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湖南省新化二中2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷


新化二中 2015 年下学期期中考试
高二理科数学试卷 (试卷)
命题:王斌 审核:伍清明 时量:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 75 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.设集合 M ? {x | x ? x} , N ? {x | lg x ? 0} ,则 M ? N ? (<

br />2



A. [0,1]

B. (0,1]

C. [0,1)

D. (??,1] )

2.已知数列 ?an ? , an ? 0 ,若 a1 ? 3, 2an?1 ? an ? 0 ,则 a6 ? ( A. B. C.16 D.32

?x ? y ?1 ? 0 ? 3.已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为 ( ?x ? 0 ?
A ?



1 2

B 0

C 1

D

1 2

4.已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 半径,则椭圆的标准方程是( A

1 ,它的长轴长等于圆 x2 ? y 2 ? 2x ?15 ? 0 的 2

) C

x2
4

+y =1

2

B

x2
16



y2
12

=1

x2 y2

+ =1 4 3

D

+ =1 16 4 )

x2

y2

5.阅读下面程序框图,为使输出的数据为 11,则①处应填的数字可以为(

A.4

B.5
a

C.6
b

D.7
3 a

3 6.设 a,b 都是不等于 1 的正数,则 “ 3 ? 3 ? 3 ”是“ log ? logb ”的 (



A 充要条件 C 必要不充分条件

B 充分不必要条件 D 既不充分也不必要条件

ABC , 点 E 是侧面 7. 在三棱柱 ABC ? A 1 ? 底面 1 B 1 C 1 中,底面是正三角形,侧棱 AA

BB1C1C 的中心,若 AA1 ? 3 AB ,则直线 AE 与平面 BB1C1C 所成角的大小为(
A 30 ? B 45 ? C 60 ? D 90 ?

)

8.下列有关命题的叙述,错误的个数为( ①若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题

)

2 ②“ x ? 5 ”是“ x ? 4 x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件

2 ③命题 p : ?x0 ? R 使得 x0 ? x0 ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0
2 2 ④ 命 题 “ 若 x ? 3x ? 2 ? 0 , 则 x ? 1或x ? 2 ” 的 逆 否 命 题 为 “ 若 x ? 1或x ? 2 , 则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”
A.1 B. 2 C. 3 D.4 ) 9. 函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0) , ( ?? ? ? ? 0 ) 的一段图象如图所示,则 ? ? (
y 1
O

A. ?
1 2
x

C.

?1

? 4

? 4

? 2 ? D. ? 2
B.

10.已知函数 f ( x ) ? ?

? 2? | x |,
2 ?(x-2) ,

x?2 x>2

,函数 g ? x ? ? b ? f ? 2 ? x ? ,其中 b ? R ,若函 )

数 y ? f ? x ? ? g ? x ? 恰有 4 个零点,则 b 的取值范围是( (A) ?

?7 ? , ?? ? ?4 ?

(B) ? ??, ?

? ?

7? 4?

(C) ? 0,

? ?

7? ? 4?

(D) ?

?7 ? ,2? ?4 ?

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。将正确答案填在题中横线上)

x2 y 2 11.若双曲线 E : 右焦点分别为 F1 , F2 , 点 P 在双曲线 E 上, 且 PF1 ? 3 , ? ? 1 的左、 9 16
则 PF2 等于_________. 12.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示,若将运动 员按成绩由好到差编为 1 ? 35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则其中成绩在区间

[139,151] 上的运动员人数是

.

13.已知向量 OA ? AB , | OA |? 3 ,则 OA ? OB ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

.

14.在平面直角坐标系 xOy 中,以点 (1,0) 为圆心且与直线 mx ? y ? 2m ? 1 ? 0(m ? R ) 相切 的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为 15.有下列五个命题: ①函数 f ( x) ? ②函数 y ? ________ .

| x| 是偶函数; | x?2|

x ?1 的值域为 ? y | y ? 0? ;

③已知集合 A ? ??1,3? , B ? ?x | ax ? 1 ? 0, a ? R? ,若 A ? B ? A ,则 a 的取值集合为

? 1? ??1, ? ? 3?
④关于 x 的一元二次方程 x ? mx ? 2m ? 1 ? 0 的一个根大于 1, 一个根小于 1 , 则实数 m
2

的取值范围是 ?m | m ? ? ? ; ⑤若 f ( x ) 的定义域为 R, 且在 (??, ??) 上是增函数, a ? R ,且 a ?

? ?

2? 3?

1 3 ,则 f ( ) 与 2 4

3 f (a 2 ? a ? 1) 的大小关系是 f ( ) ? f (a 2 ? a ? 1) . 4
你认为正确命题的序号为:___________. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 16、(本小题满分 12 分) 在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 3a ? 2c sin A . (1)确定角 C 的大小; (2)若 c ?

3 ,求 ?ABC 面积的最大值。

17.(本小题满分 12 分) 给定两个命题,命题 p: 对任意实数 x 有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立;命题 q: 关于 x 的方程
2

x ? x ? a ? 0 有实数根;若命题 p ? q 为真, 且命题 p ? q 为假, 求实数 a 的取值范围.
2

18. (本小题满分 12 分) ) 甲、 乙两地相距 200 千米, 小型卡车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 150 千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度 v

(单位:千米/小时)的平方成正比,且比例系数为

1 ;固定部分为 40 元。 250

(1)把全程运输成本 y 元表示为速度 v 千米/小时的函数,并指出这个函数的定义域, (2)为了使全程运输成本最小,卡车应以多大速度行驶?

19.(本小题满分 13) 若函数 f ( x ) 对定义域中任意 x 均满足 f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b ,则函数 f ( x ) 的图象关于点

( a, b) 对称。
(1)已知函数 f ( x) ?

x 2 ? mx ? m 的图象关于点 (0,1) 对称,求实数 m 的值; x

(2) 已知函数 g ( x) 在 (??,0) ? (0, ??) 上的图象关于点 (0,1) 对称,且当 x ? (0, ??) 时,

g ( x) ? x2 ? ax ? 1 ,求函数 g ( x) 在 (??, 0) 上的解析式;
(3)在(1)、(2)的条件下,若对实数 x ? 0 及 t ? 0 ,恒有 g ( x) ? f (t ) 成立,求实数 a 的取 值范围。 20.(本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 是一个公差大于零的等差数列,且 a1a5 ? 45, a2 ? a4 ? 18 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2bn ? 2 . (1)求数列 ?an ? ,?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; (3)将数列{bn}中第 a1 项,第 a2 项,?,第 an 项,?删去后,剩余的项按从小到大的顺序 排成新数列 ?dn ? ,求数列 ?dn ? 的前 2014 项和 M 2014 .

21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 ( , 2) 在椭圆上. 2 a b 2

(I)求椭圆的离心率; (II)点 M 在圆 x2 ? y 2 ? b2 上,且 M 在第一象限, 过 M 作圆 x2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于 P , Q 两 点,求证:△ PF2Q 的周长是定值.

新化二中 2015 年下学期期中考试 高二数学(理) (答题卡)
时量:120 分钟 , 总分:150 分 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. _______________ 12._________________ 14. _______________ 15._________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。线。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。封。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。密。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 班级____________姓名:____________考室:____________考号:______________ 座位号:____

13._______________

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 16.(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分)

19. (本小题满分 13 分)

20.(本小题满分 13 分)

21.(本小题满分 13 分)

新化二中 2015 年下学期期中考试
高二数学(理) (答案)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答案

A

B

D

C

B

B

A

B

D

D

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11. 9 12. 15. 4 ②④⑤ 13. 9

14. ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2

三、 解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.(本小题满分 12 分) (1)由条件 3a ? 2c sin A 得, sin C ?

3 , 又? ABC为锐角三角形,所以C=60? 2 2 2 2 2 2 (2) 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C 得, 3 ? a ? b ? ab ? 2ab-ab=ab , 1 1 3 3 3 所以 S? ABC ? ab sin C ? ? 3 ? . ? 2 2 2 4

17.(本小题满分 12 分) 解: a ? 0或

1 ?a?4 4

18.(本小题满分 12 分) 解: (1) y ? (2) y ?

200 1 2 ( v ? 40) v 250

0<v ? 150

200 1 2 4 8000 4 8000 ( v ? 40) ? v+ ? 2 v? =160 (0<v ? 150) v 250 5 v 5 v

4 8000 即v=100 时等号成立。 当且仅当 v= 5 v
19.(本小题满分 13 分) 解:(1)因为函数 f ( x ) 的图象关于点 (0,1) 对称,所以 f ( x) ? f (? x) ? 2 ,



x 2 ? mx ? m x 2 ? mx ? m ? ? 2 ,所以 2m ? 2,? m ? 1 x ?x

(2) 因为函数 g ( x) 在 (??,0) ? (0, ??) 上的图象关于点 (0,1) 对称,则 g ( x) ? g (? x) ? 2 ,

? g ( x) ? 2 ? g (? x) ,?当x ? 0时,则 ? x ? 0, ? g (? x) ? x2 ? ax ? 1 ,所以

? g ( x) ? 2 ? g (? x) ? ? x2 ? ax ? 1
(3)由(1)知, f (t ) ?

t2 ? t ?1 1 ? t ? ? 1 (t ? 0) ,? f ( x)min ? 3 t t

又当x ? 0时,g ( x) ? ? x2 ? ax ? 1? g ( x) ? ? x2 ? ax ? 1 ? 3
ax ? 2 ? x 2又x ? 0,? a ? 2 ? x,? a ? ?2 2 x

20.(本小题满分 13 分) 解: (1)∵等差数列{an}公差 d>0,且 a1a5=45,a2+a4=18, ∴ ,解得 .

∴an=3+3(n﹣1)=3n. ∵数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2bn﹣2. ∴n=1 时 b1=2b1﹣2,解得 b1=2.当 n≥2 时, bn=Sn﹣Sn﹣1=2bn﹣2﹣(2bn﹣1﹣2) ,化为 bn=2bn﹣1, n ∴数列{bn}是等比数列,bn=2 . n (2)cn=an?bn=3n?2 ,则数列{cn}的前 n 项和 2 3 n Tn=3(2+2×2 +3×2 +?+n?2 ) , 2 3 4 n n+1 2Tn=3[2 +2×2 +3×2 +?+(n﹣1)×2 +n×2 ], 两式相减可得:﹣Tn=3(2+2 +?+2 ﹣n?2 )= ﹣6, 化为 Tn=6+3(n﹣1) ?2 . (3)将数列{bn}中第 a1 项,第 a2 项,?,第 an 项,?删去后,剩余的项按从小到大的顺序 排成新数列{dn}, 则 d1=b1=2,d2= ,d3=b4=2 ,
4 n+1 2 n n+1

=3(1﹣n) ?2

n+1

,?,

则其奇数项与偶数项分别组成公比均为 8 的等比数列. 数列{dn}的前 2014 项和 M2014=(d1+d3+?+d2013)+(d2+d4+?+d2014) = +

=



21.(本小题满分 13 分) (22) (I)根据已知,椭圆的左右焦点为分别是 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) , c ? 1 , ∵H (

3 2 , 2) 在椭圆上,代入椭圆方程得: 2

a ? 3 , b ? 2 2 ,椭圆的方程是

x2 y 2 1 ? ? 1, e ? ? (6 分) 3 9 8

(II)方法 1:设 P ? x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) ,则

x12 y12 ? ? 1, 9 8

PF2 ?

? x1 ?1? ? y12 ?
2

? x1 ? 1? ? 8(1 ?
2

x12 x ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3

∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 在圆中, M 是切点,

x1 , 3

x12 1 ∴ PM ? | OP | ? | OM | ? x ? y ? 8 ? x ? 8(1 ? ) ? 8 ? x1 , 9 3
2 2 2 1 2 1 2 1

∴ PF2 ? PM ? 3 ?

1 1 x1 ? x1 ? 3 , 3 3

同理 QF2 ? QM ? 3 ,∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 , 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . 方法 2:设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) , ????(12 分)

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k 2 ) x 2 ? 18kmx? 9m2 ? 72 ? 0 ?1 ? ? 8 ?9
设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

? 18km 9m 2 ? 72 x x ? , , 1 2 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

2 2 ∴ | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

? 1? k

2

?18km 2 9m2 ? 72 ( ) ? 4? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? 1? k 2

4 ? 9 ? 8 ? (9k 2 ? m2 ? 8) , (8 ? 9k 2 )2
2 2

∵ PQ 与圆 x ? y ? 8 相切,∴ ∴ | PQ |? ?

m 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2 ,

6km , 8 ? 9k 2
2 2 1 2

x12 x 2 ∵ PF2 ? ? x1 ? 1? ? y ? ? x1 ? 1? ? 8(1 ? ) ? ( 1 ? 3) , 9 3

x1 x 1 ,同理 QF2 ? (9 ? x2 ) ? 3 ? 2 , 3 3 3 x1 ? x2 6km 6km 6km ? ? 6? ? ? 6, ∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 6 ? 2 2 3 8 ? 9k 8 ? 9k 8 ? 9k 2
∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . ????(13 分)


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