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2.1《数列的概念与简单表示法》导学案(人教A版必修5)


2.1《数列的概念与简单表示法》导学案
【学习目标】 1. 理解数列的概念; 2. 掌握数列简单的几种表示方法; 3. 了解数列是一种特殊的函数. 【学习新课】 1.战国时代哲学家庄周著的《庄子· 天下篇》引用过一句话: 一尺之棰 日取其半 万世不竭. 2. 某地 9 月 1 日至 9 月 8 日的日最高气温

3.我国在 1988 年汉城以后奥运会

上的金牌数:

4.

?1 的 1 次幂,2 次幂,3 次幂,…排列成一列数.

新授课阶段 从上面的三个例子我们得到了如下四列数:

1. 2.

1 1 1 1 1, , , , , … 2 4 8 16
23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 19

3. 5, 16, 16, 28, 32, 51,38
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4.

?1,1, ?1,1, ?1, ? ? ?

请观察以上四组数据,找到它们的共同特征? 答案: 1.数列的概念: 按照一定 排列着的一列数叫做数列, 其中构成该组数的每一个数叫做 , .

数列中的每一个数,我们以后把其称为数列的项,各项依次叫做数列的第 1 项(或首项) , 第 2 项,…,第 n 项,….那么,数列一般可表示为 a1,a2,a3,…,an,….其中数列的第 n 项用 an 来表示.数列还可简记作{an}.数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 有一定的关系吗? 2.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项 an 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做 这个数列的 .

数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {an}与 an 又有何区别和联系? {an}表示数列;an 表示数列的项.具体地说,{an}表示数列 a1,a2,a3,a4,…,an,…, 而 an 只表示这个数列的第 n 项.其中 n 表示项的位置序号,如:a1,a2,a3,an 分别表示数列 的第 1 项,第 2 项,第 3 项及第 n 项. 数列是否都有通项公式?数列的通项公式是否是惟一的? 从映射、函数的观点来看,数列也可看作是一个定义域为正整数集 N*(或它们的有限子 集{1,2,3,…,n})的函数,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,数列的通 项公式就是相应函数的解析式. 例 1 数列 0, 0, 0, ……的一个通项公式为 2, 2, 2, A.an=1+(-1)n
-1

( B.an=1+(-1)n nπ D.an=2sin 2



C.an=1+(-1)n+1 解析:

3.递推公式 递推公式: 如果已知数列{an}的第 1 项(或前 n 项), 且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的 .

说明:数列的递推公式揭示了数列的任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项)的关系,
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也是给出数列的一种重要方法. 下面,我们结合例子来体会一下数列的递推公式. 1 例 2 已知数列{an}的第 1 项是 1,以后的各项由公式 an=1+ 给出,写出这个数 an-1 列的前 5 项. 分析:

解:

例 3 已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an=3an-1+an-2(n≥3),试写出数列的前 4 项. 解:

例 4 写出下面数列{an}的前 5 项. ⑴a1=5,an=an-1+3(n≥2) ⑵a1=2,an=2an-1(n≥2) 1 ⑶.a1=1,an=an-1+ an-1 解: (n≥2)

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课堂小结 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法,即递推公式及其用法,课后注意理解. 另外,还要注意它与通项公式的区别在于: 1. 2. 作业 课后作业 课本 P32 习题 拓展提升 1.把自然数的前五个数①排成 1,2,3,4,5;②排成 5,4,3,2,1;③排成 3,1,4, 2,5;④排成 2,3,1,4,5,那么可以叫做数列的有 A.1 B.2 C.3 D.4 个 4,5,6

2.已知数列的{an}的前四项分别为 1,0,1,0,则下列各式可作为数列{an}的通项公式的 个数有 ( 1 ①an= 2 )

[1+(-1)n+1];

nπ nπ nπ ②an=sin2 ;(注 n 为奇数时,sin2 =1;n 为偶数时,sin2 =0.); 2 2 2 1 ③an= 2 [1+(-1)n+1]+(n-1)(n-2);

1-cosnπ ④an= ,(n∈N*)(注:n 为奇数时,cosnπ=-1,n 为偶数时,cosnπ=1); 2
?1 ⑤an=? ?0

(n为正偶数) (n为正奇数) B.2 个 C.3 个 D.4 个 ( )

A.1 个

8 15 24 3.数列-1, ,- , ,…的一个通项公式 an 是 5 7 9 A.(-1)n n2 2n+1 n(n+2) B.(-1)n n+1 n(n+2) D.(-1)n 2n+1

(n+1)2-1 C.(-1)n 2(n+1) 4.数列 0,2,0,2,0,2,……的一个通项公式为 A.an=1+(-1)n
-1

( B.an=1+(-1)n nπ D.an=2sin 2 (



C.an=1+(-1)n+1 5. 以下四个数中是数列{n(n+1)}中的一项的是
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A.17

B.32

C.39

D.380 ( )

6.数列 2,5,11,20,x,47,……中的 x 等于 A.28 B.32 C.33 D.27 .

7.数列 1,2,1,2,1,2 的一个通项公式是 2 2 2 8.求数列 , , ,…的通项公式. 5 15 35

9.根据下列各数列的首项和递推公式,分别写出它的前五项,并归纳出通项公式: (1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);(2)a1=1,an+1= 2an (n∈N*) an+2

10.若 a1=2,a2=4,an=log2(an-1·n-2)(n≥3),写出{an}的前 4 项. a

11.若 a1=3,an=an-1+

2 an-1

1 (n≥2),bn= ,写出 bn 的前 3 项. an

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参考答案
新授课阶段 都是一列数,都是按照一定顺序. 1.数列的概念: 顺序;数列的项, 2.数列的通项公式 通项公式. 例 1.解析:根据数列的特征,可以得到该数列的一个通项公式为 an ? 1 ? (?1)n . 答案:B 3.递推公式 递推公式 例 2 分析:题中已给出{an}的第 1 项即 a1=1,递推公式:an=1+ 1 an-1

1 1 3 1 5 8 解:据题意可知:a1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5= . a1 a2 2 a3 3 5 例3 解:由已知得 a1=1,a2=2,a3=3a2+a1=7,a4=3a3+a2=23 例 4 解:⑴ 解法一:a1=5;a2=a1+3=8; a3=a2+3=11;a4=a3+3=14; a5=a4+3=17. 解法二:由 an=an-1+3(n≥2),得 an-an-1=3 则 a2-a1=3,a3-a2=3,a4-a3=3,a5-a4=3,……,an-1-an-2=3,an-an-1=3 将上述 n-1 个式子左右两边分别相加,便可得 an-a1=3(n-1),即 an=3n+2(n≥2) 又由 a1=5 满足上式, ∴an=3n+2(n≥1)为此数列的通项公式. ⑵ 解法一:由 a1=2 与 an=2an-1(n≥2) 得:a1=2,a2=2a1=4,a3=2a2=8,a4=2a3=16,a5=2a4=32. an 解法二:由 an=2an-1(n≥2),得 =2(n≥2),且 a1=2 an-1

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an-1 a2 a3 a4 an 则: =2, =2, =2,…… =2, =2 a1 a2 a3 an-2 an-1 若将上述 n-1 个式子左右两边分别相乘,便可得 即:an=2n(n≥2),又由 a1=2 满足上式 ∴an=2n(n≥1)为此数列的通项公式. ∴a2=22=4,a3=23=8,a4=24=16,a5=25=32. ⑶ 解:由 a1=1,an=an-1+ 1 得 a1=1,a2=a1+ =2, a1 1 5 a3=a2+ = , a2 2 1 5 2 29 a4=a3+ = + = , a3 2 5 10 1 29 10 941 a5=a4+ = + = a4 10 29 290 课堂小结 这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法,即递推公式及其用法,课后注意理解.另外, 还要注意它与通项公式的区别在于: 1.通项公式反映的是项与项数之间的关系,而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项)之间的关 系. 2.对于通项公式,只要将公式中的 n 依次取 1,2,3…即可得到相应的项.而递推公式则要已 知首项(或前 n 项),才可依次求出其他的项. 拓展提升 1.D【解析】数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序,所以①②③④这四 种排法都可叫做数列. 2.C【解析】对于③,将 n=3 代入,a3=3≠1,故③不是{an}的通项公式;由三角公式知; ②和④实质上是一样的,不难验证,它们是已知数列 1,0,1,0 的通项公式;对于⑤,易 看出,它不是数列{an}的通项公式;①显然是数列{an}的通项公式.综上可知,数列{an}的通 项公式有三个,即有三种表示形式. 3.D 4.B 5.D 1 an-1 (n≥2), an - =2n 1 a1

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6.B【解析】∵5=2+3× 1,11=5+3× 2,20=11+3× 3,∴x=20+3× 4=32.【点评】用观 察归纳法写出数列的一个通项公式,体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特 点是最重要的,观察要有目的,要能观察出特点,观察出项与项数之间的关系、规律,这类 问题就是要观察各项与项数之间的联系,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶 数列、自然数的前 n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列,…) ,建立合理的联 想、转换而达到问题的解决. 1 7.an=1+ [1+(-1)n]. 2 8.分析:可通过观察、分析直接写出其通项公式,也可利用待定系数法求通项公式.解:通 过观察与分析,不难写出其三个分数中分母 5,15,35,…的一个通项公式 10·n 1-5.故所 2 求数列的通项公式为:an= 2 . - 10·n 1-5 2


9.解: (1)a1=0;a2=a1+1=1;a3=a2+3=4;a4=a3+5=9;a5=a4+7=16;a1=02; 2a1 2 2a2 a2=12;a3=22;a4=32;a5=42.可归纳出 an=(n-1)2.(2)a1=1,a2= = ,a3= a1+2 3 a2+2 1 2a3 2 2a4 1 2 2 1 2 2 1 = ,a4= = ,a5= = ,a1=1= ;a2= ;a3= = ;a4= ;a5= 2 2 3 2 4 5 3 a3+2 5 a4+2 3 2 2 = ;由此可见:an= .【评述】适当配凑是本题进行归纳的前提,从整体上把握一件 6 n+1 事情是现代数学的重要手段,加强类比是探索某些规律的常用方法之一. 10. 解:∵a1=2,a2=4,an=log2(an-1·n-2)(n≥3) a ∴a3=log2(a2·1)=log2(2× a 4)=3,a4=log2(a3·2)=log212=2+log23. a 11. 解:∵a1=3,an=an-1+ 2 2 2 11 (n≥2), ∴a2=a1+ =3+ = . a1 3 3 an-1

2 11 2 11 6 139 a3=a2+ = + = + = . a2 3 11 3 11 33 3 1 ∵bn= , an ∴b1= 1 1 1 3 1 33 = ,b2= = ,b3= = . a1 3 a2 11 a3 139

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