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正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质


正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
教学目标:能画出 y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,并能根据图象理解正弦函数、余弦 函数在[0,2π],正切函数在(-
π π , )上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 2 2

轴的交点等) ,2010 年考试说明要求 B。 知识点回顾: 常用三角函数的主要性质:(填空) 函数 定义域 值域 奇偶性 最小正周期 图像 单调性 基础知识: y=sinx y=cosx y=tanx

? 1.将函数 y ? sin( x ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) , 3 ? 再将所得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的僻析式是_________________ 3 2 ? 2.函数 y ? 3 cos( x ? ) 的最小正周期是______________ 5 6 2 ? 3.函数 y ? 3 sin( x ? ) 的单调递增区间是_____________________ 5 6
4.满足 sin x ?
3 的 x 的集合__________________ 2

5. 函数 f ( x) ? sin x cos x 最小值是____________.
? ? ?? 6.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x ,则 f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的最大值为____________. ? 6 2?

7.函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为____________. 8.函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为____________.

典型例题: 已知函数 y ? 的集合。
1 3 cos2 x ? sin x cos x ? 1, x ? R (1)求其最值和单调区间,并求取得最值时 x 2 2

如图,A、B 是单位圆 O 上的动点,C 是圆与 x 轴正半轴的交点,设 ?COA ? ? .(1)当点 A 的 坐标为 3 , 4 时,求 sin ? 的值;(2)若 0 ? ? ? π ,且当点 A、B 在圆上沿逆时针方向移动时,总
2

?5 5?
3

有 ?AOB ? π ,试求 BC 的取值范围.
B

y

A

C o x

课堂检测: 1.在直角坐标系中, O 是原点, A( 3 ,1) ,将点 A 绕 O 逆时针旋转到 450 ? 到 B 点,则 B 的坐标 为_________.
?? ? 2.如果函数 y ? 2 sin?2 x ? ? ? 的图像关于点 ? ,0 ? 中心对称,那么 ? 的最小值为 ?3 ?

3.如果函数 y ? cos(2 x ? ? ) 的图象关于点 (

4? , 0) 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 3

.

4.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( x ?[?? , 0]) 的单调递增区间是_____________
? ?? ?1 7? 3. 设函数 f ? x ? ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? m 且 x ? ?0, ? ,若函数 f ? x ? 的值域恰为 ? , ? , ?2 2? ? 2?

则实数 m 的值为



1.设 ω 是正实数,如果函数 f(x)=2sinω x 在[- 是______________
2? ? )值域是_________ ?x? 3 6

π π , ]上是增函数,那么 ω 取值范围 4 3

5.函数y=sinx(

2.已知 f (n) ? cos

n? (n ? N * ), f (1) ? f (2) ? ? ? ? ? f (2008) = 3

9.已知函数 f ( x) ? sin ? x(? ? 0) 在 [0,1] 内至少有 5 个最小值点,则正整数 ? 的最小值为_____ 12.一个匀速旋转的摩天轮每 12 分钟转一周,最低点距地面 2 米,最高点距地面 18 米,P是 摩天轮轮周上一定点, 从P在最低点时开始计时, 则16分钟后P点距地面的高度是________ 12.如图摩天轮的半径为 40m,点 O 距地面高度为 50m,摩天轮做匀速转到,每 3min 转一圈, 摩天轮上点 P 的起始位置在最低点处. (1)试确定在时刻 t(min)时点 P 距地面的高度; (2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间点 P 距离地面超过 70m?

? 18.设函数 y ? A sin(?x ? ? )( A ? 0,? ? 0, ? ? ) 最高点坐标为(2, 2 ) ,由最高点运动到相
邻的最低点时,函数曲线与 x 轴的交点为(6,0)(1)求 A, ?和? 的值; , (2)求出该函数的 频率和单调区间。 9.已知函数 f(x)=2sin(ω x+Ψ )( ω >0), f( 若

? ? )=0, f( )=2, 则实数ω 的最小值为______ 3 2


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