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3.1.1倾斜角与斜率


3.1.1 倾斜角与斜率

补充结论 公式: tan(180°-α)= -tanα 例如:

tan135°=tan(180°- 45°) = - tan45°= - 1.

思考:已知直线 l 过点P(1,0),直线 l 的位置能确定吗? 过一点P可以作无数条直 线l 1, l 2 , l 3 ,…它们都经 y 过

点P (组成一个直线束), 这些直线区别在哪里呢? 容易看出,它们的 倾斜程度不同.怎样描 述直线的倾斜程度呢?
3 2 1

l2

l1

OP 1

2

3

x

倾斜角
倾斜角:直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴 正方向与直线 l向上方向之间所成的角,叫做直线l的 倾斜角.常用α表示. 当直线与x轴平行或重合时规定其倾斜角为0° y l 1)倾斜角的取值范围:0°≤α<180°

?
O 2)倾斜角的作用——刻画直线相对x轴的倾斜程度 x

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. 已知直线上的一个点不能 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.

l?

y

l??

l

O

x

倾斜角
画一画

(1)请在直角坐标系中画出倾斜角为120°的直线
(2)请在直角坐标系中画出过点P(-2,1)且其倾斜角 为1200的直线 结论:确定直线位置的几何要素是:已知直线上 的一个定点和这条直线的倾斜角(即直线向上的方向 与x轴正方向所成的角)

思考:日常生活中,我们感觉斜坡(1)比斜坡(2)“陡” 你是用什么来衡量这两个斜坡的倾斜程度的呢? α 斜坡(2)

升 高 量

α

斜坡(1) 前进量 坡面与地面的夹角 ———斜坡的倾斜角α

升高量 坡度(比) ? =tanα 前进量

斜率
定义:直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜 率(倾斜角不为90°) 直线的斜率通常用k表示,即k=tanα 问题1:一条直线的倾斜角α为45°、60°、150° 时直线的斜率分别是多少?一条直线的斜率 为0时直线的倾斜角分别是多少? 问题2:倾斜角能不能为90°? (由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在, 但是斜率k不一定存在 )

如何用直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)来表 示斜率k (x1≠x2) 当P1P2的方向向上时 y P2 (x2,y2)过点P1作x轴的平行线 过点P2作y轴的平行线,两 线相交于点Q, P (x1,y1) Q
1

α
O
x

则点Q的坐标为(x2,y1) 当α为锐角时,α=∠QP1P2 x1<x2,y1<y2

y2 ? y1 | QP2 | ? tan ? ? tan ?QP1 P2 ? x2 ? x1 | PQ | 1

在RtΔP1P2Q中

如何用直线上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)来表 示斜率k (x1≠x2) 过点P1作x轴的平行线 y P2 (x2,y2) 过点P2作y轴的平行线,两 线相交于点Q, 则点Q的坐标为(x2,y1) Q P (x1,y1) 当α为钝角时, α α=180°-∠QP1P2 O x x1>x2,y1<y2, 在RtΔP P Q中 1 2
1

tan ? ? tan(180o ? ?QP1 P2 ) ? ? tan ?QP1 P2
| QP2 | y2 ? y1 y2 ? y1 tan ?QP1 P2 ? ? ?? | P1Q | x1 ? x2 x2 ? x1

y2 ? y1 tan ? ? x2 ? x1

y

P1 (x1,y1) P2(x2,y2) Q α

y

P1(x1,y1)

Q
P2 (x2,y2) α
O x

O

x

当直线P2P1的方向向上时,仿照以上过程,也有

y2 ? y1 k ? tan ? ? x2 ? x1

直线的斜率公式
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线斜率公式

y2 ? y1 k? x2 ? x1

(x1 ? x 2 )

思考: 1、已知直线上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,运用 上述公式计算直线 AB的 斜率时,与 A, B 两点坐标的 顺序有关吗? 无关 2、当直线平行于y 轴,或与y 轴重合时,上述斜 率公式还适用吗?为什么? 不适用 3、当直线 P2 P 与x 轴平行或重合时,上述式子还成 1 立吗?为什么?成立

例题分析
例1 如图 ,已知 A(3, 2), B(?4,1), C (0, ?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率
k AB 1? 2 1 ? ? ; ?4 ? 3 7

直线BC的斜率

?1 ? 1 ?2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1 ? 2 ?3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0 ? 3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均
k BC ? 0

为锐角;由

知,直线BC的倾斜角为钝角.

例题分析
例2 在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率 分别为1,-1,2及-3的直线 l1 , l2 , l3 及 l 4. y A3 l3 l 解:取 l1 上某一点为 A1 的 A 1 坐标是 ( x1 , y1 ) ,根据斜率公式 A1 有: y1 ? 0 O x 1? , A
3

x1 ? 0

2

即 x1 ? y1 .

l4

l4

A4

ll 2
2

设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l 2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 ) 的直线, l 4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

练习

课本 86页

练习 1、2、3

1、已知下列直线的倾斜角,求直线的斜率 (1)α=30° (2)α=45° (3)α=120° (4)α=135° 2、求经过下列两点直线的斜率,并判断倾斜角是 锐角还是钝角 (1)C(18,8),D(4,-4) (2)P(0,0),Q(-1, 3 )

练习

课本 86页

练习 1、2、3

3、已知a,b,c是两两不等的实数,求经过下列两点 直线的倾斜角 (1)A(a,c),B(b,c) (2)C(a,b),D(a,c) (3)P(b,b+c),Q(a,c+a)

练习 如下图,菱形ABCD中,∠BAD=60°,求菱形各边 和两条对角线所在直线的倾斜角与斜率

y D C

O(A)

B

x

知识小结 倾斜角
斜率增减性讨论

斜率

两点间斜率公式

作业:
学生同步课时作业P99-100


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