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第九章第9讲离散型随机变量的均值与方差、正态分布


第 9 讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布

,[学生用书 P201])

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 x2 xi xn ? ? P p1 p2 pi pn ? ? (1)均值:称 E(X)=x1p1+x2p2+?+xipi+?+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它 反映了离散

型随机变量取值的平均水平. (2)D(X)=∑ (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差,它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的 =
i 1 n

平均偏离程度,其算术平方根 D(X)为随机变量 X 的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX+b)=aE(X)+b (a,b 为常数). (2)D(aX+b)=a2D(X) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 X X 服从两点分布 X~B(n,p) E(X) np p(p 为成功概率) D(X) p(1-p) np(1-p) 4.正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; (2)曲线是单峰的,它关于直线 x=μ 对称; 1 (3)曲线在 x=μ 处达到峰值 ; σ 2π (4)曲线与 x 轴之间的面积为 1; (5)当 σ 一定时,曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移; (6)当 μ 一定时,曲线的形状由 σ 确定.σ 越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集 中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.

1.辨明两个易误点 (1)均值 E(X)是一个实数, 由 X 的分布列唯一确定, 即 X 作为随机变量是可变的, 而 E(X) 是不变的,它描述 X 值的取值平均状态. (2)注意 E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X). 2.正态分布的三个常用数据 (1)P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;

(2)P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4; (3)P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4. 3.求离散型随机变量均值、方差的基本方法 (1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解; (2)已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y=aX+b 的均值、方差和标准差, 可直接用 X 的均值、方差的性质求解; (3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等),可直接利用它们 的均值、方差公式求解. 1.已知离散型随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 3 3 1 P 5 10 10 则 X 的数学期望 E(X)=( ) 3 A. B.2 2 5 C. D.3 2 3 3 1 3 解析:选 A.E(X)=1× +2× +3× = ,故选 A. 5 10 10 2 2. 已知随机变量 X 服从正态分布 N(0, σ 2). 若 P(X>2)=0.023, 则 P(-2≤X≤2)=( A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 解析:选 C.因为 μ=0,所以 P(X>2)=P(X<-2)=0.023, 所以 P(-2≤X≤2)=1-2×0.023=0.954. 1 3.设随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= (k=2,4,6,8,10),则 D(X)等于( ) 5 A.5 B.8 C.10 D.16 1 解析:选 B.因为 E(X)= (2+4+6+8+10)=6, 5 1 2 所以 D(X)= [(-4) +(-2)2+02+22+42]=8. 5 4.已知随机变量 X 的分布列为: X

)

0 1 -1 1 1 P a 2 3 且设 Y=2X+3,则 Y 的均值是________. 1 1 1 解析:由分布列性质有 + +a=1,即 a= ; 2 3 6 1 1 1 1 E(X)=(-1)× +0× +1× =- , 2 3 6 3 2 7 所以 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=3- = . 3 3 7 答案: 3 5.(选修 23 P69 习题 2.3 B 组 T1 改编)抛掷两枚骰子,当至少一枚 5 点或一枚 6 点出 现时,就说这次试验成功,则在 10 次试验中成功次数的均值为________. 4 4 4 解析:抛掷两枚骰子,当两枚骰子不出现 5 点和 6 点时的概率为 × = ,所以至少有 6 6 9 5 4 5 10, ?, 一次出现 5 点或 6 点的概率为 1- = , 用 X 表示 10 次试验中成功的次数, 则 X~B? 9? ? 9 9

5 50 E(X)=10× = . 9 9 50 答案: 9

考点一 离散型随机变量的均值(高频考点)[学生用书 P202] 离散型随机变量的均值是高考命题的热点,多以解答题的形式呈现,多为中档题. 高考对离散型随机变量的均值的考查主要有以下两个命题角度: (1)已知离散型随机变量符合的条件,求其均值; (2)已知离散型随机变量的均值,求参数值. (2014· 高考湖南卷)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概 2 3 率分别为 和 .现安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立. 3 5 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率; (2)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企 业可获利润 100 万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望. 2 [解] 记 E={甲组研发新产品成功},F={乙组研发新产品成功}.由题设知 P(E)= , 3 3 - 1 - 2 - - - - P( E )= ,P(F)= ,P( F )= ,且事件 E 与 F,E 与 F , E 与 F, E 与 F 都相互独立. 3 5 5 - -- (1)记 H={至少有一种新产品研发成功},则 H = E F , - - - 1 2 2 于是 P( H )=P( E )P( F )= × = , 3 5 15 2 13 - 故所求的概率为 P(H)=1-P( H )=1- = . 15 15 - (2)设企业可获利润为 X 万元, 则 X 的可能取值为 0, 100, 120, 220.因为 P(X=0)=P( E - 1 2 2 F )= × = , 3 5 15 1 3 3 - P(X=100)=P( E F)= × = , 3 5 15 2 2 4 - P(X=120)=P(E F )= × = , 3 5 15 2 3 6 P(X=220)=P(EF)= × = , 3 5 15 故所求的分布列为 X 0 100 120 220 2 3 4 6 P 15 15 15 15 2 3 4 6 300+480+1 320 2 100 数学期望为 E(X)= 0× + 100× + 120× + 220× = = = 15 15 15 15 15 15 140. 求离散型随机变量 X 的均值的方法 (1)理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值; (2)求 X 取每个值的概率; (3)写出 X 的分布列; (4)由均值的定义求 E(X).

1.(2016· 沈阳教学质量监测)为向国际化大都市目标迈进,某市今年新建三 大类重点工程,它们分别是 30 项基础设施类工程、20 项民生类工程和 10 项产业建设类工 程.现有 3 名工人相互独立地从这 60 个项目中任选一个项目参与建设. (1)求这 3 人选择的项目所属类别互异的概率; (2)将此 3 人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望. 解:记第 i 名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件 Ai、Bi、 Ci,i=1,2,3. 由题意知 A1、A2、A3、B1、B2、B3、C1、C2、C3 均相互独立. 30 1 20 1 10 1 则 P(Ai)= = ,P(Bi)= = ,P(Ci)= = ,i=1,2,3, 60 2 60 3 60 6 (1)3 人选择的项目所属类别互异的概率: 1 1 1 1 P1=A3 3P(A1B2C3)=6× × × = . 2 3 6 6 (2)任一名工人选择的项目属于基础设施类或产业建设类工程的概率: 30+10 2 P2= = , 60 3 2 ? 由 X~B? ?3,3?, k 3-k ?2? ?1-2? (k=0,1,2,3), 得 P(X=k)=Ck 3 3 ? ? ? 3? 所以 X 的分布列为 X P 0 1 27 1 2 9 2 4 9 3 8 27

2 其数学期望为 E(X)=3× =2. 3 考点二 均值与方差的实际应用[学生用书 P202] (2016· 山西省四校联考)学校设计了一个实验学科的考查方案:考生从 6 道备 选题中一次随机抽取 3 道题,按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:在抽取的 3 道题中, 至少正确完成其中 2 道题便可通过考查. 已知 6 道备选题中考生甲有 4 道题能正确 2 完成,2 道题不能完成;考生乙每题正确完成的概率都为 ,且每题正确完成与否互不影响. 3 (1)求考生甲正确完成题目个数 X 的分布列和数学期望; (2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能力强及哪位通过考查的可能性 大? [解] (1)由题意知 X 的可能取值为 1,2,3, 2 C1 4C2 1 P(X=1)= 3 = , C6 5 1 C2 4C2 3 P(X=2)= 3 = , C6 5 0 C3 4C2 1 P(X=3)= 3 = , C6 5 所以,考生甲正确完成题目数的分布列为: X P 1 1 5 2 3 5 3 1 5

1 3 1 所以 E(X)=1× +2× +3× =2. 5 5 5 (2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为 Y,

k 3-k 2 ?2? ·?1? ,k=0,1,2,3, 3, ?,其分布列为:P(Y=k)=Ck 因为 Y~B? 3 ? 3? ?3? ?3?

2 所以 E(Y)=3× =2. 3 1 3 1 2 又因为 D(X)=(1-2)2× +(2-2)2× +(3-2)2× = , 5 5 5 5 2 1 2 D(Y)=3× × = , 3 3 3 所以 D(X)<D(Y). 3 1 12 8 又因为 P(X≥2)= + =0.8,P(Y≥2)= + ≈0.74, 5 5 27 27 所以 P(X≥2)>P(Y≥2). ①从做对题数的数学期望来看,两人水平相当;从做对题数的方差来看,甲较稳定; ②从至少完成 2 道题的概率来看,甲获得通过的可能性较大,因此,可以判断甲的实验 操作能力强.

均值与方差的实际应用 (1)D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说 明 X 的取值越分散;反之,D(X)越小,X 的取值越集中在 E(X)附近,统计中常用 D(X)来 描述 X 的分散程度. (2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平,方差反映了随机变量取值偏离于 均值的程度, 它们从整体和全局上刻画了随机变量, 是生产实际中用于方案取舍的重要的理 论依据,一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定. 2.(2016· 云南省第一次统一检测)甲、乙两名射击运动员进行射击比赛,射 击次数相同,已知两名运动员击中的环数稳定在 7 环、8 环、9 环、10 环,他们比赛成绩的 统计结果如下: 7 8 9 10 环数击中频率选手 0.2 0.15 0.3 甲 0.2 0.2 0.35 乙 请你根据上述信息,解决下列问题: (1)估计甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率; (2)若从甲、乙运动员中只能挑选一名参加某大型比赛,请你从随机变量均值意义的角 度,谈谈让谁参加比较合适? 解:(1)记甲运动员击中 n 环为事件 An(n=7,8,9,10);乙运动员击中 n 环为事件 Bn(n =7,8,9,10),甲运动员击中的环数不少于 9 环为事件 A9∪A10,乙运动员击中的环数不 少于 9 环为事件 B9∪B10,根据已知事件 A9 与事件 A10 互斥,事件 B9 与事件 B10 互斥,事件 A9∪A10 与 B9∪B10 相互独立,则 P(A9∪A10)=P(A9)+P(A10)=1-0.2-0.15=0.65, P(B9∪B10)=P(B9)+P(B10)=0.2+0.35=0.55. 所以甲、乙两名射击运动员击中的环数都不少于 9 环的概率等于 0.65×0.55=0.357 5. (2)设甲、乙两名射击运动员击中的环数分别为随机变量 X、Y,根据已知得 X、Y 的可 能取值为:7,8,9,10. 甲运动员射击环数 X 的分布列为: X 7 8 9 P 0.2 0.15 0.3 甲运动员射击环数 X 的均值 E(X)=7×0.2+8×0.15+9×0.3+10×0.35=8.8. 10 0.35

乙运动员射击环数 Y 的概率分布列为: Y 7 8 9 10 P 0.2 0.25 0.2 0.35 乙运动员射击环数 Y 的均值 E(Y)=7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.35=8.7. 因为 E(X)>E(Y), 所以从随机变量均值意义的角度看,选甲去比较合适. 考点三 正态分布[学生用书 P203] (1)(2016· 长春质检)已知随机变量 X 服从正态分布 N(1, σ 2), 若 P(X>2)=0.15, 则 P(0≤X≤1)=( ) A.0.85 B.0.70 C.0.35 D.0.15 (2)(2015· 高考山东卷)已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N(0,32),从 中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( ) 2 (附:若随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ,σ ),则 P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ <ξ<μ+2σ)=95.44%.) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% [解析] (1)P(0≤X≤1)=P(1≤X≤2)=0.5-P(X>2)=0.35. (2)由正态分布的概率公式知 P(-3<ξ<3)=0.682 6,P(-6<ξ<6)=0.954 4, 故 P(3<ξ P(-6<ξ<6)-P(-3<ξ<3) 0.954 4-0.682 6 <6)= = =0.135 9=13.59%,故选 B. 2 2 [答案] (1)C (2)B 正态分布下的概率计算常见的两类问题 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关 于直线 x=μ 对称,及曲线与 x 轴之间的面积为 1. (2)利用 3σ 原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对 比联系,确定它们属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个. 3.设随机变量 X~N(1, 52), 且 P(X≤0)=P(X≥a-2), 则实数 a 的值为( A.4 B.6 C.8 D.10 解析:选 A.由正态分布的性质可知 P(X≤0)=P(X≥2),所以 a-2=2,故 a=4. ,[学生用书 P203]) 交汇创新——随机变量的均值与其他知识的交汇 )

(2015· 高考湖北卷)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A,B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨, 使用设备 1 小时, 获利 1 000 元; 生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶 1.5 吨, 使用设备 1.5 小时,获利 1 200 元.要求每天 B 产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍,设备 每天生产 A,B 两种产品时间之和不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位: 吨)是一个随机变量,其分布列为 W P 12 0.3 15 0.5 18 0.2

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利 Z (单 位:元)是一个随机变量. (1)求 Z 的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率. [解] (1)设每天 A,B 两种产品的生产数量分别为 x,y,相应的获利为 z, 2x+1.5y≤W,

? ?x+1.5y≤12, 则有? (*) 2x-y≥0, ? ?x≥0,y≥0.

目标函数为 z=1 000x+1 200y. 5 z 5 将 z=1 000x+1 200y 变形为 l:y=- x+ ,设 l0:y=- x. 6 1 200 6







当 W=12 时, (*)表示的平面区域如图①阴影部分所示, 三个顶点分别为 A(0, 0), B(2.4, 4.8),C(6,0). 平移直线 l0 知当直线 l 过点 B, 即当 x=2.4,y=4.8 时,z 取最大值, 故最大获利 Z=zmax=2.4×1 000+4.8×1 200=8 160(元). 当 W=15 时,(*)表示的平面区域如图②阴影部分所示,三个顶点分别为 A(0,0),B(3, 6),C(7.5,0). 平移直线 l0 知当直线 l 过点 B, 即当 x=3,y=6 时,z 取得最大值,

故最大获利 Z=zmax=3×1 000+6×1 200=10 200(元). 当 W=18 时,(*)表示的平面区域如图③阴影部分所示, 四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 平移直线 l0 知当直线 l 过点 C, 即当 x=6,y=4 时,z 取得最大值, 故最大获利 Z=zmax=6×1 000+4×1 200=10 800(元). 故最大获利 Z 的分布列为 Z 8 160 10 200 10 800 P 0.3 0.5 0.2 因此,E(Z)=8 160×0.3+10 200×0.5+10 800×0.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过 10 000 元的概率 p1=P(Z>10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3 天中至少有 1 天最大获利超过 10 000 元的概率为 p=1-(1-p1)3=1- 3 0.3 =0.973. (1)本题是线性规划和离散型随机变量的分布列、均值交汇,考查了对数 学的应用意识.根据题目所给信息,需要提炼出线性约束条件和目标函数,考查了数据处理 能力.在求 Z 的值时,应用了数形结合思想. (2)离散型随机变量的均值常与茎叶图、频率分布直方图、分层抽样、函数、数列、不 等式等知识交汇,题目设计新颖,是近几年高考考查的热点. (2016· 云南省师大附中适应性考试)甲、乙两支球队进行总决赛,比赛采用 五场三胜制,即若有一队先胜三场,则此队为总冠军,比赛就此结束.因两队实力相当,每 场比赛两队获胜的可能性均为二分之一.据以往资料统计,第一场比赛可获得门票收入 40 万元,以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元. (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 220 万元的概率; (2)设总决赛中获得的门票总收入为 X,求 X 的分布列和数学期望 E(X). 解:(1)依题意,每场比赛获得的门票收入组成首项为 40,公差为 10 的等差数列. 设此数列为{an},则易知 a1=40,an=10n+30, n(10n+70) 故 Sn= ,令 Sn=220, 2 解得 n=-11(舍去)或 n=4,所以此决赛共比赛了四场. 1?2 1 ? 则前三场的比分必为 1∶2,且第四场比赛为领先的球队获胜,其概率为 C2 × 3 ?2? ×2= 3 . 8 (2)随机变量 X 可取的值为 S3,S4,S5,即 150,220,300. 2 2 2 1?3 1 2 2 ?1? ×1=3, ?1? ×?1? = 又 P(X=150)=2×? = , P ( X = 220) = C × P ( X = 300) = C × 3 4 ?2? 4 ?2? 2 8 ?2? ?2? 3 . 8 分布列如下: X 150 220 300 1 3 3 P 4 8 8 1 3 3 所以 X 的数学期望为 E(X)=150× +220× +300× =232.5(万元). 4 8 8

1.(2016· 茂名模拟)若离散型随机变量 X 的分布列为 X 0 1 a a2 P 2 2 则 X 的数学期望 E(X)=( ) 1 A.2 B.2 或 2 1 C. D.1 2 a a2 解析:选 C.因为分布列中概率和为 1,所以 + =1,即 a2+a-2=0,解得 a=-2(舍 2 2 1 去)或 a=1,所以 E(X)= . 2 2.(2016· 潍坊质检)已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,σ 2),且 P(X<5)=0.8,则 P(1 <X<3)=( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析:选 C.由正态曲线的对称性可知,P(X<3)=P(X>3)=0.5,故 P(X>1)=P(X<5) =0.8,所以 P(X≤1)=1-P(X>1)=0.2,P(1<X<3)=P(X<3)-P(X≤1)=0.5-0.2=0.3. 3.(2016· 嘉峪关质检)签盒中有编号为 1,2,3,4,5,6 的六支签,从中任意取 3 支, 设 X 为这 3 支签的号码之中最大的一个,则 X 的数学期望为( ) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 解析:选 B.由题意可知,X 可以取 3,4,5,6, 1 1 C2 3 3 P(X=3)= 3= ,P(X=4)= 3= , C6 20 C6 20 C2 3 C2 1 4 5 P(X=5)= 3= ,P(X=6)= 3= . C6 10 C6 2 1 3 3 1 由数学期望的定义可求得 E(X)=3× +4× +5× +6× =5.25. 20 20 10 2 4.设随机变量 X 服从正态分布 N(μ,σ 2),且二次方程 x2+4x+X=0 无实数根的概率 1 为 ,则 μ 等于( ) 2 A.1 B.2 C.4 D.不能确定 1 解析:选 C.因为方程 x2+4x+X=0 无实数根的概率为 , 2 由 Δ=16-4X<0,得 X>4, 1 即 P(X>4)= =1-P(X≤4), 2 1 故 P(X≤4)= ,所以 μ=4. 2 5.某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1 000 粒,对于没有发芽的种子,每粒 需再补种 2 粒,补种的种子数记为 X,则 X 的数学期望为________. 解析:记不发芽的种子数为 Y,则 Y~B(1 000,0.1), 所以 E(Y)=1 000×0.1=100.又 X=2Y,所以 E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200. 答案:200 6.(2016· 贵州省七校第一次联考)在某校 2015 年高三 11 月月考中理科数学成绩 X~ N(90,σ 2)(σ>0),统计结果显示 P(60≤X≤120)=0.8,假设该校参加此次考试的有 780 人, 那么试估计此次考试中,该校成绩高于 120 分的有________人.

解析: 因为成绩 X~N(90, σ2), 所以其正态曲线关于直线 x=90 对称. 又 P(60≤X≤120) 1 =0.8,由对称性知成绩在 120 分以上的人数约为总人数的 (1-0.8)=0.1,所以估计成绩高 2 于 120 分的有 0.1×780=78 人. 答案:78 7.(2015· 高考山东卷)若 n 是一个三位正整数,且 n 的个位数字大于十位数字,十位数 字大于百位数字,则称 n 为“三位递增数”(如 137,359,567 等).在某次数学趣味活动中, 每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取 1 个数, 且只能抽取一次. 得分规则如下: 若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被 5 整除,参加者得 0 分;若能被 5 整除,但 不能被 10 整除,得-1 分;若能被 10 整除,得 1 分. (1)写出所有个位数字是 5 的“三位递增数”; (2)若甲参加活动,求甲得分 X 的分布列和数学期望 E(X). 解:(1)个位数字是 5 的“三位递增数”有 125,135,145,235,245,345. (2)由题意知,全部“三位递增数”的个数为 C3 9=84, 随机变量 X 的取值为:0,-1,1,因此 C3 8 2 P(X=0)= 3= , C9 3 C2 1 4 P(X=-1)= 3= , C9 14 1 2 11 P(X=1)=1- - = . 14 3 42 所以 X 的分布列为 0 1 -1 2 1 11 P 3 14 42 2 1 11 4 则 E(X)=0× +(-1)× +1× = . 3 14 42 21 8.甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约.甲表示只要 面试合格就签约,乙、丙约定两人面试都合格就一同签约,否则两个人都不签约.设甲面试 1 1 合格的概率为 ,乙、丙面试合格的概率都为 ,且面试是否合格相互不影响. 2 3 (1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数 X 的分布列和数学期望. 解:(1)用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 1 1 且 P(A)= ,P(B)=P(C)= ,所以至少有一人面试合格的概率为 2 3 1?? 1?? 1? 7 - -- 1-P( A B C )=1-? ?1-2??1-3??1-3?=9. (2)由题意可知,X 的可能取值为 0,1,2,3. 4 - -- - - - - P(X=0)=P( A B C )+P( A B C )+P( A B C)= ; 9 - - -- 4 P(X=1)=P(A B C)+P(AB C )+P(A B C )= ; 9 1 1 - P(X=2)=P( A BC)= ;P(X=3)=P(ABC)= . 18 18 所以 X 的分布列为 X P 0 4 9 1 4 9 2 1 18 3 1 18 X

4 4 1 1 13 E(X)=0× +1× +2× +3× = . 9 9 18 18 18 9.袋中有 20 个大小相同的球,其中记上 0 号的有 10 个,记上 n 号的有 n 个(n=1,2, 3,4),现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号. (1)求 X 的分布列、期望和方差; (2)若 Y=aX+b,E(Y)=1,D(Y)=11,试求 a,b 的值. 解:(1)X 的取值为 0,1,2,3,4,其分布列为 X 0 1 2 3 4 1 1 1 3 1 P 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 所以 E(X)=0× +1× +2× +3× +4× =1.5, 2 20 10 20 5 1 1 1 3 1 D(X) = (0 - 1.5)2 × + (1 - 1.5)2 × + (2 - 1.5)2 × + (3 - 1.5)2 × + (4 - 1.5)2 × = 2 20 10 20 5 2.75. (2)由 D(Y)=a2D(X)得 2.75a2=11,得 a=± 2, 又 E(Y)=aE(X)+b, 所以当 a=2 时,由 1=2×1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2 时,由 1=-2×1.5+b,得 b=4, ? ?a=2, ? ?a=-2, 所以? 或? ?b=-2 ? ?b=4. ? 1.(2016· 南昌第一次模拟)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学 生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩 X 服从正态分布 N(80,σ 2)(满分为 100 分),已知 P(X<75)=0.3,P(X≥95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取 3 位同学. (1)求抽到的 3 位同学该次体能测试成绩在区间[80,85),[85,95),[95,100]内各有 1 位同学的概率; (2)记抽到的 3 位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]内的人数为 Y,求随机变量 Y 的 分布列和数学期望 E(Y). 1 解:(1)由题知,P(80≤X<85)= -P(X<75)=0.2, 2 P(85≤X<95)=0.3-0.1=0.2, 所以所求概率 P=A3 3×0.2×0.2×0.1=0.024. (2)P(75≤X≤85)=1-2P(X<75)=0.4, 所以 Y 服从二项分布 B(3,0.4), P(Y=0)=0.63=0.216, P(Y=1)=3×0.4×0.62=0.432, P(Y=2)=3×0.42×0.6=0.288, P(Y=3)=0.43=0.064, 所以随机变量 Y 的分布列是 Y 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 E(Y)=3×0.4=1.2. 2.(2016· 西安地区八校联考)某公司准备将 1 000 万元资金投入到市环保工程建设中, 现有甲、乙两个建设项目供选择.若投资甲项目一年后可获得的利润 ξ1(万元)的概率分布列 如下表所示: ξ1 110 120 170 P m 0.4 n 且 ξ1 的期望 E(ξ1)=120;若投资乙项目一年后可获得的利润 ξ2(万元)与该项目建设材料 的成本有关, 在生产的过程中, 公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的 价格调整,两次调整相互独立且调整的概率分别为 p(0<p<1)和 1-p .若乙项目产品价格一

年内调整次数 X(次)与 ξ2 的关系如下表所示: X ξ 2 0 41.2 1 117.6 2 204

(1)求 m,n 的值; (2)求 ξ2 的分布列; (3)若 E(ξ1)<E(ξ2),则选择投资乙项目,求此时 p 的取值范围. ? ?m+0.4+n=1, 解:(1)由题意得? ?110m+120×0.4+170n=120, ? 解得 m=0.5,n=0.1. (2)ξ2 的可能取值为 41.2,117.6,204, P(ξ2=41.2)=(1-p)[1-(1-p)]=p(1-p), P(ξ2=117.6)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2, P(ξ2=204)=p(1-p), 所以 ξ2 的分布列为: ξ2 P 41.2 p(1-p) 117.6 p2+(1-p)2 204 p(1-p)

(3)由(2)可得: E(ξ2)=41.2p(1-p)+117.6[p2+(1-p)2]+204p(1-p)=-10p2+10p+117.6, 由 E(ξ1)<E(ξ2),得 120<-10p2+10p+117.6, 解得:0.4<p<0.6, 即当选择投资乙项目时,p 的取值范围是(0.4,0.6).


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