

?7 7? ? , ? ?2 2?

(7,0)

x

17.如图,在扇形 OAB 中, ?AOB ? 60? ,C 为弧 AB 上的一个动点. 若 OC ? x OA? y OB ,则 x ? 3 y 的取值范围是 三、解答题: 18.(本题满分 14 分)设 f ( x) ? 6cos 2 x ? 3 sin 2 x( x ? R). .
??

A

??

??



C

O
(Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及最小正周期;
(第 17 题)

B

·2·

(Ⅱ)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,锐角 A 满足 f ( A) ? 3 ? 2 3 , B ?

? , a 的值. 求
12 c

19.(本题满分 14 分)已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只放有 2 个红球、1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中 任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) . 20.(本题满分 14 分)已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (Ⅰ)设 bn ? (Ⅱ)设 cn ?

1 ,其中 n? N*. 4an

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ? 的通项公式 an ;

4an 1 ,数列 ?cn cn ? 2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 对于 cm cm ?1 n ?1

n? N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明理由.
21.(本题满分 15 分)已知椭圆 C:

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点到直线 l1 : 3 x ? 2 2 a b

3 4 y ? 0 的距离为 . 5
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l2 : y ? kx ? m(km ? 0) 与椭圆 C 交于 A、B 两点,且线段 AB 中点恰好在直线上,求 △OAB 的面积 S 的最大值.(其中 O 为坐标原点). 22.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? (a ? 2) x ? a ln x.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的极小值; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,过坐标原点 O 作曲线 y ? f ( x) 的切线,设切点为 P(m, n) ,求实数 m 的值; (Ⅲ)设定义在 D 上的函数 y ? g ( x) 在点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程为 l : y ? h( x), 当 x ? x0 时, 若

g ( x ) ? h( x ) ? 0 在 D 内恒成立, 则称 P 为函数 y ? g ( x) 的 “转点” 当 a ? 8 时, . 试问函数 y ? f ( x) x ? x0
是否存在“转点”.若存在,请求出“转点”的横坐标,若不存在,请说明理由.

·3·

【参考答案】 1.B【解析】由题意,得: z ? 2i ?

2 2(1 ? i) ? 2i ? ? 1? i 1? i (1 ? i)(1 ? i)

复数 z 的模 z ? 12 ? (?1) 2 ? 2 2.C【解析】由题意, a ? 4 ? ? 1

?l : 4 x ? 2 y ? 3 ? 0 ? l1 // l2 ,即充分。 ?l2 : 2 x ? y ? 4 ? 0
x ?x

又 l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 B1 ? 0 ? a ? 4 ,注意到此时 l1 , l2 不重合,即必要。 3.D【解析】由题意, f ( x) ? 2 ? 2

? f (? x) ,即 f ( x) 为偶函数。

? f (?1) ? f (1) ? 故 ? f (?2) ? f (2) . 显然 x ? 0时,f ( x) ? 2 x 单调递增。 ? ? f (? 2) ? f ( 2)
所以 f (?1) ? f (1) ? f ( ? 2) ? f ( 2) ? f ( ?2) ? f (2) 4.C【解析】由题意,得: ? am ? a1 ? ? am ?1 ? ? 显然,易得 Sm ? 5.B【解析】由题意,得:

?a1 +am ? 0 。 ?a1 ? am ?1 ? 0

a1 ? am a ? am?1 ? m ? 0 , Sm?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 0 2 2

n ? 5, k ? 0 ? n ? 16, k ? 1 ? n ? 8, k ? 2 ? n ? 4, k ? 3 ? n ? 2, k ? 4 ? n ? 1, k ? 5 ? 终止
当 n ? 2 时,执行最后一次循环; 当 n ? 1 时,循环终止,这是关键。输出 k ? 5 。 6.D【解析】由题意,分 n ? 1 或 m ? 1两种情况:

2 ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递减 3 2 故 f (m) ? log a m ? 1 ? a ? 3 4 (2) m ? 1时, n ? ,此时 f ( x) 在 [m, n] 上单调递增 3 3 故 f (n) ? log a n ? 1 ? a ? 4
(1) n ? 1 时, m ? 7.B【解析】由题意,得:

·4·

? AF2 ? AF1 ? 2a ? 4 ? ? BF2 ? AF2 ? 8 ? AF1 ? BF1 ? 8 ? AB ? ? BF2 ? BF1 ? 2a ? 4 ? b2 显然,AB 最短即通径, AB min ? 2 ? ? 3 ,故 ? BF2 ? AF2 ?min ? 11 a ? 1 1 1? 8.A【解析】 A ? ?( x, y ) ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? r ? ? 、 B ? ( x, y ) x 2 ? y 2 ? r 2 2 2 2? ?

?

?

不难分析,A、B 分别表示两个圆,要满足 A ? B ,即两圆内切或内含。 故圆心距 O1O2 ?

2 ? r1 ? r2 ,即: 2 2 1 1 1 1 ? r ? r ? ? r2 ? 2? r ? r ? ? r ? ? 2 2 2 2 2

? 1 ? 1 1 ? r ? r ? 2 r ? ? 1? ? 0 ? r ? 2 r ? ? 1 ? 0 ? r ? 1 ? 2 r ? . ? ? 2 ? 2 2 ? ? r 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ?
显然, r ?

1? 6 2

1? 6 ? 2 ,故只有(A)项满足。 2

9.C【解析】由题意, F ( x) ? xf ( x) ?1 的零点,即 f ( x)与 的交点。 易绘 x ? (??, 2) 的函数图象,且 f (0) ? f (2) ? 0, f (1) ? 1, f ( ) ? f ( ) ? 当 x ? [2, ??) 时, f (4) ?

1 x

1 2

3 2

1 2

1 1 f (2) ? 0, f (6) ? f (4) ? 0, ? 2 2 依次类推,易得 f (4) ? f (6) ? f (8) ? ? ? f (2n) ? 0 1 1 1 1 1 1 又 f (3) ? f (1) ? , 同理 f (5) ? f (3) ? , f (7) ? f (5) ? 2 2 2 4 2 8 不难绘出 x ? [2, ??) 的函数图象如右,显然零点共 6 个,其中左边 1 个,右边 5 个。
y

?1,1?
O

? 1? ? 3, ? ? 2?

? 1? ? 5, ? ? 4?

? 1? ? 7, ? ? 8?

(2, 0)

(4, 0)

(6, 0)

(8, 0)

x

·5·

10.B【解析】先化简:

= = =

(sin 2 a3 ? sin 2 a3 sin 2 a6 ) ? (cos 2 a3 ? cos 2 a3 cos 2 a6 ) ?1 sin( a4 ? a5 )

(sin a3 cos a6 ) 2 ? (cos a3 sin a6 ) 2 ?1 sin( a4 ? a5 ) sin( a3 ? a6 ) sin( a3 ? a6 ) ?1 sin( a4 ? a5 )

? sin( a3 ? a6 ) ? 1? ? ?? d ? ? a3 ? a6 ? ?3d ? 6
又当且仅当 n ? 9 时,数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 取得最大值,即:

?a9 ? a1 ? 8d ? 0 4? 3? a9 ? 0, a10 ? 0 ? ? ? ? a1 ? 3 2 ?a10 ? a1 ? 9d ? 0
2 3 11. ?80 【解析】第四项 T4 ? C5 ? ? ? ? ? ?80 x ?3 ,系数为 ?80 ? ? ? x?
12. 10 【解析】考虑三位数“没 0”和“有 0”两种情况。 【1】没 0:2 必填个位, A2 种填法; 【2】有 0:0 填个位, A3 种填法;0 填十位,2 必填个位, A2 种填法; 所以,偶数的个数一共有 A2 + A3 + A2 =10 种填法。 13. 211 【解析】将 1, 2, 2,3,3,3, 4, 4, 4, 4,5,? 分组成 ?1? , ?2, 2? , ?3,3,3? , ?4, 4, 4, 4? , ?5,?? ,? 。 第组有个数,第 2 组有 2 个数,以此类推... 显然 an ?1 ? 20 在第 20 组, an ? 21 在第 21 组。 易知,前 20 组共 所以, n ? 211 。 14. 3 【解析】由题意: 2 x ? y ? 3 ? 0 ?
2 2 1 2 1 2
3

(1 ? 20) ? 20 ? 210 个数. 2

2x y ? ?1, 3 3

x ? 2 y 2 1 ? 2 1 ? ? 2x y ? 2 ? y x ? 5 2 5 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 3 xy x y ? x y? ? 3 3? 3? x y? 3 3 3
15. 2 7 【解析】由题意:设弦长为

·6·

圆心到直线的距离 d ?

a?0 ?b?0 ? c a 2 ? b2

?

c 1 2 c 2

? 2

16. 10 【解析】由题意,绘出可行性区域如下: 设 z ? 2 x ? y ,即求 y ? ?2 x ? z 的截距的最大值。 因为 x, y ? Z ,不妨找出 ? 7 , 7 ? 附近的“整点” 。 ? ? ?2 2? 有(3, 3)、(3, 4)满足. 显然过(3, 4)时, z ? 10 最大. 17. ?1, 3? 【解析】方法(一) :特殊点代入法。 C 与 A 重合时, x ? 1, y ? 0 ,此时 x ? 3 y ? 1 ; C 与 B 重合时, x ? 0, y ? 1 ,此时 x ? 3 y ? 3 . 注意到,C 从 B 点运动至 A 点时,x 逐渐变大,y 逐渐变小。 显然,一开始 x 趋于 0,而 y 趋于, 故 x ? 3 y 的范围受 y 的影响较大。 故猜想, x ? 3 y ? [1, 3] 方法(二) :设扇形的半径为 r 考虑到 C 为弧 AB 上的一个动点, OC ? x OA? y OB . 显然 x, y ? [0,1]
?? ?? ?? ? ?? ? ? ?? ? 两边平方: ? OC ? ? r 2 ? ? x OA? y OB ? ? x 2 ? r 2 ? 2 xy OA ?OB ? y 2 ? r 2 ? ? ? ? 2 2 2 消 r : y ? x ? y ? x ? 1 ? 0 ,显然 ? ? 4 ? 3x 2 ? 0 2 2
??

??

??

得: y ?

? x ? 4 ? 3x 2 ( y ? 0) , 2 1 3 4 ? 3x 2 . x? 2 2

故 x ? 3y ? ?

1 3 4 ? 3x 2 x? ( x ? [0,1]) 2 2 1 9x f '( x) ? ? ? ? 0, 2 2 4 ? 3x 2 所以 f ( x) 在 x ? [0,1] 上单调递减, f (0) ? 3, f (1) ? 1 ,得 f ( x) ?[1,3] 。
不妨令 f ( x) ? ? 18.【解析】 (I) f ( x) ? 2 3 cos(2 x ?

?
6

)?3 2? ?? . 2

故 f (x) 的最大值为 2 3 ? 3 ,最小正周期为 T ? (II)由 f ( A) ? 3 ? 2 3 得 2 3 cos(2 A ?

x 6

) ? 3?3? 2 3,

·7·

故 cos(2 A ? 又由 0 ? A ? 再由 B ?

n ) ? ?1 , 6

?

?
12

2

,解得 A ?

?C ?

?
2

5? 。 12



?

a ? ? ? ? s?A ? sin( ? ) ? c 4 6

6? 2 . 4

19.【解析】(I)由题意知 P ?

C 1 ? C rL xy 1 x ? ? 2 3 , ? ? ( ) ? 1. Cx 60 60 2 20

当且仅当 x ? y 时等号成立, 所以,当 P 取得最大值时 x ? y ? 3 . (II)当 x ? 2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球, 所以 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 则 P(? ? 0) ?
2 1 C 4 C1 1 , 2 1 ? C6 C4 5

P(? ? 1) ?

1 1 1 2 1 C2C4C2 ? C4 C2 7 ? , 2C1 C6 4 15

p(? ? 2) ?

2 1 1 1 1 C2 C2 ? C2C4C2 3 ? , 2 1 10 C6 C4

P(? ? 3) ?

1 C2 1 , 2C1 ? C6 4 30

所以红球个数 ? 的分布列为

于是 E? ?

7 . 6

20.【解析】 (I)证明
·8·

bn ?1 ? bn ?

2 2a n ?1 ? 1

?

2 2a n ? 1

?

2 ? 1 2?1 ? ? 4a n ? ? ? ?1 ? ?

?

2 2a n ? 1

?

4a n 2 ? ? 2, 2a n ? 1 2a n ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ? (II) c n ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

4 ] ? 2 ?1 , cn cn?2 ? ? 2? ? ?, n?n ? 2? n ?n n? 2?
? ? 1 1 1 ? ? ? ? ? 3, 2 n ?1 n ? 2 ?

所以 Tn ? 2?1 ?

依题意要使 Tn ?

1 m(m ? 1) * 对于 n ? N 恒成立,只需 ? 3, c m c m ?1 4

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 .

c 1 ? , c ? 1, a 2 x2 y2 所以 a ? 2 ,所求椭圆方程为 ? ? 1. 4 3
21.【解析】 (I)由题意得 e ? (II)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,把直线 l 2 : y ? kx ? m 代入椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 得到 4 3

(4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 12 ? 0 ,
因此 x1 ? x 2 ?
2 2

4m 2 ? 12 ? 8km , x1 x 2 ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

? 4km 3m , 2 ), 2 4k ? 3 4k ? 3 ? 4km 3m 又 M 在直线 l1 上,得 3 ? ? 4? 2 ?0, 2 4k ? 3 4k ? 3 m ? 0. ? k ? 1, ?
所以 AB 中点 M (

4m 2 ? 12 ? 8m x1 x 2 ? 故 x1 ? x 2 ? , , 7 7
所以 | AB |? 1 ? k | x1 ? x 2 |?
2

4 6 7 ? m2 , 7
·9·

原点 O 到 AB 的距离为 d ?

|m| 2



得到 S ?

2 3 2 3 m 2 ? (7 ? m 2 ) m 2 (7 ? m 2 ) ? ? ? 3, 7 7 2

当且仅当 m 2 ?

7 取到等号,检验 ? ? 0 成立. 2
'

22.【解析】(I)当 a ? 1 时, f 当0 ? x ? 当

?x ? ? 2 x ? 3 ? 1 ? 2 x
x

2

? 3x ? 1 ( x ? 1)( 2 x ? 1) , ? x x

1 ' 时, f ?x ? ? 0 , 2

1 ? x ? 1 时 f ' ?x ? ? 0 , 2
'

当 x ? 1时 f ? x ? ? 0 . 所以当 x ? 1时, f ? x ? 取到极小值 ? 2 。 (II) f ( x) ? 2 x ?

?

1 ( x ? 0) , x
1 m 2 ? m ? ln m ? m m

所以切线的斜率 k ? 2m ? 1 ? 整理得 m ? ln m ? 1 ? 0 ,
2

显然 m ? 1 是这个方程的解, 又因为 y ? x ? ln x ? 1 在 (0,??) 上是增函数,
2

所以方程 x ? ln x ? 1 ? 0 有唯一实数解,故 m ? 1 .
2

(III)当 a ? 8 时,函数 y ? f (x) 在其图象上一点 P?x0 , f ?x0 ?? 处的切线方程为

h? x ? ? ( 2 x 0 ?

8 2 ? 10)( x ? x0 ) ? x0 ? 10 xo ? 8 ln x0 , k
' ' '

设 F ( x) ? f ( x) ? h( x) ,则 F ( x0 ) ? 0 , F ( x) ? f ( x) ? h ( x)

? (2 x ?

? 8 8 2 4? ? 10 ) ? (2 x0 ? ? 10 ) ? ( x ? x0 ).? x ? ? ? x x0 x x0 ? ? ?

若 0 ? x0 ? 2 , F (x) 在 ? x 0 , ?

? ?

4 x0

? ? 上单调递减, ? ?
·10·

所以当 x ? ? x 0 , ?

? ?

4 x0

? F ( x) ? 时 F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,此时 ? 0; ? x ? x0 ?

若 x0 ? 2 时, F (x) 在 ? ? 所以当 x ? ? ? 此时

? 4 ? , x 0 ? 上单调递减, ? ? x0 ?

? 4 ? , x0 ? 时, F ( x) ? F ?x0 ? ? 0 , ? ? x0 ?

F ( x) ? 0, x ? x0

所以 y ? f (x) 在 (2,??) 上不存在“转点”.

2 ( x ? 2) 2 ,即 F (x) 在 (0,??) 上是增函数, x 当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 ,
r 若 x0 ? 2 时 F ( x) ?

当 x ? x0 时, F ( x) ? F ( x0 ) ? 0 , 即点 P?x0 , f ?x0 ?? 为“转点” , 故函数 y ? f (x) 存在“转点” ,且 2 是“转点”的横坐标.

·11·


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