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2.3.2平面与平面垂直的判定


一、课堂设问,任务驱动
复习:
两异面直线所成角的取值范围: (0o, 90o ] 直线和平面所成角的取值范围: [ 0o, 90o ]
O

平面的斜线和平面

所成的角的取值范围:
( 0o, 90o )
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?1
A B

r />?

线面垂直定义:

线面垂直判定定理:
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 则该直线与此平面垂直.

m?α n?α m∩n= l ⊥α B ? l⊥m l⊥n 线线垂直? 线面垂直

?

l
B m n

A

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二、新知建构,交流展示
这样的角有何特点,该如何表示呢?

1.二面角及二面角的平面角

α

l

半平面——平面的一条直线把平面分为两部分,
其中的每一部分都叫做一个半平面。
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2.二面角的定义

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半

平面叫做二面角的面.
棱为l,两个面分别为?、 ?的二面角记为 ?-l-? .
l

?
?

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你从图中看出了二面 角的几种写法? O
二 面 角 的 画 法 、 记 法
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B ∠AOB

二面角?A -AB- ?

A

C

二面角C-AB- D
B D

?

B

?

A

?
l

二面角?- l- ?
? ? ?

l

思考:把门打开,门和墙构成二面角;把书打开, 相邻两页书也构成二面角.随着打开的程度不同, 可得到不同的二面角,这些二面角的区别在哪里?
什直 思 么线 考 共和 异 同平 面 的面 直 特所 线 征成 所 ?的 成 角的 有角 9/15/2016 :
? ? ? ?

?

打开的书
?

它们的共同特征都是将三维空间的角转化为二 维空间的角,即平面角。

3.二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分 别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫 做二面角的平面角

二面角的大小用它的平面角来度量

∠A O B
B1


l
O1

[0°,180°] ∠A1O1B1 二面角范围:
二面角的平面角的三个特征: 1.点在棱上 2.线在面内 3.与棱垂直
?

?

B

O
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9

A

A1

平面角是直角的二面角叫做直二面角

4 二 面 (2).垂面法 角 作与棱垂直的平面与 两半平面的交线得到 的 (3). 垂线法 平 面 A 角 ? 的 作 D 法 l O
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(1).定义法 根据定义作出来

A

?
l O

B

?

? l ?
O γ A B

?

练习: 指出下列各图中的二面角的平面角:
正方体 A’C中 D’ A’ D A 二面角B--B’C--A B B’ O C C’ A

B
E

O

D C

二面角A--BC--D

(定义法)

(垂线法)

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求 练习:如图,三棱锥V-ABC中, VA=VB=AC=BC=2,AB= 2 3 ,VC=1, 二 一面 试 找出二面角V-AB-C的平面角,并求它 找 角 的度数。 ,的 步 二骤 解:取AB的中点D,连接VD,CD V 正: ? VA=VB=AC=BC=2 , ? D是AB的中点 ?VD ? AB, CD ? AB 三 2 1 ? ?VDC为二面角V ? AB ? C 计 2 算 的平面角。 2 A 在?VDC中,VC ? 1 C D 2 2 VD ? DC ? 2 ? ( 3) ? 1
?

? ?VDC为等边三角形
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2

2 3

60? ??VDC ? 60? ?二面角V ? AB ? C的平面角为

B

观察:

教室里的墙面所在平面与地面所在平 面相交,它们所成的二面角及其度数. 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面 角,就说这两个平面互相垂直。 两个平面互相垂直通常画成:直立平面的竖边画 成与水平平面的横边垂直。平面α 与β 垂直,记 作:α ⊥β 。

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三、新知建构,交流展示

β

a
A α b

(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)你能举出日常生活中平面与平面垂直的例子?
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建筑工人砌墙时,常用一端系有铅锤的线来检查所砌 的墙面是否和地面垂直,如果系有铅锤的线和墙面紧贴, 那么所砌的墙面与地面垂直。大家知道其中的理论根据吗?

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猜想:
如果一个平面经过了另一个平面的一条 垂线,那么这两个平面互相垂直.
下面我们来验证这个定理

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已知:直线 AB⊥平面β 于B点,AB ? 平面α , 求证:α ⊥ β 证明:设α ∩β =CD,则B∈CD, 在平面β 内过B点作BE⊥CD。
α A
D

∵AB⊥CD,AB⊥BE。


β
E

∴∠ABE=90 是二 C 面角α —CD—β 的平面角, ∴二面角α —CD —β 是直二面角,即α ⊥β 。
B
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一个平面过另一个平面的垂线,则这两 个平面垂直. β
a
A

α 符号: a?? ?? ? ? a ? 面? 简记:线面垂直,则面面垂直
线线垂直
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线面垂直

面面垂直

无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂 2.过一点可作_____ 直.

一 个平 3.过平面α的一条斜线,可作____ 面与平面α垂直.
一 4.过平面α的一条平行线可作____个平
面与α垂直.

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例3、如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平 面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点,求证:平面 PAC⊥平面PBC.

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证明: 设已知⊙O平面为α ? PA ? 面? , BC ? 面?
? PA ? BC 又? AB为圆的直径 ? AC ? BC PA ? BC ? AC ? BC ? PA ? AC ? A ? ? PA ? 面PAC ?

? BC ? 面PAC
BC ? 面PBC
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AC ? 面PAC ? ?
? ? ?

? 面PAC ? 面PBC

探究: 已知AB ? 面BCD, BC ? CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB ? 面BCD ? 面ABC ? 面BCD AB ? 面BCD ? 面ABD ? 面BCD CD ? 面ABC ? 面ABC ? 面ACD
B D A

C

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三、新知建构,交流展示
题型一 求二面角的大小
【例 1】 如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求二面角 D1-BC-D 的平面角的大 小.

解:在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,∴BC⊥平 面 D1C. 又 D1C? 平面 D1C, ∴BC⊥D1C,∴∠D1CD 是二面角 D1-BC-D 的平面角. 在△D1CD 中,D1D⊥CD,D1D=CD, ∴∠D1CD=45° .∴二面角 D1-BC-D 的平面角的大小是 45° . 题后反思:异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角统称为空间角, 其求解方法相同,步骤是:①作出它们的平面角;②证明所作的角满足定义;③ 9/15/2016 将作出的角放在三角形中,计算出平面角的大小,又简称为“ 一作二证三计算”.

题型二

证明两个平面垂直

【例 2】如图所示 ,把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 AB 旋转至 △ABD 的位置 , 使 CD=AC , 求证:平面 ABD⊥平面 ABC.

证明:证法一:取 AB 的中点 O,如图所示,连接 OD, OC. ∵ AD=DB, ∴ DO⊥ AB. 又△ ABD≌△ ABC, ∴ OD=OC= 1 AB,

2

又△ ABC 是等腰直角三角形, ∴ OC=

2 AC, 又 CD=AC, ∴ OC= 2 CD, 2 2

∴ OD2+OC2=2OC2=CD2,∴ DO⊥ OC. 又 AB? 平面 ABC, OC? 平面 ABC, AB∩OC=O, ∴ DO⊥平面 ABC. 又 DO? 9/15/2016 平面 ABD,∴平面 ABD⊥平面 ABC.

证法二:取 AB 的中点 O,连接 OD,OC,如图所示. 则有 OD⊥AB, OC⊥AB, 即∠COD 是二面角 C-AB-D 的平面角. 设 AC=a, 则 OC=OD= 2 a.
2

又∵CD=AD=AC, ∴CD=a, ∴CD2=OC2+OD2. ∴△COD 是直角三角形,即∠COD=90° . ∴二面角 C-AB-D 是直二面角,即平面 ABD⊥平面 ABC.

题后反思:(1)证明面面垂直的方法有二: ①定义;② 面面垂直的判定定理 (2)通常情况下,利用面面垂直的判定定理要比定义简单, 这也是证明面面垂直的常用方法,即要证面面垂直,只要转 证线面垂直,其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直 线与另一平面垂直 . 9/15/2016

【例 3】 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中, PA ⊥平面 ABCD, 四边 形 ABCD 是正方形 ,且 PA=2AD ,二面角 P -CD-A 的平面角为? , 则 tan? = .

例 3 已知?BSC ? 90 ,?BSA ? ?CSA ? 60 , 例 4
0 0

又SA ? SB ? SC. (1)求证:面ABC ? 面SBC A (2)求SA与面ABC所成角
B
D
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S

C

练习1:如图,平面γ 垂直于二面角的棱l,分别与 面α 、β 相交于OA、OB,则∠AOB是二面角的平面 角吗?为什么?

l
O

B A α
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γ

β

练习2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角B1AC-B大小的正切值.

C1 B1 C B
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D1 A1 D
O

A

五、课堂总结,布置作业
一、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角
ι
β α

二、二面角的平面角
1、定义 2、求二面角的平面角方法 ①点P在棱上 —定义法 ②点P在二面角内 —垂面法
ι
p
γ

ι
P

α
A

β
B

α
β
A B O

β
B

p

α
A

ι
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五、课堂总结,布置作业
(1)判定面面垂直的两种方法: ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面

互相垂直的依据,而且是找出垂直于一个平

面的另一个平面的依据;
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面

面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
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