数学：3.2-3《二倍角、半角的三角函数》教案(北师大版必修4).doc1

3.2 二倍角的正、余弦和正切 一.教学目标：

3.3 半角的三角函数

1.知识与技能 （1）能够由和角公式而导出倍角公式； （2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑 推理能力； （3）能推导和理解半角公式； （ 4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的 参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式， 领会从一般化归为特殊的数学思 想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过 做练习,巩固所学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握 三角函数各个公式的各种变形， 增强学生灵活运用数学知识、 逻辑推理能力和综合分析能 力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归 为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 2、提出问题：公式中如果 ? ? ? ，公式会变得如何？ 3、让学生板演得下述二倍角公式：

sin 2? ? 2 sin ? cos?
2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

tan 2? ?

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如： 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

? ? 是 的倍角. 4 8

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）

例 1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin22?30’cos22?30’=

1 2 sin 45? ? 2 4

②． 2 cos

2

? ? 2 ? 1 ? cos ? 8 4 2

③． sin

2

? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? 8 8 4 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos cos cos ? 4 sin cos cos ? 2 sin cos ? sin ? 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2

④． 8 sin

例 2.化简 ①． (sin

5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2 ? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2

②． cos

4

③．

1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan 2 ?
2 2 2

④． 1 ? 2 cos ? ? cos2? ? 1 ? 2 cos ? ? 2 cos ? ? 1 ? 2 例 3、已知 sin ? ?

5 ? , ? ? ( , ?) ，求 sin2?，cos2?，tan2?的值。 13 2 5 ? 12 2 , ? ? ( , ?) 解：∵ sin ? ? ∴ cos ? ? ? 1 ? sin ? ? ? 13 2 13 120 ∴sin2? = 2sin?cos? = ? 169 119 2 cos2? = 1 ? 2 sin ? ? 169 120 tan2? = ? 119

[展示投影]思考：你能否有办法用 sin?、cos?和 tan?表示多倍角的正弦、余弦和正 切函数？你的思路、 方法和步骤是什么？试用 sin?、 cos?和 tan?分别表示 sin3?， cos3?， tan3?. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? ? ? ? ? sin 20 cos 20 cos 40 cos 80 2 例 4. cos20?cos40?cos80? = ? sin 20 ? sin 20?
1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 4 ? ? ? 8 sin 20 ? sin 20 ?

例 5.求函数 y ? cos x ? cos x sin x 的值域.
2

解： y ?

1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习： 教材 P140 练习第 1、2、3 题 [展示投影]思考（学生思考，学生做，教师适当提示） 你能够证明： sin

? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? , cos 2 ? , tan 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ? ? 2 证：1?在 cos2? ? 1 ? 2 sin ? 中，以?代 2?， 代? 即得： 2 ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? ? 1 ? 2 sin 2 ? ∴ sin 2 2 2 ? 2 2?在 cos2? ? 2 cos ? ? 1 中，以?代 2?， 代? 即得： 2 ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? ? 2 cos 2 ? 1 ? ∴ cos 2 2 2 1 ? cos ? 2 ? ? 3?以上结果相除得： tan 2 1 ? cos ?
2

[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：1?左边是平方形式，只要知道

? 角终边所在象限，就可以开平方。 2 ? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 角的正弦、余弦、正切 2
3?上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）

sin

? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos?
? sin ? 1 ? cos ? ? ? （课后自己证） 2 1 ? cos ? sin ?

4?还有一个有用的公式： tan

[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例 6.已知 cos ? ? 例 7.求 cos

? 的值. 8

7 ? ? ? ，求 sin , cos , tan 的值. 25 2 2 2

例 8.已知 sin ? ? ?

4 3? ? ? ? ) ，求 sin , cos , tan 的值. ， ? ? (? , 5 2 2 2 2

[展示投影]练习 教材 P145 练习第 1、2、3 题. [学习小结] 1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：

? ? 是 的倍角. 4 8

2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：

cos 2 ? ?

1 ? cos 2? , 2

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 这两个形式今后常用. 2

4.半角公式左边是平方形式，只要知道 质”是用?角的余弦表示

? 角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本 2

? 角的正弦、余弦、正切. 2

5．注意公式的结构，尤其是符号. 五、评价设计 1．作业：习题 3.2 A 组第 1、2、3、4 题． 2. 作业：习题 3.3 A 组第 1、2、3、4 题． 六、课后反思：