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2015-2016学年高中数学 第2章 2导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2


第二章
变化率与导数

第二章
§2 导数的概念及其几何意义

1

课前自主预习

2

课堂典例探究

4

课 时 作 业

课前自主预习

1.理解导数的概念和定义,会求函数的导数.

2 .理解导数的几何意义,并会求出曲线在某点处的切线
方程. 本节重点:导数的概念及导数的几何意义. 本节难点:会求函数的导数及曲线在某点处的切线方程.

导数 有定义 1.定义:y=f(x)在x0点附近 __________,对自变量的任一
Δy 改变量Δx,函数改变量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若极限 lim Δx Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx =_____________________ 存在 ,称该极限值为f(x)在x0点的导 Δx→0 ..

f′(x0). 数,记作________________

2.求函数y=f(x)在x=x0处的导数. 求函数y=f(x)在x0处的导数的步骤: ①求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy ②求平均变化率Δx; ③取极限,得导数f′(x0).

导数的几何意义
1.函数y=f(x)在点x0处导数的几何意义:函数y=f(x)在点x0 处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的 f?x0+Δx?-f?x0? 切线的斜率 _________________,即k=f′(x0)= lim . Δx
Δx→0

2.函数y=f(x)在点x0处切线的方程为 y_________________________. -f(x0)=f′(x0)(x-x0)

1.y=f(x)在x=x0处的导数即为函数在这个点的瞬时变化 率,函数y=f(x)在x=x0处的导数的概念包括两层含义: Δy (1) lim Δx 存在,则称y=f(x)在x=x0处可导并且导数即为 Δx→0 极限值; Δy (2)lim Δx不存在,则称y=f(x)在x=x0处不可导. Δx→0

2.导数的几何意义 如图所示,设函数y=f(x)的图像 是一条光滑的曲线,从图像上可以看 出:当Δx取不同的值时,可以得到不 同的割线;当Δx趋于零时,点B将沿 着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕 点A转动最后趋于直线l.直线l和曲线y =f(x)在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切 线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f′(x0).

函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处 的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几 何意义. 3.对导数的定义要注意两点:第一:Δx是自变量x在x0处 的改变量,所以Δx可正可负,但Δx≠0;第二:函数在某点的 导数,就是在该点的函数值改变量与自变量改变量之比的极限 值.因此它是一个常数而不是变数.

1.函数在某一点的导数是(
B.一个函数

)

A.在该点的函数的增量与自变量的增量的比

C.一个常数,不是变数
D.函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 [答案] C [解析] 由导数的定义可知,函数在某点的导数是平均变 化率的极限值,是个常数.

2.函数y=3x2在x=1处的导数为(
A.2 C.6 [答案] C
[ 解析] 3?1+Δx?2-3×12 f′(1)= lim Δx Δx→0

)

B.4 D.12

3+6Δx+3?Δx?2-3 = lim =6. Δx Δx→0

3.已知函数f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a等于________.
[答案] 2

[ 解析] Δy Δx=a,

Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,

Δy ∴ lim Δx=a,∴a=f′(1)=2. Δx→0

f?x0+2Δx? 4.若f(x0)=0,f′(x0)=4,则 lim =________. Δx Δx→0

[ 答案]
[ 解析]

8
f?x0+2Δx? lim = Δx Δx→0

f?x0+2Δx?-f?x0? 2lim =2f′(x0)=8. 2 Δx Δx→0

π 5.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的倾斜角为 4 ,则 f′(x0)=________.
[答案] 1
[ 解析] π f′(x0)=tan4=1.

求函数f(x)在点x0处的导数

1 利用导数的定义,求函数y=f(x)= x2 +2在点x =1处的导数.

[分析]

本题考查函数的导数,解决本题的关键是利用导

数的定义求出原函数的导数,再把x=1代入导函数.

[ 解析]

-2xΔx-?Δx?2 1 1 ∵Δy=[ +2]-(x2+2)= , ?x+Δx?2 ?x+Δx?2· x2

Δy -2x-Δx ∴Δx= , ?x+Δx?2· x2 -2x-Δx 2 Δy ∴y′= lim Δx= lim 2 2=- 3. x x Δx→0 Δx→0 ?x+Δx? · ∴f′(1)=-2.

[点评] (1)用定义求导数必须严格按照三个步骤进行. (2)求函数在某一点的导数方法有两种,一种是直接求出函 数在该点的导数,另一种是求出导函数,再求出导函数在该点

的函数值,此方法是常用方法.

1 求函数f(x)= 在x=1处的导数. x
[ 解析] 1- 1+Δx 1 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)= -1= 1+Δx 1+Δx

-Δx Δy 1 = ,∴Δx=- . 1+Δx?1+ 1+Δx? 1+Δx?1+ 1+Δx? 当Δx无限趋近于0时,1+Δx无限趋近于1, Δy 1 1 ∴Δx无限趋近于-2,∴f′(1)=-2.

导数的几何意义 已知曲线 y = 3x2 - x ,求曲线上的点 A(1,2) 处的 切线斜率及切线方程. [分析] 导数值. 求曲线上某点的切线斜率就是求函数在这一点的

[ 解析]

2 2 Δy 3?1+Δx? -?1+Δx?-?3×1 -1? 因为 Δx = =5+ Δx

3Δx,当Δx趋于0时,5+3Δx趋于5,所以曲线y=3x2-x在点 A(1,2)处的切线斜率是5. 所以切线方程为y-2=5(x-1), 即5x-y-3=0.
[ 点评] 求曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程的步骤:

(1)求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程为y-f(x0)= f′(x0)· (x-x0).

1 已知曲线y=x . (1)求曲线过点A(1,0)的切线方程; 1 (2)求满足斜率为-3的曲线的切线方程.

[ 解析]

1 (1)设过点A(1,0)的切线的切点坐标为(a, a )因为

f?a+Δx?-f?a? 1 1 lim =- a2 ,所以该切线的斜率为- a2 ,切线方 Δ x Δx→0 1 1 程为y-a=-a2(x-a). ①

1 将A(1,0)代入①式,得a= 2 .所以所求的切线方程为y=- 4x+4.

1 (2)设切点坐标为P(x0, x ),由(1)知,切线的斜率为k=- 0 1 1 1 3 ,则- x2 =- 3 ,x0=± 3.那么切点为( 3 , 3 )或(- 3 ,- x2 0 0 3 3 ). 1 2 3 1 2 3 所以所求的切线方程为y=-3x+ 3 或y=-3x- 3 .

导数在物理中的应用 子弹在枪筒中运动可以看作是匀变速运动,如 果它的加速度是 a=5×105·m/s2 ,子弹从枪口射出时所用的时 间为t0=1.6×10-3s.求子弹射出枪口时的瞬时速度. [分析] 本题主要考查物体的瞬时速度,解决此题的关键

是写出运动方程,求出物体的平均速度.

[ 解析]

1 2 1 1 2 2 运动方程为s= 2 at ,∵Δs= 2 a(t0+Δt) - 2 at 0 ==

1 1 Δs 2 at0Δt+2a(Δt) ,∴ Δt =at0+2aΔt. Δs ∴ lim Δt =at0. Δt→0 由题意知a=5×105m/s2,t0=1.6×10-3s, 故at0=8×102=800(m/s), 即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

某物体走过的路程 s(单位:m) 是时间 t( 单位: s) 的函数: s

= 2t2. 求函数 s = 2t2 在 t = 1 处的导数 s′(1) ,并解释它的实际意
义.
[ 解析] 当t从1变到1+Δt时,函数值s从2×12变到2(1+

Δt)2,函数值s关于t的平均变化率为 s?1+Δt?-s?1? 2?1+Δt?2-2×12 = =4+2Δt(m/s). Δt Δt 当Δt趋于0时,平均变化率趋于4,所以s′(1)=4m/s. 导数s′(1)表示该物体在t=1时的瞬时速度为4m/s.

切线的斜率与倾斜角

π 在曲线y=x 上切线倾斜角为4的点是(
2

)

A.(0,0) 1 1 C.(4,16)

B.(2,4) 1 1 D.(2,4)

[ 解析]

切线的斜率为1,设切点横坐标为x0

?x0+Δx?2-x2 0 f′(x0)= lim =2x0, Δ x Δx→0 1 ∴2x0=1,∴x0=2. 1 1 ∴曲线上的点为(2,4).

[ 答案]

D

1 2 3 已知曲线y= 2 x -2上一点P(1,- 2 ),则过点P的切线的 倾斜角为( A.30° C.135° ) B.45° D.165°

[答案] B

[ 解析]

1 2 ∵y=2x -2,

1 1 2 2 2?x+Δx? -2-?2x -2? ∴y′= lim Δx Δx→0 1 2 ? Δ x ? +x·Δx 2 1 = lim = lim (x+2Δx)=x. Δ x Δx→0 Δx→0 ∴y′|x=1=1. 3 ∴点P(1,- 2 )处切线的斜率为1,则过P点切线的倾斜角 为45° .

有关导数的几何意义的综合应用问题
曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直 1 线x=a所围成的三角形的面积为6,则a=________.

[ 分析 ]

本题主要考查导数的几何意义和数形结合的思

想,解决此题的关键是求出曲线在点(a,a3)处的切线,然后表
示出三角形的面积.

[ 解析]
3

?a+Δx?3-a3 2 ∵f′(a)= lim = 3 a ,∴曲线在(a, Δx Δx→0
3 2

a )处的切线方程为y-a =3a (x-a),切线与x轴的交点为( a,0). 1 2 1 3 ∴三角形面积为2|a-3a|· |a |=6,得a=± 1.

2 3

[答案] ±1

[ 点评]

求出在点(a,a3)处的切线方程,写出切线在x轴

上的截距,进而由三角形面积公式求解.

1 3 4 曲线y= 3 x +x在点(1, 3 )处的切线与坐标轴围成的三角形 面积为( 1 A.9 1 C.3
[答案] A
[ 解析] 2 由题意可知k=1 +1=2.所以切线方程为y=2x-3.
2

) 2 B.9 2 D.3

2 1 1 2 1 1 与坐标轴交点为(0,-3),(3,0),故面积为2×|-3|×3=9.

下列说法: ①若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处就没有 切线; ②若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有切线,则f′(x0)必存 在; ③若f′(x0)不存在,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线 的斜率不存在; ④若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率不存在,则 曲线在该点处就没有切线. 其中正确的有________.

[误解] ①②③④ [正解] 确的. [点评] 错解没有正确理解导数的定义及其几何意义,即 对曲线的切线、切线的斜率、导数三者之间的关系理解不透 根据导数的定义及其几何意义可知,只有③是正

彻.事实上,①和②是一样的,它互为逆否命题,讨论的是
“f′(x0)存在与否”与“切线存在与否”的关系,而导数的几何 意义中讨论的是“f′(x0)”与“切线的斜率”之间的关系.根据 导数的几何意义,只有“若 f′(x0) 不存在,则曲线 y = f(x) 在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率不存在”这一说法正确.


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