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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一(下)期中数学试卷(理科)(解析版)


2015-2016 学年广东省深圳市高级中学高一(下)期中数学试卷 (理科)
一.选择题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以 表示为( ) A.M∩N B. (?UM)∩N C.M∩(?UN)

D. (?UM)∩(?UN) 2.设函数 f(x)= ,g(x)=x2f(x﹣1) ,则函数 g(x)的递减区间是( )

A. B.[0,1) C.[1,+∞) D.[﹣1,0] (﹣∞,0] 3.如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等 腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

A.

B.4

C.

D.2 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是( )

4.函数 f(x)=2x﹣

A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 二.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 5.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是______. 6.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 7.已知圆 C:x2+y2﹣8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点, 且 ,求直线 l 的方程. 8.如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°, E、F 分别为 AC、DC 的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥BC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BF﹣C 的正弦值.

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第二部分本学期知识和能力部分一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项. 9.下列函数中,周期为 π,且在 A. B. 上为减函数的是( C. ) D. )

10.已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=( A.﹣ B.0 C.3 D. ) ,则 cos( D. ,则 ? =( ,则 AC=( ) ) ﹣θ)=( )

11.已知 tanθ= ,θ∈(0, A. B.﹣ C.

12.设向量 , 满足| + |= ,| ﹣ |= A.1 B.2 C.3 D.5 13.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. D. ,且| |= )

14.已知平面向量 , 的夹角为

,| |=2,在△ABC 中,

=2 +2 ,

=2 ﹣6 ,D 为 BC 中点,则| |=( A.2 B.4 C.6 D.8 15.函数

是(



A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 16.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A.向右平移 C.向右平移 个单位 个单位 B.向左平移 D.向左平移 个单位 个单位

cos3x 的图象(



二.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 17.设 θ 为第二象限角,若 ,则 sinθ+cosθ=______.
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18.已知 , 是单位向量, ______.

? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的取值范围是

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19.已知函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) ,x∈R 的最大值是 1,其图象经过点 . (1)求 f(x)的解析式; (2)已知 ,且 , ,求 f(α﹣β)的值.

20.已知向量 =(3,﹣4) , =(6,﹣3) , =(5﹣m,﹣(3+m) ) . (1)若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω>0,﹣π<φ<π)在一个周期内的图象如图所 示. (1)求 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中,f(C+ )=﹣1 且 ? <0,求角 C.

22.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b2+c2=a2+bc,求: (1)2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值; (2)若 a=2,求△ABC 周长的最大值. 23.已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, (3)当 x∈[0, ]上的单调性; ) (ω>0)的最小正周期为 π.

]时,关于 x 的方程 f(x)=a 恰有两个不同的解,求实数 a 的取值范围.

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2015-2016 学年广东省深圳市高级中学高一(下)期中数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={3,4,5},N={1,2,5},则集合{1,2}可以 表示为( ) A.M∩N B. (?UM)∩N C.M∩(?UN) D. (?UM)∩(?UN) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据元素之间的关系进行求解即可. 【解答】解:∵M={3,4,5},N={1,2,5}, ∴M∩N={5}, (?UM)∩N={1,2}, M∩(?UN)={3,4}, (?UM)∩(?UN)=?, 故选:B

2.设函数 f(x)=

,g(x)=x2f(x﹣1) ,则函数 g(x)的递减区间是(



A. (﹣∞,0]

B.[0,1) C.[1,+∞)

D.[﹣1,0]

【考点】函数单调性的判断与证明. 【分析】由题意求出 g(x)的解析式,再由二次函数的图象画出函数的图象,根据图象写 出减区间.

【解答】解:由题意得,



函数的图象如图所示, 其递减区间是[0,1) . 故选 B.

3.如图,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等 腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )

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A.

B.4

C.

D.2

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】 根据已知中的三视图及相关视图边的长度, 我们易判断出该几何体的形状及底面积 和高的值,代入棱锥体积公式即可求出答案. 【解答】解:由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得 这个几何体是一个四棱锥 由图可知,底面两条对角线的长分别为 2 ,2,底面边长为 2 故底面菱形的面积为 侧棱为 2 故 V= 故选 C 4.函数 f(x)=2x﹣ ,则棱锥的高 h= =2 =2 =3

的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围是(



A. (1,3) B. (1,2) C. (0,3) D. (0,2) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解不等式求得实数 a 的取值范围. 【解答】解:由题意可得 f(1)f(2)=(0﹣a) (3﹣a)<0,解得 0<a<3, a 0 3 故实数 的取值范围是( , ) , 故选 C. 二.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 5.已知点 A(1,2) 、B(3,1) ,则线段 AB 的垂直平分线的方程是 4x﹣2y﹣5=0 . 【考点】直线的点斜式方程. 【分析】要求线段 AB 的垂直平分线,即要求垂直平分线线上一点与直线的斜率,根据中点 坐标公式求出 AB 的中点 M 的坐标,利用 A 与 B 的坐标求出直线 AB 的斜率,根据两直线 垂直时斜率乘积为﹣1 得到垂直平分线的斜率, 根据 M 的坐标和求出的斜率写出 AB 的垂直 平分线的方程即可. 【解答】解:设 M 的坐标为(x,y) ,则 x= 因为直线 AB 的斜率为 =2,y= = ,所以 M(2, )

=﹣ ,所以线段 AB 垂直平分线的斜率 k=2,

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则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y﹣ =2(x﹣2)化简得 4x﹣2y﹣5=0 故答案为:4x﹣2y﹣5=0

6.若正三棱锥的侧面都是直角三角形,则侧面与底面所成的二面角的余弦值为



【考点】二面角的平面角及求法. 【分析】如图所示,取 AC 的中点 D,连接 PD,BD.由于 PA=PC,可得 PD⊥AC.利用正 三棱锥的侧面都是直角三角形,可得 PB⊥平面 PAC,于是 PD⊥AC.因此∠BDP 是侧面与 底面所成的二面角的平面角.利用直角三角形的边角关系即可得出. 【解答】解:如图所示,取 AC 的中点 D,连接 PD,BD. ∵PA=PC,∴PD⊥AC. ∵PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA. 又 PA∩PC=P,∴PB⊥平面 PAC. ∴PD⊥AC. ∴∠BDP 是侧面与底面所成的二面角的平面角. 不妨取 PA=2,则 PD= = = .

PD=

=

. = = .

在 Rt△PBD 中,cos∠BDP= 故答案为: .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 7.已知圆 C:x2+y2﹣8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.若直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点, 且 ,求直线 l 的方程. 【考点】直线与圆相交的性质. 【分析】求出圆心和半径,由条件利用弦长公式求得弦心距等于 ,再由点到直线的距离 公式求得 a 的值,从而求得直线 l 的方程. 【解答】解:将圆 C 的方程 x2+y2﹣8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y﹣4)2=4,则此圆的 圆心坐标为(0,4) ,半径为 2.… 过圆心 C 作 CD⊥AB,则 D 为 AB 的中点, ,
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因为|BC|=2,所以 由

.…

,解得 a=﹣7,或 a=﹣1.…

即所求直线的方程为 7x﹣y+14=0 或 x﹣y+2=0.… 8.如图,△ABC 和△BCD 所在平面互相垂直,且 AB=BC=BD=2.∠ABC=∠DBC=120°, E、F 分别为 AC、DC 的中点. (Ⅰ)求证:EF⊥BC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BF﹣C 的正弦值.

【考点】用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的性质;二面角的平面角及求法. 【分析】 (Ⅰ)以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直 线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示空间直角坐标系, 得到 E、F、B、C 点的坐标,易求得此 ? =0,所以 EF⊥BC; (Ⅱ)设平面 BFC 的一个法向量 题意,可求得一个 =(1,﹣ =(0,0,1) ,平面 BEF 的法向量 =(x,y,z) ,依

,1) ,设二面角 E﹣BF﹣C 的大小为 θ,可求得 sinθ 的值.

【解答】 (Ⅰ)证明:由题意,以 B 为坐标原点,在平面 DBC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 x 轴,BC 所在直线为 y 轴,在平面 ABC 内过 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴,建立如图所示空 间直角坐标系,易得 B(0,0,0) ,A(0,﹣1, ) ,D( ,﹣1,0) ,C(0,2,0) , 因而 E(0, , 因此 ? ) ,F( , ,0) ,所以 =( ,0,﹣ ) , =(0,2,0) ,

=0,所以 EF⊥BC. =(0,0,1) ,平面 BEF 的法向量 ) , =(x,

(Ⅱ)解:在图中,设平面 BFC 的一个法向量 y,z) ,又 =( , ,0) , =(0, ,



得其中一个

=(1,﹣

,1) ,

设二面角 E﹣BF﹣C 的大小为 θ,由题意知 θ 为锐角,则 cosθ=|cos< , >|=| |= ,

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因此 sinθ=

=

,即所求二面角正弦值为



第二部分本学期知识和能力部分一.选择题:共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每个小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项. 9.下列函数中,周期为 π,且在 A. B. 上为减函数的是( C. ) D.

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性;余弦函数的单调性. 【分析】先根据周期排除 C,D,再由 x 的范围求出 2x+ 性可判断 A 和 B,从而得到答案. 【解答】解:C、D 中函数周期为 2π,所以错误 当 函数 而函数 故选 A. 10.已知向量 =(k,3) , =(1,4) , =(2,1)且(2 ﹣3 )⊥ ,则实数 k=( A.﹣ B.0 C.3 D. ) 时, 为减函数 为增函数, , 的范围,再由正余弦函数的单调

【考点】平面向量的坐标运算. 【分析】根据两个向量的坐标,写出两个向量的数乘与和的运算结果,根据两个向量的垂直 关系,写出两个向量的数量积等于 0,得到关于 k 的方程,解方程即可. 【解答】解:∵ =(k,3) , =(1,4) , =(2,1) ∴2 ﹣3 =(2k﹣3,﹣6) , ∵(2 ﹣3 )⊥ , ∴(2 ﹣3 )? =0' ∴2(2k﹣3)+1×(﹣6)=0, 解得,k=3. 故选:C.

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11.已知 tanθ= ,θ∈(0, A. B.﹣ C.

) ,则 cos( D.

﹣θ)=(



【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】利用同角三角函数的基本关系,求出 cosθ 和 sinθ 的值,再根据两角差的余弦公式 即可求出. 【解答】解:∵tanθ= ,θ∈(0, ∴ = ) ,

又 sin2θ+cos2θ=1, ∴sinθ= ,cosθ= , ∴cos( 故选:C. 12.设向量 , 满足| + |= ,| ﹣ |= ,则 ? =( A.1 B.2 C.3 D.5 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论. 【解答】解:∵| + |= ,| ﹣ |= , ∴分别平方得 +2 ? + =10, ﹣2 ? + =6, ) ﹣θ)=cos cosθ+sin sinθ= ×(﹣ )+ × = ,

两式相减得 4 ? =10﹣6=4, 即 ? =1, 故选:A. 13.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B=45°, A. B. C. D. ,则 AC=( )

【考点】正弦定理. 【分析】结合已知,根据正弦定理, 【解答】解:根据正弦定理, , 可求 AC



故选 B

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14.已知平面向量 , 的夹角为

,且| |= )

,| |=2,在△ABC 中,

=2 +2 ,

=2 ﹣6 ,D 为 BC 中点,则| |=( A.2 B.4 C.6 D.8 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由已知中平面向量 , 的夹角为 边 BC 的中点, = =2

,且| |=

,| |=2,
2

=3,再由 D 为

,利用平方法可求出 ,且| |= ,| |=2,

=4,进而得到答案.

【解答】解:∵平面向量 , 的夹角为 ∴ =| || |cos =3,

∵由 D 为边 BC 的中点, ∴ ∴ =
2

=2 )2=4,



=(2

=2; ∴ A 故选: .

15.函数 A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数

是(



【考点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系;三角函数的周期性及其求法;正弦函 数的对称性. 【分析】函数 f(x)解析式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后再利用诱导公式化简 得到结果,找出 ω 的值代入周期公式求出最小正周期,根据正弦函数为奇函数确定出函数 的奇偶性,即可得到结果. 【解答】解:f(x)= + ﹣1= [cos(x﹣ )﹣cos

(x+

)]= (sinx+sinx)=sinx,

∵ω=1,∴T=2π, ∵正弦函数为奇函数, ∴函数 f(x)为周期为 2π 的奇函数. 故选 C 16.为了得到函数 y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数 y= A.向右平移 个单位 B.向左平移 个单位 cos3x 的图象( )

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C.向右平移

个单位

D.向左平移

个单位

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】 利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式, 然后利 用平移原则判断选项即可. 【解答】解:函数 y=sin3x+cos3x= 右平移 个单位,得到 y= = ,故只需将函数 y= 的图象. cos3x 的图象向

故选:C. 二.填空题:共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 17.设 θ 为第二象限角,若 ,则 sinθ+cosθ= ﹣ .

【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系. 【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简,求出 tanθ 的值,再根据 θ 为第二象限角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinθ 与 cosθ 的值,即 可求出 sinθ+cosθ 的值. 【解答】解:∵tan(θ+ ∴tanθ=﹣ , 而 cos2θ= ∵θ 为第二象限角, ∴cosθ=﹣ =﹣ ,sinθ= = , )= = ,

=



则 sinθ+cosθ= 故答案为:﹣



=﹣



18.已知 , 是单位向量, ? =0.若向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,则| |的取值范围是 . 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】由 , 是单位向量, ? =0.可设 =(1,0) , =(0,1) , =(x,y) .由向 2 2 量 满足| ﹣ ﹣ |=1,可得(x﹣1) +(y﹣1) =1.其圆心 C(1,1) ,半径 r=1.利用 |OC|﹣r≤| |= ≤|OC|+r 即可得出.

【解答】解:由 , 是单位向量, ? =0. 可设 =(1,0) , =(0,1) , =(x,y) . ∵向量 满足| ﹣ ﹣ |=1,
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∴|(x﹣1,y﹣1)|=1, ∴ ∴|OC|= ∴ . ≤| |= . . . =1,即(x﹣1)2+(y﹣1)2=1.其圆心 C(1,1) ,半径 r=1.

∴| |的取值范围是 故答案为:

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 19.已知函数 f(x)=Asin(x+φ) (A>0,0<φ<π) ,x∈R 的最大值是 1,其图象经过点 . (1)求 f(x)的解析式; (2)已知 ,且 , ,求 f(α﹣β)的值.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;两角和与差的余弦函数. 【分析】 (1)根据题意求出 A,图象经过点 的解析式; (2) ,且 , ,求出 ,然 ,代入方程求出 φ,然后求 f(x)

后求出 sinα,sinβ,利用两角差的余弦函数求 f(α﹣β)的值. 【解答】解: (1)依题意有 A=1,则 f(x)=sin(x+φ) ,将点 , 而 0<φ<π, ∴ (2)依题意有 ,而 , ∴ , 故 ,∴ 代入得 .





20.已知向量 =(3,﹣4) , =(6,﹣3) , =(5﹣m,﹣(3+m) ) . (1)若点 A,B,C 能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,求实数 m 的值. 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示;数量积判断两个平面向量的垂直关系. 【分析】 (1)根据三点构成三角形的条件,即只要三点不共线,根据共线的条件确定出 m 的值,从而解出 A、B、C 能构成三角形时,实数 m 满足的条件; (2)将几何中的角为直角转化为向量的语言,通过向量的数量积为零列出关于实数 m 的方 程,求解出实数 m. 【解答】解: (1)若点 A、B、C 能构成三角形,则这三点不共线,
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∵ ∴实数 时,满足条件.

,故知 3(1﹣m)≠2﹣m

(2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则 ∴3(2﹣m)+(1﹣m)=0 解得 .



21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A,ω>0,﹣π<φ<π)在一个周期内的图象如图所 示. (1)求 f(x)的表达式; (2)在△ABC 中,f(C+ )=﹣1 且 ? <0,求角 C.

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;平面向量数量积的运算;正弦函数 的图象. 【分析】 (1)由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,从而求得 函数 f(x)的表达式. (2)利用(1)及 f(C 或 )=﹣1 可得 sin(2C )=﹣ ,结合角的范围可求 C=

,利用平面向量数量积的运算可求 cosC<0,从而可求 C 的值.

【解答】解: (1)由图可知函数的最大值是 2,最小值是﹣2, A=2 … ∴ , ∵ T= ∴T=π= + = ,

,可得:ω=2,… ,0) ,且根据图象特征得:﹣2× +φ=0+2kπ,k∈Z,

又∵f(x)过点(﹣ ∴φ=

+2kπ,k∈Z,…

而﹣π<φ<π, ∴φ= .… ) .…

∴f(x)=2sin(2x+

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(2)∵f(x)=2sin(2x+ ∴f(C ∴sin(2C )=2sin(2C )=﹣ ,…

) , )=﹣1,…

因为 C 为三角形内角, ∴C= 又∵ 或 ? ,… =abcosC<0,0<C<π, <C<π,

∴cosC<0, ∴C= . .…

22.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b2+c2=a2+bc,求: (1)2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值; (2)若 a=2,求△ABC 周长的最大值. 【考点】解三角形;三角函数的恒等变换及化简求值. 【分析】 (1)根据余弦定理表示出 cosA,把已知得等式变形后代入即可求出 cosA 的值,由 A 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数,然后把所求的式子利用两角和与 差的正弦函数公式及诱导公式化简,将 sinA 的值代入即可求出值; (2)由 a=2 和 sinA 的值,根据正弦定理表示出 b 和 c,代入三角形的周长 a+b+c 中,利用 两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数, 根据正弦函数的 值域即可得到周长的最大值. 【解答】解: (1)∵b2+c2=a2+bc,∴a2=b2+c2﹣bc, 结合余弦定理知 cosA= = = ,

又 A∈(0,π) ,∴A=



∴2sinBcosC﹣sin(B﹣C)=sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C)=sin[π﹣A]=sinA= (2)由 a=2,结合正弦定理得: = = = = , ;

∴b=

sinB,c= sinB+

sinC, sinC ﹣B)
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则 a+b+c=2+ =2+ sinB+

sin(

=2+2

sinB+2cosB=2+4sin(B+

) ,

可知周长的最大值为 6.

23.已知函数 f(x)=4cosωx?sin(ωx+ (1)求 ω 的值; (2)讨论 f(x)在区间[0, (3)当 x∈[0,

) (ω>0)的最小正周期为 π.

]上的单调性;

]时,关于 x 的方程 f(x)=a 恰有两个不同的解,求实数 a 的取值范围.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】 (1)由两角和的正弦公式及辅助角公式化简 f(x) ,根据周期公式即可求得 ω 的值; (2)由(1)求得 f(x)的解析式,根据正弦函数图象及性质即可判断函数区间[0, 上的单调性; (3)由题意可知 y=a 与函数在[0, ]上,与 f(x)=2sin(2x+ )+ 由两个交点,根 ]

据函数图象即可求得实数 a 的取值范围. 【解答】解: (1)f(x)=4cosωx?sin(ωx+ =2 sinωx?cosωx+2 cos2ωx, = (sin 2ωx+cos 2ωx)+ , =2sin(2ωx+ )+ , =π, )

因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0,从而有 故 ω=1. (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+ 当 当 ≤2x+ ≤2x+ ≤ ≤ ,即 0≤x≤ ,即 ≤x≤ )+

.若 0≤x≤

,则

≤2x+





时,f(x)单调递增; 时,f(x)单调递减. , ]上单调递减;

综上可知,f(x)在区间[0, (3)x∈[0,

]上单调递增,在区间[

]时,关于 x 的方程 f(x)=a 恰有两个不同的解, ]上,与 f(x)=2sin(2x+ )+ 由两个交点,

即 y=a 与函数在[0,

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由函数图象可知:a∈[2 ,2+ ) , 实数 a 的取值范围[2 ,2+ ) .

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2016 年 9 月 29 日

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