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【最新排版】2009年高考海南宁夏文科数学详细解析全word版


海口实验中学 2011 届高三(10)班 符汉超

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(海南宁夏卷) 数学(文史类)
第I卷 一, 选择题: (本大题共 12 题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中 ,中有一项是符合题目要求的。 (1) 已知集合

A ? ?1,3,5,7,9?, B ? ?0,3,6,9,12? ,则 A ? B ?
(B)

(A)

?3,5?
?3, 7?

?3, 6?

(C)

(D)

?3,9?
? ?3,9? ,选.D。

1. 【答案】D 【解析】集合 A 与集合 B 都有元素 3 和 9,故 A ? B (2) 复数 (A) 1 2. 【答案】C 【解析】

3 ? 2i ? 2 ? 3i
(B) ?1 (C) i (D) ?i

3 ? 2i (3 ? 2i)(2 ? 3i) 6 ? 9i ? 4i ? 6 ? ? i ,故选.C。 ? 2 ? 3i (2 ? 3i)(2 ? 3i) 13
) 得散点图 1; , 对变量 u , v 有观测数据 u1 ,v1 ) ( (i=1,2,…,

1( (3) 对变量 x, y 有观测数据 x1 ,y0, . .i. ?,1 ( 1 ) ,2
10),得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。

(A)变量 x 与 y (B)变量 x 与 y (C)变量 x 与 y (D)变量 x 与 y 负相关,u 与 v 负相关 3. 【答案】C

正相关,u 与 v 正相关 正相关,u 与 v 负相关 负相关,u 与 v 正相关

【解析】图 1 的的散点分布在斜率小于 0 的直线附近,y 随 x 的增大而减小,故变量 x 与 y 负相关;图 2 的的散点 分布在斜率大于 0 的直线附近,u 随 v 的增大而减小,故变量 v 与 v 正相关,故选 C。 (4)有四个关于三角函数的命题:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

p1 : ? x ? R, sin 2 p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A)

x 1 2 x + cos = 2 2 2

p2 : ?x, y ? R , sin( x ? y) ? sin x ? sin y p4 : sin x ? cos y ? x ? y ?

1 ? cos 2 x ? sin x 2

?
2

p1 , p4

(B)

p2 , p4

(3)

p1 , p3

(4)

p2 , p3

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海口实验中学 2011 届高三(10)班 符汉超 4. 【答案】A 【解析】因为

sin 2

x 2

+

cos 2

x 2

=1,故

p1

是假命题;当 x=y 时,

p2

成立,故

p2

是真命题;

1 ? cos 2 x 1 ? (1 ? 2sin 2 x) ? 2 2
y=

=|sinx|,因为 x ?

?0, ? ? ,所以,|sinx|=sinx, p3 正确;当 x= 4 ,

?

9? 4

时,有 sin x

? cos y ,但 x ? y ?
2 2

?
2

,故

p4 假命题,选.A。
y ? 1 ? 0 对称,则圆 C2 的方程为
2

5)已知圆 C1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 x ? (A) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2 2

(B) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1 (D) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

(C) ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

5. 【答案】B

? a ?1 b ?1 ? 2 ? 2 ?1 ? 0 ?a ? 2 ? 【解析】设圆 C2 的圆心为(a,b) ,则依题意,有 ? ,解得: ? ,对称圆的半径不 ?b ? ?2 ? b ? 1 ? ?1 ? a ?1 ?
变,为 1,故选 B。.

? 2 x ? y ? 4, ? (6)设 x, y 满足 ? x ? y ? 1, 则 z ? x ? y ? x ? 2 y ? 2, ?
(A)有最小值 2,最大值 3 (C)有最大值 3,无最小值 6. 【答案】B 【解析】画出不等式表示的平面区域,如右图,由 z=x+y,得 y=-x+z,令 z=0,画出 y=-x 的图象,当它 的平行线经过 A(2,0)时,z 取得最小值,最小值为:z=2,无最大值,故选.B (7) 已知 a ? 的值为 (A) ? 向量 则实数 ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? , ? a ? b 与 a ? 2b 垂直, (B)有最小值 2,无最大值 (D)既无最小值,也无最大值

1 7

(B)

1 7

(C) ?

1 6

(D)

1 6

7. 【答案】A 【解析】向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ) a ? 2b =(-1,2) , ,因为两 个向量垂直,故有(-3 ? -1,2 ? )×(-1,2)=0,即 3 ? +1+4 ? =0, 解得: ? = ?

1 ,故选.A。 7
2 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ?

(8)等差数列 (A)38 8. 【答案】C

(B)20

(C)10

(D)9

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【解析】因为

2 ?an ? 是等差数列,所以, am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:2 am - a m 2 =0,

所以, a m =2,又 S2 m?1

? 38 ,即

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38,即(2m-1)×2=38,解得 m=10,故选.C。 2

(9) 如图,正方体 ABCD ? A B1C1D1 的棱线长为 1,线段 B1 D1 上有两个 1 动点 E,F,且 EF (A)

?

1 ,则下列结论中错误的是 2

AC ? BE
// 平面ABCD

(B) EF

(C)三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 (D) ?AEF的面积与?BEF的面积相等 9. 【答案】D 【解析】可证

AC ? 平面D1DBB1,从而AC ? BE; 故 A 正确,由 B1 D1 ∥平面
// 平面ABCD ,B 也正确;连结 BD 交 AC 于 O,则 AO 为三棱
S ?B E F? 1 1 1 ? ?1 ? 2 2 4
,三棱锥

ABCD,可知 EF 锥

A ? BEF

的高,

A ? B E F的 体 积 为

1 1 2 2 为定值,C 正确;D 错误。选 D. ? ? ? 3 4 2 24
? ?2, h ? 0.5 ,那么输出的各个数的和等
(D)4.5

(10)如果执行右边的程序框图,输入 x 于 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A)3 10. 【答案】B (B) 3.5 (C)

4

【解析】第 1 步:y=0,x=-1.5;第 2 步:y=0,x=-1;第 3 步:y=0,x=-0.5;第 4 步:y=0,x=0;第 5 步:y=0,x=0.5;第 6 步:y=0.5,x=1;第 7 步:y=1,x=1.5;第 8 步:y=1,x=2;第 9 步:y=1,退出 循环,输出各数和为:0.5+1+1+1=3.5,故选.B。 (11)一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位: cm )为 (A) 48 ? 12 (C) 36 ? 12 11. 【答案】A 【解析】棱锥的直观图如右,则有 PO=4,OD=3,由勾 股定理,得 PD=5,AB=6
2

2 2

(B) 48 ? 24 (D) 36 ? 24

2 2

2 ,全面积为:

1 2

×6×6+2

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×

1 2

×6×5+

1 2

×6

2 ×4=48+12 2 ,故选.A。

(12)用 min{a,b,c}表示 a,b,c 三个数中的最小值。 设

f ( x) ? min ?2 x , x ? 2,10 ? x?
(B) 5

(x ? 0),则 (C) 6

f ? x ? 的最大值为
(D) 7

(A) 4 12. 【答案】C

【解析】画出 y=2x,y=x+2,y=10-x 的图象,如右图,观察图象可知,当 0 ≤x≤2 时,f(x)=2x,当 2≤x≤3 时,f(x)=x+2,当 x>4 时,f(x)=10 -x,f(x)的最大值在 x=4 时取得为 6,故选 C。. 第 II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第(13 题)~第(21)题为必考题,每个试题考 生都必须做答。第(22 题)~第(24)题为选考题,考生根据要求做答。 二 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (13)曲线

y ? xex ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
y ? 3x ? 1



13. 【答案】

【解析】

y' ? e x ? xe x ? 2 ,斜率 k= e 0 ? 0 ? 2 =3,所以,y-1=3x,即 y ? 3x ? 1

(14)已知抛物线 C 的顶点坐标为原点,焦点在 x 轴上,直线 y=x 与抛物线 C 交于 A,B 两点,若 P 的中点,则抛物线 C 的方程为 14、 【答案】 。

? 2,2? 为 AB

y2 ? 4x
? x2 =k=2×2,故 y 2 ? 4x .

【解析】设抛物线为 y2=kx,与 y=x 联立方程组,消去 y,得:x2-kx=0, x1 (15)等比数列{ an }的公比 q

? 0,

已知 a2 =1, an? 2

? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和

S4 =
15. 【答案】

15 2

【解析】由 an? 2

? an?1 ? 6an 得: q n?1 ? q n ? 6q n?1 ,即 q 2 ? q ? 6 ? 0 , q ? 0 ,解得:q=2,又 a2 =1,

1 (1 ? 2 4 ) 1 15 2 所以, a1 ? , S 4 ? = 。 2 2 1? 2
(16)已知函数

? 7? f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 的图像如图所示,则 f ? ? 12

? ?? ?



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16. 【答案】0 【解析】由图象知最小正周期 T=

2 3



5? ? ? 4 4

)=

2? 3



2? ?

,故 ? =3,又 x=

? 4

时,f(x)=0,即

2 sin( 3 ?

?
4

??

)=0,可得 ?

?

?
4

,所以,

? 7? f? ? 12

7? ? ? ? ? 2 sin( 3 ? 12 ? 4 ) =0。 ?

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B,C 三点进行测

AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深 AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠DEF 的余弦
量,已知 值。 (17) 解: 作 DM w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

// AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 ,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130

, ... 分 ...6

EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 .
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在 ?DEF 中,由余弦定理,

cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65
ABC 中,⊿ PAB 是等边三角形,∠PAC=∠PBC=90
?

... ...12 分

(18) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P ? (Ⅱ)若 PC (18)解: (Ⅰ)因为 ?PAB 是等边三角形, ?PAC (Ⅰ)证明:AB⊥PC

? 4 ,且平面 PAC ⊥平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 体积。 ? ?PBC ? 90? , 所以 Rt ?PBC ? Rt ?PAC ,可得 AC ? BC 。 如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 则 PD ? AB , CD ? AB ,
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AB ? 平面 PDC , 所以 AB ? PC 。 ... 分 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ...6 (Ⅱ)作 BE ? PC ,垂足为 E ,连结 AE . 因为 Rt ?PBC ? Rt ?PAC , 所以 AE ? PC , AE ? BE . 由已知,平面 PAC ? 平面 PBC ,故 ?AEB ? 90? .
所以 因为 Rt ?AEB 由已知 PC

... 分 ...8

? Rt ?PEB ,所以 ?AEB, ?PEB, ?CEB 都是等腰直角三角形。

? 4 ,得 AE ? BE ? 2 , ?AEB 的面积 S ? 2 . PC ? 平面 AEB , 因为 所以三角锥 P ? ABC 的体积 1 8 V ? ? S ? PC ? 3 3
(19) (本小题满分 12 分)

....12 分 ...

某工厂有工人 1000 名,其中 250 名工人参加过短期培训(称为 A 类工人) ,另外 750 名工人参加过长期培训(称 为 B 类工人).现用分层抽样方法(按 A 类,B 类分二层)从该工厂的工人中共抽查 100 名工人,调查他们的生产能 力(生产能力指一天加工的零件数). (Ⅰ)A 类工人中和 B 类工人各抽查多少工人? (Ⅱ)从 A 类工人中抽查结果和从 B 类工人中的抽查结果分别如下表 1 和表 2 表 1: 生产能力分组

?100,110?
4

?110,120?
8

?120,130?
x

?130,140?
5

?140,150?
3

人数 表 2: 生产能力分组

?110,120?
6

?120,130?
y

?130,140?
36

?140,150?
18

人数 (1)

先确定 x, y ,再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言,A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)

(ii)分别估计

A 类工人和 B 类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人和生产能力的平均数(同一组中的数据用该

区间的中点值作代表) 。 第 6 页 共 10 页

海口实验中学 2011 届高三(10)班 符汉超 (19)解:

A 类工人中和 B 类工人中分别抽查 25 名和 75 名。 (Ⅱ)(ⅰ)由 4 ? 8 ? x ? 5 ? 3 ? 25 ,得 x ? 5 ,
(Ⅰ)

... 分 ...4

6 ? y ? 36 ? 18 ? 75 ,得 y ? 15 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
频率分布直方图如下

... 分 ...8 从直方图可以判断: B 类工人中个体间的差异程度更小。 (ii) ... 分 ...9

4 8 5 5 3 ?105 ? ?115 ? ?125 ? ?135 ? ?145 ? 123 , 25 25 25 25 25 6 15 36 18 xB ? ?115 ? ?125 ? ? 135 ? ? 145 ? 133.8 ,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 75 75 75 75 25 75 x? ?123 ? ?133.8 ? 131.1 100 100 xA ?

A 类工人生产能力的平均数, 类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为 123, B 133.8 和 131.1. (20)(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到两个 焦点的距离分别是 7 和 1 (I) (II) 求椭圆 C 的方程‘ 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

?e

(e 为椭圆 C 的离心率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (20)解: (Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为 a,c,由已知得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

{

a ? c ? 1, a ? c ? 7.

解得 a=4,c=3,

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 16 7
(Ⅱ)设 M(x,y),P(x,

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

y1 ),其中 x???4,4?. 由已知得

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x 2 ? y12 ? e2 . 2 2 x ?y
而e

?

3 2 2 2 2 ,故 16( x ? y1 ) ? 9( x ? y ). 4



由点 P 在椭圆 C 上得

y12 ?
2

112 ? 7 x 2 , 16

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

代入①式并化简得 9 y

? 112,
y?? 4 7 (?4 ? x ? 4), 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3

所以点 M 的轨迹方程为

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 (1) 设 a (2) 若 a

f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 .
? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;

?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

请考生在第(22)(23)(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔 、 、 在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (21)解: (Ⅰ)当 a=1 时,对函数

f ( x) 求导数,得

f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9.


f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3.
f ( x), f ' ( x) 的变化情况:
(??, ?1)
+

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

列表讨论

x
f ' ( x)

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ??)
+

f ( x)
所以,

?

?

?

f ( x) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26.

(Ⅱ) 若

f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2 .
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由|

f ' ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
1 4 f ' (1) ? ?12a得 ? ? a ? 1,由f ' (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] ? [ ? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4 3 5 4 5
由 若 a>1,则 | 所以使 |

f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ' ( x) |? 12a 不恒成立.
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 4 f ' ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. 4 5
如图, 已知 ? ABC 中的两条角平分线

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲

AD 和 CE 相交于 H

,? B=60 ,F 在 AC 上, AE 且
?

? AF



w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1)证明: B, D, H , E 四点共圆; (2)证明:CE 平分 ? DEF。 (22)解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为∠B=60°,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以∠BAC+∠BCA=120°. 因为 AD,CE 是角平分线, 所以∠HAC+∠HCA=60°,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 故∠AHC=120°. 于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°, 所以 B,D,H,E 四点共圆。 ( Ⅱ ) 连 结 BH , 则 BH 为

?ABC

的平分线,得

?H B D? 30°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由(Ⅰ)知 B,D,H,E 四点共圆,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以 ?CED

? ?HBD ? 30° 又 ?AHE ? ?EBD ? 60°,由已知可得 EF ? AD , 可得 ?CEF ? 30°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以 CE 平分 ? DEF
(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程。 已知曲线 C 1 : ?

? x ? ?4 ? cos t , ? y ? 3 ? sin t ,

(t 为参数) C 2 : ? ,

? x ? 8cos ? , (? ? y ? 3sin ? ,

为参数) 。

(1)化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t

?

? ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 2

到直线

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? x ? 3 ? 2t , C3 : ? ? y ? ?2 ? t
(23)解: (Ⅰ) C1 : ( x ? 4)
2

(t 为参数)距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

? ( y ? 3) 2 ? 1, C2 :

x2 y 2 ? ?1 64 9

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

C1 为圆心是 (?4,3) ,半径是 1 的圆。
C2 为中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,长半轴长是 8,短半轴长是 3 的椭圆。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)当 t

?

? 3 时, P(?4, 4).Q(8cos ? ,3sin ? ) ,故 M (?2 ? 4 cos ? , 2 ? sin ? ) 2 2

C3 为直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 ,
M 到 C3 的距离 d

?

5 | 4cos ? ? 3sin ? ? 13 | 5
取得最小值

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

从而当 cos ?

4 3 ? ,sin ? ? ? 时, d 5 5

8 5 5

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 如图, O 为数轴的原点, 示C 到

A, B, M

为数轴上三点, C 为线段 OM 上的动点,设 x 表示 C 与原点的距离,

y



A 距离 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和. y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70, x 应该在什么范围内取值?
(1)将

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (24)解: (Ⅰ)

y ? 4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |,0 ? x ? 30

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(Ⅱ)依题意, x 满足

?4 | x ? 10 | ?6 | x ? 20 |? 70, ? ?0 ? x ? 30
解不等式组,其解集为 [9, 23] 所以

x ?[ 9 , 2 3 ]

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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