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福建省宁德市部分一级达标中学2015-2016学年高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二 (上) 期中数学试 卷(理科)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若 a>b,c>d,则下列不等式成立的是( A. B.ac>bd )

C.a2+c2>b2+d2 D.a+c>b+d

2.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=7﹣a2,则 S4=( A.15 B.14 C.13 D.12



3.不等式

的解集为(



A.[﹣1,3] B.[﹣3,﹣1]

C.[﹣3,1] D.[1,3]

4.已知变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣y 的最小值为(



A.﹣8 B.﹣5 C.﹣2 D.﹣1

5.已知正项等比数列{an},且 a2a10=2a52,a3=1,则 a4=( A. B. C. D.2



6.在△ ABC 中,a=3, A. B. C.

,A=60°,则 cosB=( D.



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7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里 有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径的长度为( )

A.

B.

C.

D.

8.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若角 A,B,C 成等差数列,边 a,b,c 成 等比数列,则 sinA?sinC 的值为( A. B. C. D. )

9.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=2, 积为( A. ) B. C. D.

,且 a+b=3 则△ ABC 的面

10. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 Sn=2an﹣2. 若数列{bn}满足 bn=10﹣log2an, 则是数列{bn} 的前 n 项和取最大值时 n 的值为( A.8 B.10 C.8 或 9 )

D.9 或 10

11.已知 a>1,b>1,且 A.13 B.14 C.15 D.16

,则 a+4b 的最小值为(



12. 数列{an}满足 a1=1, 且对任意的 m,n∈N*都有 am+n=am+an+mn,则 A. B. C. D.

等于 (



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置.
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13.不等式

的解集是



14.已知数列{an}的通项公式为

,则 a1+a2+…+a30=



15.已知数列{an}满足 a1=1,

,则数列{an}的通项公式为 an=



16.如图,在△ ABC 中,D 为边 BC 上一点, 为 .

,若 AB=1,AC=2,则 AD?BD 的最大值

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 b2+c2=a2+bc,求角 A 的大小; (Ⅱ)若 acosA=bcosB,试判断△ ABC 的形状.

18.已知公差不为零的等差数列{an},若 a1=2,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{anbn}的前 n 项和 Sn.

19.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知向量 =(2sinA,cos(A﹣B)), =(sinB,﹣1),且 ? = . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ,求 b﹣a 的取值范围.

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20.某工厂引入一条生产线,投人资金 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本 w(x),当年产量 不足 80 干件时,w(x)= x2+10x(万元),当年产量不小于 80 千件时,w(x)=51x+ (万元),当每件商品售价为 500 元时,该厂产品全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x)(万元)与年产量 x(千件)的函数关系式; (Ⅱ)年产量为多少千件时该厂的利润最大. ﹣1450

21.已知关于 x 的不等式 x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R). (Ⅰ)解该不等式; (Ⅱ)定义区间(m,n)的长度为 d=n﹣m,若 a∈[0,4],求该不等式解集表示的区间长度的最大 值.

22.已知数列{an}的前 n 项和 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)记



,若对于一切的正整数 n,总有 Tn≤m 成立,求实数 m 的取值范围. ,若不等式 对任意的 n∈N*恒成

(Ⅲ)设 Bn 为数列{bn}的前 n 项的和,其中 立,试求正实数 t 的取值范围.

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2015-2016 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(上)期 中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若 a>b,c>d,则下列不等式成立的是( A. B.ac>bd )

C.a2+c2>b2+d2 D.a+c>b+d

【考点】不等式的基本性质. 【专题】转化思想;综合法;不等式. 【分析】本题是选择题,可采用逐一检验,利用特殊值法进行检验,很快问题得以解决. 【解答】解:∵a>b,c>d, ∴设 a=1,b=﹣1,c=﹣2,d=﹣5 分别代入选项 A、B、C 均不符合, 故 A、B、C 均错, 而选项 D 正确, 故选:D, 【点评】本题主要考查了基本不等式,基本不等式在考纲中是 C 级要求,本题属于基础题.

2.已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,若 a3=7﹣a2,则 S4=( A.15 B.14 C.13 D.12



【考点】等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】利用已知条件求出 a3+a2 的值,然后求解 S4 的值. 【解答】解:由题意可知 a3=7﹣a2, a3+a2=7, S4=a1+a2+a3+a4=2(a3+a2)=14. 故选:B.
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【点评】本题考查等差数列的基本性质,数列求和,基本知识的考查.

3.不等式

的解集为(



A.[﹣1,3] B.[﹣3,﹣1]

C.[﹣3,1] D.[1,3]

【考点】指、对数不等式的解法. 【专题】转化思想;数学模型法;不等式的解法及应用. 【分析】根据指数函数的单调性,把原不等式化为 【解答】解:不等式 即 x2+2x﹣4≤﹣1, 整理得 x2+2x﹣3≤0, 解得﹣3≤x≤1, 所以原不等式的解集为[﹣3,1]. 故选:C. 【点评】本题考查了利用指数函数求不等式的解集的应用问题,是基础题目. 可化为 ≤2﹣1, ≤2﹣1,求出解集即可.

4.已知变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x﹣y 的最小值为(



A.﹣8 B.﹣5 C.﹣2 D.﹣1 【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合;综合法;不等式. 【分析】画出满足条件的平面区域,求出 A 点的坐标,将 z=3x﹣y 变形为 y=3x﹣z,显然直线过 A (﹣2,2)时 z 最小,求出 z 的最小值即可. 【解答】解:画出满足条件的平面区域,如图示:

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,解得 A(﹣2,2),

由 z=3x﹣y 得 y=3x﹣z, 显然直线过 A(﹣2,2)时 z 最小, z 的最小值是﹣8, 故选:A. 【点评】本题考察了简单的线性规划问题,考察数形结合思想,是一道基础题.

5.已知正项等比数列{an},且 a2a10=2a52,a3=1,则 a4=( A. B. C. D.2



【考点】等比数列的通项公式. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由已知条件利用等比数列的通项公式列出方程组,求出首项和公比,由此能求出 a4 的值. 【解答】解:∵正项等比数列{an},且 a2a10=2a52,a3=1, ∴ ,且 q>0,

解得 a4= =

,q= .



故选:C. 【点评】本题考查等比数列的第 4 项的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质 的合理运用.
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6.在△ ABC 中,a=3, A. B. C.

,A=60°,则 cosB=( D.



【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由已知及正弦定理可得:sinB= 基本关系式即可求得 cosB 的值. 【解答】解:∵a=3, ∴由正弦定理可得:sinB= ∵a>b,B 为锐角, ∴cosB= 故选:D. 【点评】本题主要考查了正弦定理,大边对大角,同角三角函数基本关系式的应用,属于基础题. = . ,A=60°, = = , = ,由 a>b,可得 B 为锐角,利用同角三角函数

7.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120°的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口,且小区里 有一条平行于 AO 的小路 CD.已知某人从 O 沿 OD 走到 D 用了 2 分钟,从 D 沿着 DC 走到 C 用了 3 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,则该扇形的半径的长度为( )

A.

B.

C.

D.

【考点】扇形面积公式. 【专题】应用题;数形结合;三角函数的求值. 【分析】连接 OC,由 CD∥OA 知∠CDO=60°,可由余弦定理得到 OC 的长度. 【解答】解:设该扇形的半径为 r 米,连接 CO. 由题意,得 CD=150(米),OD=100(米),∠CDO=60°, 在△ CDO 中,CD2+OD2﹣2CD?OD?cos60°=OC2,

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即,150 2+1002﹣2×150×100× =r2, 解得 r=50 故选:B. (米).

【点评】本题主要考查用余弦定理求三角形边长,解答的关键是构造三角形后利用余弦定理,属于 基础题.

8.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若角 A,B,C 成等差数列,边 a,b,c 成 等比数列,则 sinA?sinC 的值为( A. B. C. D. )

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】依题意,可求得 B= ,利用正弦定理即可求得 sinAsinC;另解,求得 B= ,利用余弦定

理 =cosB 可求得 a2+c2﹣ac=ac,从而可求得答案. 【解答】解:∵△ABC 中,A,B,C 成等差数列, ∴2B=A+C,又 A+B+C=π, ∴B= ,… …

又 b2=ac,由正弦定理得 sinAsinC=sin2B= 另解:b2=ac,

=cosB=

=

,…

由此得 a2+c2﹣ac=ac,得 a=c, 所以 A=B=C,sinAsinC= . 故选:A.… 【点评】本题考查正弦定理与余弦定理,熟练掌握两个定理是灵活解题的关键,属于中档题.
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9.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c.若 c=2, 积为( A. ) B. C. D.

,且 a+b=3 则△ ABC 的面

【考点】余弦定理;正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由已知及余弦定理可解得 ab 的值,利用三角形面积公式即可得解. 【解答】解:∵c=2, ,a+b=3,

∴由余弦定理:c2=a2+b2﹣2abcosC,可得:4=a2+b2﹣ab=(a+b)2﹣3ab=9﹣3ab, ∴解得:ab= , ∴S△ ABC= absinC= 故选:D. 【点评】本题主要考查了余弦定理,三角形面积公式的应用,属于基础题. = .

10. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且满足 Sn=2an﹣2. 若数列{bn}满足 bn=10﹣log2an, 则是数列{bn} 的前 n 项和取最大值时 n 的值为( A.8 B.10 C.8 或 9 )

D.9 或 10

【考点】数列的求和. 【专题】点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】通过 Sn=2an﹣2 可求出 an=2n,进而可知 bn=10﹣n,计算即得结论. 【解答】解:∵Sn=2an﹣2, ∴Sn+1=2an+1﹣2, 两式相减得:an+1=2an+1﹣2an,即 an+1=2an, 又∵S1=2a1﹣2,即 a1=2, ∴数列{an}是首项、公比均为 2 的等比数列, ∴an=2n,bn=10﹣log2an=10﹣n, 令 bn=10﹣n≥0、bn+1=9﹣n≤0,解得:n=9 或 10, 故选:D.
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【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

11.已知 a>1,b>1,且 A.13 B.14 C.15 D.16

,则 a+4b 的最小值为(



【考点】基本不等式. 【专题】整体思想;换元法;不等式. 【分析】换元可化问题为 s>0,t>0 且 + =1,代入可得 a+4b=10+ 【解答】解:∵a>1,b>1,且 令 a﹣1=s,b﹣1=t,则 a=s+1,b=t+1, 则 s>0,t>0 且 + =1, a+4b=(s+1)+4(t+1)=s+4t+5 =(s+4t)( + )+5=10+ ≥10+2 当且仅当 =14, = 即 s=3 且 t= 时取等号, + , + ,由基本不等式可得.

解得 a=s+1=4,b=t+1= , 故选:B. 【点评】本题考查基本不等式求最值,换元并变形为可以基本不等式的形式是解决问题的关键,属 基础题.

12. 数列{an}满足 a1=1, 且对任意的 m,n∈N*都有 am+n=am+an+mn,则 A. B. C. D.

等于 (



【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;转化法;等差数列与等比数列. n∈N*都有 am+n=am+an+mn, 【分析】 数列{an}满足 a1=1, 且对任意的 m, 可得 an+1﹣an=1+n, 利用“累 加求和”可得 an,再利用“裂项求和”即可得出. 【解答】解:∵数列{an}满足 a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有 am+n=am+an+mn,
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∴an+1﹣an=1+n, ∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =n+(n﹣1)+…+2+1 = ∴ 则 故选:A. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题. = =2 . . + +…+ =2 = .

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.不等式 的解集是 (﹣∞,﹣2)∪(3,+∞) .

【考点】其他不等式的解法. 【专题】转化思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】不等式即即(x﹣3)(x+2)>0,求得 x 的范围. 【解答】解:不等式 ,即(x﹣3)(x+2)>0,求得 x<﹣2,或 x>3,

故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(3,+∞). 【点评】本题主要考查分式不等式的解法,属于基础题.

14.已知数列{an}的通项公式为 【考点】数列的求和. 【专题】转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】利用“分组求和”方法即可得出. 【解答】解:∵ ,

,则 a1+a2+…+a30= 30 .

∴a1+a2+…+a30=(﹣1+3)+(﹣5+7)+…+[﹣(2n﹣3)+(2n﹣1)] =2×15 =30.
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故答案为:30. 【点评】本题考查了“分组求和”方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

15.已知数列{an}满足 a1=1, 【考点】数列递推式.

,则数列{an}的通项公式为 an= (3n﹣2)2 .

【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】由 a1=1, 得出. 【解答】解:∵a1=1, ∴ ∴数列 ∴ ﹣ =3, 是等差数列,首项为 1,公差为 3. =1+3(n﹣1)=3n﹣2. >0, >0,可得 ﹣ =3,利用等差数列的通项公式即可

∴an=(3n﹣2)2, 故答案为:(3n﹣2)2. 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题.

16.如图,在△ ABC 中,D 为边 BC 上一点, .

,若 AB=1,AC=2,则 AD?BD 的最大值为

【考点】相似三角形的性质. 【专题】计算题;选作题;方程思想;解三角形. 【分析】设 BD=a,求出 AD,再利用基本不等式,即可求出 AD?BD 的最大值. 【解答】解:设 BD=a,则 DC=2a,∴cosB= = ,

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∴AD=

=



∴AD?BD=a? ∴AD?BD 的最大值为 故答案为: .

= .





【点评】本题考查余弦定理、基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ)若 b2+c2=a2+bc,求角 A 的大小; (Ⅱ)若 acosA=bcosB,试判断△ ABC 的形状. 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;数形结合法;解三角形. 【分析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理可得 cosA= ,又结合∠A 是△ ABC 的内角,即可求 A 的值. (Ⅱ) 由正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB, 可得 sin2A=sin2B. 利用正弦函数的图象和性质可得 2A=2B 或 2A+2B=π,即可得解. 【解答】解:(Ⅰ)∵由已知得 cosA= 又∵∠A 是△ ABC 的内角, ∴A= .… = = ,…

(Ⅱ)在△ ABC 中,由 acosA=bcosB,得 sinAcosA=sinBcosB,… ∴sin2A=sin2B.… ∴2A=2B 或 2A+2B=π.… ∴A=B 或 ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形.… 【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,正弦函数的图象和性质,考查了转化思想和数形结 合思想的应用,属于中档题.

第 14 页(共 20 页)

18.已知公差不为零的等差数列{an},若 a1=2,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求数列{anbn}的前 n 项和 Sn.

【考点】数列的求和;等差数列的通项公式. 【专题】方程思想;转化思想;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d≠0.由 a1=2,且 a1,a3,a9 成等比数列,可得 即(2+2d)2=2×(2+8d),解出 d 即可得出. (II)利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解:(Ⅰ)设数列{an}的公差为 d≠0. ∵a1=2,且 a1,a3,a9 成等比数列, ∴ ∴4d2=8d, ∵d≠0,∴d=2. ∴an=2n. (Ⅱ) Sn=1?2+2?22+3?22+…+n?2n.① 从而 2?Sn=1?22+2?23+3?23+…+n?2n+1.② ①﹣②,得(1﹣2)Sn=2+22+23+…+2n﹣n?2n+1, 即 , , ,即(2+2d)2=2×(2+8d), ,





【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、“错位相减法”,考查了推 理能力与计算能力,属于中档题.

19.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知向量 =(2sinA,cos(A﹣B)), =(sinB,﹣1),且 ? = . (Ⅰ)求角 C 的大小;
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(Ⅱ)若

,求 b﹣a 的取值范围.

【考点】余弦定理;平面向量共线(平行)的坐标表示;正弦定理. 【专题】转化思想;数形结合法;解三角形;平面向量及应用. 【分析】(Ⅰ)由 ? = ,得 <π,即可求 C 的值. (Ⅱ)由正弦定理可得 a=2sinA,b=2sinB.从而可得 b﹣a= ,利用余弦函数的图象和性质即可解得 b﹣a 的范围. 【解答】解:(Ⅰ)由 ? = ,得 ,… ∴ ∵0<C<π, ∴ .… ,且 , ,即 ,… ,… ,由 ,可得 ,化简可得 ,结合范围 0<C

(Ⅱ)∵





∴a=2sinA,b=2sinB.… ∴b﹣a=2sinB﹣2sinA= = = ∵ ∴ ∴ ∴ .… , , ,… ,… = … …

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,平面向量共线的性质的应用,考查了余弦函数的图 象和性质,三角函数恒等变换的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.
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20.某工厂引入一条生产线,投人资金 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本 w(x),当年产量 不足 80 干件时,w(x)= x2+10x(万元),当年产量不小于 80 千件时,w(x)=51x+ (万元),当每件商品售价为 500 元时,该厂产品全部售完. (Ⅰ)写出年利润 L(x)(万元)与年产量 x(千件)的函数关系式; (Ⅱ)年产量为多少千件时该厂的利润最大. 【考点】函数模型的选择与应用. 【专题】计算题;应用题;函数的性质及应用. 【分析】(Ⅰ)由题意可得 x 千件销售额 0.05×1000x=50x 万元,从而写出 0<x<80 和 x≥80 时的函 数关系式,进而用分段函数表示出年利润 L(x)(万元)与年产量 x(千件)的函数关系式; (Ⅱ)由题意分别求 0<x<80 和 x≥80 时函数的最大值,从而确定年产量为多少千件时该厂的利润 最大. 【解答】解:(Ⅰ)当每件商品售价为 0.05 万元时,x 千件销售额 0.05×1000x=50x(万元) 当 0<x<80 时,L(x)=50x﹣( x2+10x)﹣250=﹣ x2+40x﹣250; 当 x≥80 时,L(x)=50x﹣(51x+ ﹣1450)﹣250=1200﹣(x+ ); ﹣1450

故 L(x)=



(Ⅱ)当 0<x<80 时,L(x)=﹣ x2+40x﹣250; 当 x=60 时,L(x)有最大值为 950; 当 x≥80 时,L(x)=1200﹣(x+ 当且仅当 x= ,即 x=100 时, );

L(x)有最大值为 1000; ∴年产量为 100 千件时该厂的利润最大. 【点评】本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力,同时考查了分段函数的应用,属于中 档题.

21.已知关于 x 的不等式 x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).
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(Ⅰ)解该不等式; (Ⅱ)定义区间(m,n)的长度为 d=n﹣m,若 a∈[0,4],求该不等式解集表示的区间长度的最大 值. 【考点】一元二次不等式的解法. 【专题】计算题;转化思想;综合法;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)原不等式化为[x﹣(a2+2)](x﹣3a)<0,根据 1<a<2,a=1 或 a=2 分类讨论,能 求出原不等式的解集. (Ⅱ)当 a≠1 且 a≠2 时, 集表示的区间长度的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)原不等式可化为[x﹣(a2+2)](x﹣3a)<0,… 当 a2+2<3a,即 1<a<2 时, 原不等式的解为 a2+2<x<3a; …当 a2+2=3a,即 a=1 或 a=2 时,原不等式的解集为?; … 当 a2+2>3a,即 a<1 或 a>2 时, 原不等式的解为 3a<x<a2+2.… 综上所述,当 1<a<2 时,原不等式的解为 a2+2<x<3a, 当 a=1 或 a=2 时,原不等式的解集为?, 当 a<1 或 a>2 时,原不等式的解为 3a<x<a2+2. (Ⅱ)当 a=1 或 a=2 时,该不等式解集表示的区间长度不可能最大.… 当 a≠1 且 a≠2 时, 设 t=a2+2﹣3a,a∈[0,4], 则当 a=0 时,t=2,当 ∴当 a=4 时,dmax=6.… 【点评】本题考查一元二次不等式的解法,考查不等式解集表示的区间长度的最大值的求法,是中 档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用. 时, ,当 a=4 时,t=6,… ,a∈[0,4].… ,a∈[0,4],由此能求出该不等式解

22.已知数列{an}的前 n 项和 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;



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(Ⅱ)记

,若对于一切的正整数 n,总有 Tn≤m 成立,求实数 m 的取值范围.

(Ⅲ)设 Bn 为数列{bn}的前 n 项的和,其中 恒成立,试求正实数 t 的取值范围. 【考点】数列的求和;数列递推式.

,若不等式

对任意的 n∈N*

【专题】综合题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】(Ⅰ)由 an= ,利用 ,能求出 an=3n.

(Ⅱ)先求出 值范围. (Ⅲ)由

=

,再求出{Tn}中的最大值为

,由此能求出实数 m 的取

,由此能求出正实数 t 的取值范围.

【解答】解:(Ⅰ)∵数列{an}的前 n 项和 ∴当 n≥2 时, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=3n,… 又 n=1 时,a1=S1=3 满足上式, ∴an=3n.… ,



(Ⅱ)

,…

当 n=1,2 时,Tn+1≥Tn, 当 n≥3 时,n+2<2n?Tn+1<Tn, ∴n=1 时,T1=9,n=2,3 时, ∴{Tn}中的最大值为 .… , ,n≥4 时,Tn<T3,

要使 Tn≤m 对于一切的正整数 n 恒成立,只需

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.…

(Ⅲ)

,…

将 Bn 代入

,化简得,

(*)

∵t>0,∴ ∴(*)化为

,…9 分 ,

整理得

,…

∴ ∵ ∴

对一切的正整数 n 恒成立,… 随 n 的增大而增大,且 ..… ,

【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意 放缩法的合理运用,是难题.

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