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黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二数学上学期期中试题 理 新人教A版


哈师大附中高二上学期期中考试 数学试题(理科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.抛物线 y ? 4 x2 的焦点坐标为( A. (1,0) ) C. ( 0, )

B. (2,0)

1 8

D. ( 0,

1 ) 16

2. 若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点到焦点 F1 的距离为6,则点P到另一个焦点 F2 的距离为 16 25
B.4 C.6 D.8

( ) A.2

3. 已知中心在原点的双曲线C的上焦点为F (0, 3) , 离心率为

3 , 则C的方程是 ( 2



x2 y 2 ? ?1 A. 4 5

y 2 x2 ? ?1 B. 4 5

x2 y 2 C. ? ?1 4 5


y 2 x2 D. ? ?1 4 5

4.在极坐标系中,圆 ? ? cos(? ? A. ( , ? )

1 2

? 3

? ) 的圆心的极坐标为( 3 1 ? ? B. ( , ) C. (1, ? ) 2 3 3

D. (1, )

? 3

? x ? 2 pt 2 (t 为 参 数 , 5 . 已 知 实 数 p ? 0 , 曲 线 C1 : ? )上的点 A(2, m ) ,圆 ? y ? 2 pt

p ? ? x ? ? 6 cos ? C2 : ? (? 为参数)的圆心为点 B,若 A、B 两点间的距离等于圆 C2 的半 2 ? ? y ? 6sin ?
径,则 p =( A.4 6.已知椭圆C: ) B.6 C.8 D.10

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,则在椭圆C上满足 PF1 PF2 ? 0 16 12
C.3 D.4

的点P的个数有( ) A.0 B.2
2

7 . 已 知 P 是 抛 物 线 x ? 4 y 上 的 一 个 动 点 , 则 点 P 到 直 线 l1 : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 和

l2 : y ? 2 ? 0 的距离之和的最小值是(
A.1
2

) D.4

B.2
2

C.3

2 8.圆 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? r 上有且仅有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 11 ? 0 的距离等于1,则

1

半径 r 的取值范围是( ) A. r ? 1 B. r ? 3

C. 1 ? r ? 3

D. 1 ? r ? 2

9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则实数 k 的取值范围是 ( )

A. ? ?

? ? ?

15 15 ? , ? 3 3 ? ?

B. ? 0,

? ? ?

15 ? ? 3 ? ?

C. ? ?

? ? ?

15 ? ,0? ? 3 ?

D. ? ?

? ? ?

? 15 , ?1 ? ? 3 ?

10.已知P为空间中任意一点,A、B、C、D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,

4 1 PB ? xPC ? DB ,则实数 x 的值为( 3 6 1 1 1 A. B. ? C. 3 3 2
且 PA ?

) D. ?

1 2


11.直线 l 交抛物线 y 2 ? 2 x 于A、B两点,且 OA ? OB ,则直线 l 过定点( A. (1,0) B. (2,0) C. (3,0)

D. (4,0)

12.已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点与顶点,若双曲线 a 2 b2


的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形,则椭圆的离心率为( A.

1 3

B.

1 2

C.

3 3

D.

2 2

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? 面 ABC , AB ? AC ,且 AA1 ? AB ?AC ,则 异面直线 AB1 与 BC1 所成角为_____________. π π 14.已知在极坐标系中,圆 C 的圆心为(6, ),半径为 5,直线 ? = ? ( ≤ ? ≤π ,? ∈ 2 2 R)被圆截得的弦长为 8,则 ? =________. 15 .已知点P(1,3)为圆 x2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 外一点,则实数 m 的取值范围为 ___________. 16.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为 B2 、 B1 、 A 、 a 2 b2

F,延长 B1F 与 AB2 交于点 P,若 ?B1 PA 为钝角,则此椭圆的离心率 e 的取值范围为 _____________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

2

2 ? x? ? ? 1? t2 (t 为 17. (本题满 10 分)已知:在直角坐标系 xOy 中,曲线C的参数方程为: ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?
参数) , 以原点O为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 求曲线C的极坐标方程.

18. (本题满分 12 分) 已知在三棱锥P-ABC中, PA ? 面ABC, AC ? BC,且PA=AC=BC=1,点E是PC的中点,作 EF ? PB交PB于点F. (Ⅰ)求证:PB ? 平面AEF; (Ⅱ)求二面角A-PB-C的大小.







A B 19. (本题满分 12 分)已知椭圆



x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b

2

2

e?

3 ,直线 x ? y ? 1 ? 0 与椭圆交于P、Q两点,且 OP ? OQ ,求该椭圆方程. 2

3 ? x ? ? 2 ? t, ? ? 5 ? 4 20. (本题满分 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为: ? y ? 2 ? t. ( t ? 5 ?
为参数),它与曲线 C : ( y ? 2) ? x ? 1 交于 A , B 两点.
2 2

(Ⅰ) 求 AB 的长; (Ⅱ) 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 设点 P 的 极坐标为 ? 2 2 ,

? ?

3? ? ? ,求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离. 4 ?

3

AB ? 2 ,点 21. (本题满分 12 分)已知在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? AA 1 ?1,
E在棱 AB 上移动. (Ⅰ)求证: D1E ? A 1D ; (Ⅱ)在棱AB上是否存在点E使得 AD1 与平面

D1

C1 B1
D C E B

A1

? D1 EC 成的角为 ?若存在,求出 AE 的长, 6
若不存在,说明理由.



x2 y 2 22. (本题满分 12 分)椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 a b

2 ,过点 F 1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的弦长为 2 ,直线 l : y ? kx ? m 与椭 2
圆交于不同的A,B两点. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若在椭圆C上存在点Q满足: OA ? OB ? ?OQ (O为坐标原点) .求实数 ? 的取 值范围.

哈师大附中高二上学期期中考试 数学试题(理科)答案 一.选择题: 1. D 2. B 3. B 11.B 12.D 二.填空题: 4. A 5. C 6. A 7. C 8. C 9. D 10. A

4

13.

? 2

14.

2? 3

15. ? 7,

? ?

37 ? ? 4 ?

16. ? ?

? 5 ?1 ? ,1? ? ? 2 ?

三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

2 ? x? ? y ? 1? t2 17. (本题满分 10分)解:由 ? ,得 t ? 0,?0 ? x ?2 ,两式相除,得 t ? 代 x ? y ? 2t 2 ? 1? t ?
入x?

2 得 1? t2
, z P

C : x2 ? y 2 ? 2x ? 0( x ? 0)
C : ? ? 2cos ?(? ? 0)
18. (本题满分 12 分) (Ⅰ)略 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 PB ? AF ,且EF ? PB, 故 ?EFA 为二面角A-PB-C的平面角 可求 ?EFA = 60 ?





A x B



y

19. (本题满分 12 分) 解: 设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) , e ?

3 c 3 4 ? ? ? a 2 ? c 2 , a 2 ? 4b2 2 a 2 3

?x ? y ?1 ? 0 x2 y2 ? 2 2 设椭圆方程 2 ? 2 ? 1 , ? x 2 消 y 得 5 x ? 8 x ? 4 ? 4b ? 0 有两根为 x1 , x2 y2 4b b ? 2 ? 2 ?1 ? 4b b
8 ? x ? x ? ? 1 2 ? 1 ? 5 ?? ? 0 ? 5b 2 ? 1? b 2 ? ,且有 ? 2 5 ? x ? x ? 4 ? 4b 1 2 ? 5 ?

OP ? OQ ?OP ? OQ ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即 2x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? 0 即


8 5 5 x2 y 2 4 ? 4b2 2 2 ? ? 1. +( ? )+1=0解得 b ? ? a ? 椭圆方程为 5 5 5 8 2 5 2 8

20. (本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得

5

7t 2 ? 60t ? 125 ? 0
设 A , B 对应的参数分别为 t1 , t 2 ,则 t1 ? t2 ? ? 所以 AB ? t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) ? 4t1t2 ?
2

60 125 , t1t2 ? ? . 7 7

10 71 . 7

(Ⅱ)易得点 P 在平面直角坐标系下的坐标为 (?2,2) ,根据中点坐标的性质可得 AB 中 点 M 对应的参数为

t1 ? t2 30 ? ? .所以由 t 的几何意义可得点 P 到 M 的距离为 2 7 t ?t 30 PM ? 1 2 ? . 2 7

21. (本题满分 12 分) (Ⅰ)略 (Ⅱ)存在, AE ? 13 ? 2

22. (本题满分 12 分)

c 2 2b 2 ? 2 解得 a ? 2, b ? 1, c ? 1 解: (Ⅰ)由已知得 e ? ? , a a 2
所以椭圆C的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , Q( x0 , y0 ) 当 ? ? 0 时由 OA ? OB ? ?OQ 知, OA ? OB ? 0 ,A与B关于原点对称,存在Q满足题意

?? ? 0 成立.
当 ? ? 0 时, ?
2

? y ? kx ? m
2 2 ?x ? 2 y ? 2

2 2 2 得 1 ? 2k x ? 4kmx ? 2m ? 2 ? 0

?

?

? ? ? 4km ? ? 4 ?1 ? 2k 2 ?? 2m2 ? 2 ? ? 0 得 m2 ? 1 ? 2k 2 ……(*)

6

x1 ? x2 ?

2m ?4km 2m 2 ? 2 , x x ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 1 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 1 ? 2k

由 OA ? OB ? ?OQ ,得 ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? ? ? ?x0 , ?y0 ?

1 1 ?4km ? x0 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ? x2 ? ? ? 1 ? 2k 2 ? , ? y 2 ? 1得 代入到 x1 ? x2 ? ?x0 , y1 ? y2 ? ?y0 , ? 2 ? y ? 1 ( y ? y ) ? 1 ? 2m 0 1 2 2 ? ? ? 1 ? 2k ?
m2 ? ?2 ?2 (1 ? 2k 2 ) 代 入 ( * ) 式 (1 ? 2k 2 ) ? 1 ? 2k 2 , 由 1 ? 2k 2 ? 0 得 ?2 ? ? ? 2 且 4 4

? ? 0.

?综上 ? ? ? ?2, 2? .

7


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