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概率古典概型的应用


第三章 概率
§3.2 古典概型(1 课时)
教与学·新教案
教学目标
?知识与技能 (1)正确理解古典概型的两大特点: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个;②每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式:

教学方法
自主学习、合作探究、观察举例、启发诱导.

教学用具
多媒体演示

知识建构
?例1 ?古典概型 ? ? ?例2 等可能基本事件- ? 公式 - ? ? 应用 ?例3 ? ?例4 ?

A包含的基本事件个数 P(A)= 总的基本事件个数
?过程与方法 (1)通过对现实生活中具体的概率问 题的探究,感知应用数学解决问题的方法, 体会数学知识与现实世界的联系, 培养逻辑 推理能力; (2)通过几种典型类型习题,感知应 用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动 脑的良好习惯. ?情感态度与价值观 通过数学与探究活动, 体会理论来源于 实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.

教学流程

重点难点
? (1)教学重点:正确理解掌握古典概型及 其概率公式; ? (2)教学难点:古典概型及其概率公式的 灵活应用.

1

教学过程
问题情景
有红心1,2,3和黑 桃4,5这5张扑克 牌, 将其牌点向下置于 桌上, 现从中任意抽取 一张, 那么抽到的牌为 红心的概率有多大? 投影上述事例 基本事件的含义 是什么? 等可能基本事件 的含义是什么? 什么叫做古典概型? 探求古典概型的公式 例 1 中的摸球问题 给出了哪些基本事件? 豌豆的高矮性状 的遗传由其一对基因 决定, 你会求第二子代 为高茎的概率吗? 你能求出上述第 二子代的种子经自花 传粉得到的第三子代 为高茎的概率吗? 将一颗骰子先后 抛掷2次, 观察向上的 点数,问:两数之和是 3的倍数的概率是多 少? 上题图中直观地 给出了例3第(2)问 中的12种结果, 你能 用此图求出向上的点 数之和是4的倍数的 结果有多少种吗?

设计意图
若进行大量重复试验, 用“出现红心”这一事件的 频率估计概率,工作量较大 且不够准确 通过投影 , 让学生能够 找到更好的解决方法 明确基本事件的含义 明确 等可 能基 本 事件 的含义 明确古典概型的两大特点 明确 公式 中各 个 字母 的意义 使学 生通 过具 体 的实 例准确判断基本事件,做到 不重不漏 这 是 一个 与生 物 遗传 学结合的问题,激发学生兴 趣,使学生能够将数学知识 与其他科目知识综合应用 提出了教科书的思考题 , 使 学生能通过动手实验 , 找出 规律性,直接运用公式求解

教师活动

学生活动

提问学生

回答问题

教师引导 学生思考,联想 提问学生 提问学生 提问学生 教师引领学 生探求公式 先让学生 自己列举 , 再总 结方法,规律

能够准确做出 判断,并能求出结果 回答问题 回答问题 回答问题 学生阅读教材, 熟记公式 阅读教科书,尝 试解答例题,并能完 成教科书后练习题

学生自主解 教师画图提示, 答,与教科书解答 提问学生解答 过程对照,订正书 写不规范的地方 使学生能 够根据自己的 动手计算体会 古典概型公式 的运用 学生动手计 算,研习教材,根 据教师的提示将基 本事件与所有可能 情形罗列出来

通 过 对抛 骰子 问 题的 详细研究,使学生能够将这 一类题转化为坐标问题进 行解决,体会等价转化思想

引导学生通过 动手实验,积 实验, 清楚等可 极思考,探求问题 能事件的意义, 的解答,书写详尽 提问学生 解答过程 使学生能 够根据自己的 动手计算体会 古典概型公式 的运用 学生动手计 算,研习教材,根 据教师的提示将基 本事件与所有可能 情形罗列出来

提出了教科书的思考题 , 使 学生能通过动手实验 , 找出 规律性 , 直接运用公式结合 图表求解

2

问题情景

设计意图

教师活动

学生活动

例 3 中点数之和为 质数的概率是多少? 点数之和为几时概率 对例 3 问题的补充,使学生 最大?如果抛掷 3 次, 熟悉图表,熟悉公式的运用 点数之和为多少时概 率最大? 例 3 中向上的点数 之和为偶数(奇数)的 概率是多少?向上的 点数之积为偶数(奇 数)的概率是多少? 用三种不同颜色 3个矩形随机涂色, 每 个矩形只涂一种颜色, 求: (1)3个矩形颜 色都相同的概率; (2) 3个矩形颜色都不同 的概率 对照图表巩固公式,并引发 学生积极思考,使学生活用 知识,注意到公式中基本事 件与事件总数的相对性

提问学生

回答问题

教师让学生先 用公式解决问 题, 然后提出另 外的解决办法

学生动手解题,积 极思考,组织讨论, 探求结局问题的最 佳方法

本题中的基本事件较多,为 了清楚地枚举出所有可能 的基本事件,可让学生画图 枚举

引导学生用图 形解决实际问 题, 体会数形结 合思想方法的 广泛运用

动手画图,积极探 索,学会用树形图 解决概率问题

典型例题讲解

通过典型例题讲解 , 让 学生加深对本课内容的理 解,能进行简单的计算

引导学生 审题,分析,理 解 , 从而进行解 答 , 并让学生说 出应该注意的 各种问题 教师及时 纠正 , 反馈归类 总结 帮助同学梳理 知识,建构网络

积极思考,完善 思维,写出完整的解 答过程,并对此类问 题进行小结

请同学们做基础 练习题组 请同学们回顾本 节课内容

检查 学生 对本 节 课内 容的理解是否到位 回顾总结 , 建构知识体 系形成知识网络

做基础练习,并 给予纠正 回忆本节课内 容,画出网络图

知识网络建构

3

做教学效果检测

检测学生对基本内 容的理解水平

教师巡视,纠正点拨

解题,讨论,自查,互评

教学效果检测
1. 某班准备到郊外野营,为此向商店订了帐 篷.如果下雨与不下雨是等可能的,能否准 时收到帐篷也是等可能的. 只要帐篷如期运 到,他们就不会淋雨,则下列说法中正确的 是___________.(填序号) ①一定不会淋雨 率是

1 1 ? . 5 10 100000

(2)由于前 4 个数字记得, 第 5 个数字从 0~9
有 10 种可能,故概率为

1 . 10

3 4 1 ③淋雨机会为 2 1 ④淋雨机会为 4
②淋雨机会为

3.口袋中有形状、大小都相同的1只白球和 1只黑球,先摸出1只球,记下颜色后 放回口袋,然后再摸出1只球. (1)一 共可能出现多少种不同的结果?(2) 出现“1只白球、1只黑球”的结果有 多少种?(3)出现“1只白球、1只 黑球”的概率是多少? 【答案】 (1)4; (2)2; (3) . 【点拨】 (1)事件的总数为 4 种,即:2 只 白球.; 1只白球和1只黑球; 1只黑球球和 1只白球;2 只黑球. (2)符合题意的有1只白球和1只黑球; 1只黑球球和1只白球两种可能. (3)由概率公式,得 P ( A) ?

【答案】④ 【点拨】基本事件为下雨没有如期收到帐
篷,等可能事件总数为四种情形:一是下雨 没有如期收到帐篷,二是下雨如期收到帐 篷,三是不下雨如期收到帐篷,四是不下雨 也没如期收到帐篷. 2.一个密码箱的密码由5位数字组成,五个数 字都可任意设定为0~9中的任何一个数 字,假设某人已经设定了五位密码. (1)若此人忘了密码的所有数字,则他一 次就能把锁打开的概率为________; (2)若此人只记得密码的前4个数字,则 一次就能把锁打开的概率为___________.

1 2

2 1 = . 4 2

4.某拍卖行拍卖的 20 幅名画中, 有2幅是赝 品.某人在这次拍卖中买入了1幅画,求买 入的这幅画是赝品的概率. 【答案】 P ( A) ?

2 1 = .. 20 10

【点拨】直接运用公式解答.

【答案】(1) 【点拨】(1)
5

1 1 ; (2) . 100000 10
每个位置上的数字是等可能

的,共有 10 可能,所以一次就能打开的概

4

板书设计 §3.2 古典概型
一、复习:概率的统计定义

三、 典例讲解 例1 变式训练 1 例2 变式训练 2

检 测 、 练习

二、古典概型 1、基本概念 2、古典概型公式 3、实际应用问题

例3 变式训练 3 例4 变式训练 4

课后反思
本教案从复习概率的统计定义入手 ,结 合实例,自然引出等可能基本事件的含义, 进一步借助等可能基本事件的两大特点引 出古典概型,层层递进,环环相扣,并通过典型 的例题,从四个不同的问题, 全方位的对古典 概型的相关内容进行典型例题的分析与阐 述.将教科书内容系统化, 对于例题加以变式

研究,举一反三 . 做到重点知识反复强调 , 难点分解、 点点消化,并配有课堂教学效果检 测,对学生掌握本节课知识进行反馈,做到基 础知识及时巩固,为掌握的知识进行弥补,让 学生熟记公式,理解并掌握公式,能够灵活 运用公式解题.加强了学生对数学概念、 公式 的理解与掌握,所起作用明显,学生易于接 受.

备课资料
小 概 率 事 件
公元 1053 年,北宋大将狄青奉令征讨 南方侬智高叛乱,他在誓师时,当着全体将 士的面拿出 100 枚铜钱说: “我把这 100 枚 铜钱抛向空中, 如果钱落地后 100 枚铜钱都 会正面朝上,那么,这次出征定能获胜. ” 当狄青把 100 枚铜钱都当众抛出后, 竟然全 部都是正面向上. 狄青又命军士取来 100 枚 铁钉, 把这 100 枚铜钱钉在地上, 派兵把守,
5

任人观看.于是宋朝部队军心大振,个个奋 勇争先,而侬智高部也风闻此事,军心涣 散.狄青终于顺利地平定了侬智高的叛乱. 一枚铜钱抛出落下后, 正面与反面向上 的概率都是

1 ,抛2枚铜钱, 出现4种等可 2

能基本事件,即 (正,正) , (正,反) , (反,正) , (反,反) ,所以2枚铜钱抛出

落下后2枚都是正面向上的概率等于

1 . 再 4

看抛3枚铜钱: 这只要在2枚铜钱的四种结 果后面增加第三枚铜钱的结果,即 (正,正,正) , (正,反,正) , (反,正,正) , (反,反,正) , (正,正,反) , (正,反,反) , (反,正,反) , (反,反,反) , 于是抛3枚铜钱共出现 2 种等可能的基本 事件, 其中都是正面向上的基本事件只有1 个, 故3枚铜钱都是正面向上的概率为
3

1 . 23

依此类推,可知抛 100 枚铜钱,正面全 部向上的概率为

1 , 这样一个概率非常小 2100

的事件竟然发生了,大家觉得很神奇.当然

只有归之于神灵的保佑了. 在狄青胜利班师时,命人拔下铁钉,拿 起铜钱, 发现这 100 枚铜钱两面都是正面图 案,原来这些铜钱是狄青专门铸造的.所以 这“100 枚铜钱全部正面朝上”的事件是一 个必然事件,而在不明内情的人看来,却几 乎是不可能事件. 狄青正是利用了人们的这 个常规想法, 使大家都认为几乎不可能发生 的事件变成了现实, 从而起到了鼓舞本军斗 志,涣散敌人士气的巨大作用. 一个事件发生的概率相对很小, 就称为 小概率事件. 小概率事件一般认为在1次试 验中几乎不会发生.这就是小概率原理.军 事家们利用小概率事件演绎了许多惊心动 魄的战例, 小说家们利用小概率事件构思了 许多引人入胜的情节. 日常生活中也有很多 小概率事件的例子,你能再举一些吗?

教与学·新学案 教学过程
知识点 情景激疑
有红心 1,2,3 和黑 桃 4, 5 这 5 张扑克牌, 将其牌点向下置于桌 上,现从中任意抽取 一张,那么抽到的牌 为红心的概率有多 大?若进行大量重复 试验,用“出现红心” 这一事件的频率估计 概率,工作量较大且 不够准确. 有更好的 解决方法吗?

知识归纳
( 1) 在一次试验中可能出现的每一个 基本结果称为基本事件; ( 2) 若在一次试验中,每个基本事件 发生的可能性都相同,则称这些基本 事件为等可能基本事件; (3)我们将满足以下两个条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型:①所有的基本事件只有有 限个; ②每个基本事件的发生都是等可能 的. 如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个, 那么每一个等可能基本事件发

探究应用

1.基本概念

例1 变式训练 1

2. 古 典 概 型 公式

举例推导公式

生的概率都是

1 .如果某个事件 A 例 2 n m . n

包含了其中m 个等可能基本事件, 那 么事件A 发生的概率为 P ( A) ?

变式训练 2

6

3. 实 际 应 用 问题

你知道生物学中的豌 豆的高矮性状的遗传 问题吗?我们如何求 出第一代、第二代基 因的遗传的概率呢?

古典概型的概率计算公式:

P( A) ?

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

例3 变式训练 3 例4 变式训练 4 例5 变式训练 5 例6 变式训练 6

引题探究
前面我们已经研究了概率的统计定义,并将生活中与概率相关的实际例子进行了阐述 . 我们了解了概率只是一种探求问题的好的方法, 那么我们应该掌握哪些类型的概率问题呢? 今天我们将一起来研究概率中最基本的公式之一,即古典概型.

课前预习梳理
有的放失

预习梳理

从教材中

学找答案

1.等可能基本事件: 有红心1,2,3和黑桃4,5这5张 扑克牌,将其牌点向下置于桌上,现从中任 意抽取一张, 那么抽到的牌为红心的概率有 多大? 在一次试验中可能出现的每一个基本 结果称为 ________ 事件.如在上面的问题 中, “抽到红心1”即为一个基本事件.若 在一次试验中, 每个基本事件发生的可能性 都相同, 则称这些______事件为_____事件. 2.古典概型: 我们将满足下列两个条件的随机试验 的概率模型称为___________. (1)所有的基本事件只有___个;

(2) 每个基本事件的发生都是___的. 3.古典概型的计算公式: 如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个,那么每一个等可能基本事件发生的 概率都是_______. 如果某个事件A 包含了 其中m 个等可能基本事件, 那么事件A 发 生的概率为______. 【参考答案】 1.基本 基本 等可能基本 2. 古 典 概 型 有限 等可能 3.

1 n

P ( A) ?

m . n

难点发现

在课堂上

探讨结论

1.注意理解等可能事件的意义 正确判断事件发生是否是等可能的 .例 如:摸口袋中颜色不同的球是等可能的,但 是摸口袋中大小不同的球就不是等可能的. 2.你能区分放回与不放回的问题吗? 如:现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品: (1)如果从中取出一件,然后放回,再取 一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率;
-7-

(2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正 品的概率. 下面我们一起研究解答(1)为返回抽 样; (2)为不返回抽样. (1)的正解:有放回地抽取 3 次,按抽取 顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种可能,所以试验结果有 10 ×10× 10=10 种;设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则
3 3

包含的基本事件共有 8×8×8=8 种,因此,

83 P(A)= =0.512. 103
(2)的正解:可以看作不放回抽样 3 次, 顺序不同,基本事件不同,按抽取顺序记录 (x,y,z) , 则 x 有 10 种可能, y 有 9 种可能, z 有 8 种可能, 所以试验的所有结果为 10× 9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都是正品” ,

则事件 B 包含的基本事件总数为 8 × 7 × 6=336, 所以 P(B)=

336 7 ? ≈0.467. 720 15

关于不放回抽样,计算基本事件个数 时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是 无顺序的,其结果是一样的,但不论选择哪 一种方式,观察的角度必须一致,否则会导 致错误.

课堂互动探究
珠联璧合

知识点 1
情景激疑

基本概念
积极参与 虚心合作

【答案】

3 5

有红心 1,2,3 和黑桃 4,5 这 5 张扑 克牌,将其牌点向下置于桌上,现从中任意 抽取一张, 那么抽到的牌为红心的概率有多 大?若进行大量重复试验,用“出现红心” 这一事件的频率估计概率, 工作量较大且不 够准确. 有更好的解决方法吗?

【点评】把“抽到红心”记为事件 B, 那么事件 B 相当于“抽到红心1” 、 “抽到红 心2” 、 “抽到红心3”这3种情况,而“抽 到黑桃”相当于“抽到黑桃4” 、 “抽到黑桃 5”这2种情况,由于是任意抽取的,可以 认为出现这5种情况的可能性都相等. 【变式训练 1】甲、乙两人随意入住两 个房间.甲、 乙两人同住一个房间的概率是_. 【答案】

知识归纳

梳理重点

化解难点

1 2

(1)在一次试验中可能出现的每一个基本 结果称为基本事件; (2)若在一次试验中,每个基本事件发生 的可能性都相同, 则称这些基本事件为等可 能基本事件; (3) 我们将满足以下两个条件的 随 机 试 验 的 概 率 模 型 称 为 古 典 概 型: ①所有的基本事件只有有限个; ②每个基本事件的发生都是等可能的..

【点拨】甲、乙两人随意入住房间共有 4 个基本事件,甲、乙同住一个房间包含 2 个基本事件,故所求概率为 P ?

2 1 ? . 4 2

知识点 2
情景激疑

古典概型公式
积极参与 虚心合作

探究应用

动手动脑

不断探索

举例推导公式

【例 1】有红心1,2,3和黑桃4, 5这5张扑克牌,将其牌点向下置于桌上, 现从中任意抽取一张, 那么抽到的牌为红心 的概率有多大? 【解析】 当出现抽到红心 1,2,3 这3种情 形之一时, 事件 B 就发生, 于是 P ( B ) ?

知识归纳

梳理重点

化解难点

如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个,那么每一个等可能基本事件发生的 概率都是

1 .如果某个事件A 包含了其中 n m . n

3 .. 5

m 个等可能基本事件, 那么事件A 发生的
概率为 P ( A) ?

8

探究应用

动手动脑

不断探索

P( A) ?

【例 2】假设小军、小燕和小明所在的班级 共有 50 名学生, 并且这 50 名学生早上到校 先后的可能性相同, 则 “小燕比小明先到校, 小明又比小军先到校”的概率为_______. 【解析】将 3 人排序共包括 6 个基本事件, 由古典概型得 P ? 【答案】

A包含的基本事件个数 . 总的基本事件个数
动手动脑 不断探索

探究应用

1 6

1 6

【点评】 将实际应用问题转化为等可能基本 事件的概率问题求解. 【变式训练 2】在箱子中装有 10 张卡片, 分别写有 1 到 10 十个整数,从箱子中任取 一张卡片,记下它的读数 x ,然后再放回箱 子中,第二次再从箱子中任取一张卡片,记 下它的读数 y , 试求 x ? y 是 10 的倍数的概 率. 【解析】先后两次出现卡片,每次都有 1~ 10 这 10 种结果,故形成有序对 ? x, y ? 共有 10×10=100 个.因为 x ? y 是 10 的倍数,它 包含下列 10 种结果: (1,9) , (2, 8) , (3,7) , (4,6) , (5,5) , (6,4) , (7,3) , (8,2) , (9,1) , (10,10) ,故 x ? y 是 10 的倍数的概率为

【例 3】 一只口袋内装有大小相同的5只球, 其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两 只球. (1)共有多少个基本事件? (2)摸出的两只球都是白球的概率是多少? 【解析】 (1)分别记白球为1,2,3 号,黑球为4,5号,从中摸出2只球,有 如下基本事件(摸到1,2号球用 (1,2)表示) :. (1,2) , (1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (3,4) , (3,5) , (4,5) ,因此,共有10个基本事件. (2)如下图,上述10个基本事件发生 的可能性相同, 且只有3个基本事件是摸到 两只白球(记为事件A) ,即 (1,2) , (1,3) , (2,3) ,故

P ( A) ?

3 10

10 1 ? . 100 10 1 【答案】 10
【点拨】 解答本题易出现基本事件考虑不周 全的情形,应按规律列出并严格检验.

【答案】 (1)共有10个基本事件. (2) 摸出两只球都是白球的概率为

3 10

知识点 3
情景激疑

实际应用问题
积极参与 虚心合作

【点评】 可用枚举法找出所有的等可能基本 事件. 【变式训练 3】 袋中有 3 只白球和 a 只黑球, 从中任取 1 只,是白球的概率为 值. 【答案】18 【点拨】基本事件总数为 3 ? a, 所求事件包 含的基本事件数为 3,由题意得 解得 a ? 18.
9

1 , 求a的 7

你知道生物学中的豌豆的高矮性状的 遗传问题吗?我们如何求出第一代、 第二代 基因的遗传的概率呢?

知识归纳

梳理重点

化解难点

古典概型的概率计算公式:

3 1 ? , 3? a 7

【例 4】豌豆的高矮性状的遗传由其一对基 因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮 的基因记为d, 则杂交所得第一子代的一对 基因为Dd.若第二子代的D,d基因的遗 传是等可能的,求第二子代为高茎的概率 (只要有基因D 则其就是高茎,只有两个 基因全是d时,才显现矮茎). 【解析】Dd与Dd 的搭配方式有4种: DD,Dd,dD,dd,其中只有第四种 表现为矮茎,故第二子代为高茎的概率为

3 ? 75% 4
【答案】第二子代为高茎的概率为 75%. 【点评】由于第二子代的D,d基因的遗传 是等可能的, 可以将各种可能的遗传情形都 枚举出来. 【变式训练 4】现有 8 名奥运会志愿者,其 中志愿者 A1 , A2 , A3 通晓日语, B1 , B2 , B3 通 晓俄语, C1 , C2 通晓韩语.从中选出通晓日 语、俄语和韩语的志愿者各 1 名,组成一个 小组. (1)求 A 1 被选中的概率; (2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率.

点数有6种结果,对每一种结果,第2次又 都有6种可能的结果,于是一共有 6×6=36 种不同的结果. (2)第1次抛掷,向上的点数为1,2,3, 4,5,6这6个数中的某一个,第2次抛 掷时都可以有两种结果, 使两次向上的点数 和为3的倍数(例如,第1次向上的点数为 4,则当第2次向上的点数为2或5时,两 次的点数之和都为3的倍数) ,于是共有 6×2=12 种不同的结果. (3) )因为抛掷2次得到的36种结果是等 可能出现的,记“向上的点数之和是3的倍 数”为事件 A,则事件 A 的结果有12种, 故所求的概率为

P( A) ?

12 1 ? 36 3

【答案】先后抛掷2次,共有36种不同的 结果; 点数之和是3的倍数的结果共有12 种;点数之和是3的倍数的概率为

1 . 3

【点评】下图可以清楚地反映问题的结论:

6 1 ? ; 18 3 3 1 5 ? 1? ? . (2)概率为 P2 ? 1 ? 18 6 6
【答案】(1)概率为 P 1 ? 【点拨】 (1)列举出所有基本事件和“被 A 1 选中” 包含的基本事件, 然后代入公式计算. (2)先求 B1 和 C1 全被选中的概率. 【例 5】将一颗骰子先后抛掷2次,观察向 上的点数,问: (1)共有多少种不同的结果? (2)两数之和是3的倍数的结果有多少种? (3)两数之和是3的倍数的概率是多少? 【解析】 (1)将骰子抛掷1次, 它出现的点数 有1,2,3,4,5,6这6种结果. 先后抛掷2次骰子, 第1次骰子向上的 【变式训练 5】若一元二次方程

.

x 2 ? mx ? n ? 0 中 m, n 的 取值 分别 等于
将一枚骰子连掷两次先后出现的点数, 则方 程有实数根的概率为__________.

19 36 【点拨】 m, n 的取值包含 36 个基本事件,
【答案】 其中满足 m ? 4n ≥0 的基本事件为 19,故
2

所求概率为 P ?

19 . 36

10

【例 6】用三种不同颜色给下图中3个矩形 随机涂色,每个矩形只涂一种颜色,求: (1)3个矩形颜色都相同的概率; (2)3个矩形颜色都不同的概率.

(1)分别求出 X 取得最大值和最小值时 的概率. (2)求 X 的值不小于 4 的概率. 【答案】 (1)

1 16

(2)

7 16

【解析】本题的基本事件共有27个(如下 图) . (1)记“3个矩形都涂同一颜色”为 事件A,由图可知,事件A 的基本事件有 1×3=3个,故

【点拨】 (1)随机投掷正四面体两次,其所 有的基本事件为( 1,1 ) , ( 1,2 ) , ( 1,3 ) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)由 16 个基本事件构成,并且这些基 本事件是等可能的.当 x1 ? x2 ? 1时, X 取 得最大值,当 x1 ? x2 ? 3 时, X 取得最大 值, 取得最大值和最小值时的概率都是

3 1 P( A) ? ? 27 9
(2)记“3个矩形颜色都不同”为事 件B,由图7 2 4可知,事件B 的基本 事件有2×3=6个,故

1 . 16

P( B) ?

6 2 ? 27 9 1 , 9

【答案】3个矩形颜色都相同的概率为 3个矩形颜色都不同的概率为

(2)记“ X 的值不小于 4”为事件 A ,则 事件 A 包含的基本事件有( 1,1 ) , ( 1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (3,1) , (4,1)共 7 个,??P( A) ?

2 .. 9

7 . 16

【点评】本题中的基本事件较多,为了清楚 地枚举出所有可能的基本事件, 可画图枚举 如下:

概括整合

【变式训练 6】一个均匀的正四面体的四个 面上分别涂有 1,2,3,4 四个数字,现随机投掷 两次,正四面体朝下的面上的数字分别为

x1 , x2 , ,记 X ? ( x1 ? 3)2 ? ( x2 ? 3)2 .

11

课堂巩固练习
初露锋芒
1. 在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30mm, 从中任取一根, 取到长度超过 30mm 的纤维的概率是________. 个球中至少有一个红球的概率是 _______. 【答案】

【答案】

12 3 ? 40 10

7 . 10

【点拨】在 40 根纤维中,有 12 根的长度
超过 30mm,即基本事件总数为 40,且它们 是等可能发生的,所求事件包含 12 个基本 事件,故所求事件的概率为

【点拨】记大小相同的 5 个球分别为红 1, 红 2,白 1,白 2,白 3,则基本事件为: (红 , (红 1,白 1) , (红 1,白 2) (红 1, 1,红 2) 白 3) , (红 2,白 3) ,共 10 个,其中至少有 一个红球的事件包括 7 个基本事件,所以, 所求事件的概率为

3 . 10

7 .注:在讲解了互斥事 10

2. 盒中有 10 个铁钉,其中 8 个是合格的,2 个是不合格的, 从中任取一个恰为合格铁钉 的概率是____.

【答案】 P( A) ?

8 4 ? 10 5

【点拨】从盒中任取一个铁钉包含基本事
件总数为 10, 其中抽到合格铁订 (记为事件 A)包含 8 个基本事件,所以,所求概率为 P(A)=

件、对立事件以后还可以这样来解:还可以 利用“对立事件的概率和为 1”来求解,对 于求“至多” “至少”等事件的概率头问题, 常采用间接法,即求其对立事件的概率 P (A) ,然后利用 P(A)1-P(A)求解. 4.抛掷 2 颗质地均匀的骰子,则点数和为 8 的概率是__________. 【答案】

5 . 36

8 4 = .注:在讲解了互斥事件、 10 5

对立事件以后还可以这样来解: 因为从盒中 任取一个铁钉,取到合格品(记为事件 A) 与取到不合格品(记为事件 B)恰为对立事 件,因此,P(A)=1-P(B)=1-

2 4 = . 10 5

【点拨】在抛掷 2 颗骰子的试验中,每颗 骰子均可出现 1 点,2 点,?,6 点 6 种不 同的结果,我们把两颗骰子标上记号 1,2 以便区分,由于 1 号骰子的一个结果,因此 同时掷两颗骰子的结果共有 6×6=36 种, 在 上面的所有结果中, 向上的点数之和为 8 的 结果有(2,6) , (3,5) , (4,4) , (5,3) , (6, 2) 5 种, 所以, 所求事件的概率为

3.在大小相同的 5 个球中,2 个是红球,3 个是白球, 若从中任取 2 个, 则所取的 2

5 . 36

课后提高作业
鲲鹏展翅
1. 掷一颗骰子,观察掷出的点数,求掷得奇 数点的概率________. 【点拨】掷骰子有 6 个基本事件,具有有 限性和等可能性,因此是古典概型. 利用古典概型的计算公式时应注意两点: 【答案】这个试验的基本事件共有 6 个, 即(出现 1 点) 、 (出现 2 点)?、 (出现 6 (1)所有的基本事件必须是互斥的; 点)所以基本事件数 n=6,事件 A=(掷得奇 (2)m 为事件 A 所包含的基本事件数,求 数点) = (出现 1 点, 出现 3 点, 出现 5 点) , m 值时,要做到不重不漏. 其包含的基本事件数 m=3 2.某种产品共100件,其中有一等品28 m 3 1 件,二等品65件,一等品与二等品都是正 所以,P(A)= = = =0.5 品,其余为次品.某人买了这些产品中的1 n 6 2
12

件,问:他买到一等品的概率是多少?买到 正品的概率是多少?

多少? 【答案】 P( A) ?

【答案】 他买到一等品的概率是 0.28,买到
正品的概率是 0.93.

1 . 2

【点拨】甲在乙前与甲在乙后是等可能的, 故所求概率为

【点拨】买到一等品的概率直接用古典概
率公式计算 P( A) ?

1 . 2

28 ? 0.28 . 由于一等 100

品、二等品都是正品,所以所求概率为

5.有红、黄、蓝三种颜色的小旗各3面,任 取其中3面挂于一根旗杆上,求: (1)三面旗子全是红色的概率; (2)恰有两面旗子是红色的概率. 【答案】(1) P ( A) ?

P( B) ?

28 ? 65 93 ? ? 0.93 . 100 100

3.连续3次抛掷同一颗骰子,则3次掷得的 点数之和为16的概率为______. 【答案】 P ( A) ?

1 1 ? . 3 3 27 6 2 ? (2) P ( B ) ? 27 9
3

6 1 ? . 3 6 36

【点拨】共有 3 种挂法,三面皆红只有一 种可能,故概率为

【点拨】掷 3 次点数和为 16,只有 6+6+4, 6+4+6,4+6+6,6+5+5,5+6+5,5+5+6 这 6 种可能情况,故所求概率为

1 ;恰有 2 面红的情形 27 2 . 9

1 . 36

有红黄红,红红黄,黄红红,红蓝红,红红 蓝,蓝红红 6 种可能情形,故概率为

4.甲、乙、丙三人在3天节日中值班,每人 值班1天, 那么甲排在乙前面值班的概率是

教与学·新练案

习题讲评教案
温故知新

教学目标
知识与技能 (1)正确理解古典概型的两大特点: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有 限个;②每个基本事件出现的可能性相等; (2)掌握古典概型的概率计算公式: P(A)= 用数字解决问题的方法,自觉养成动 手、动脑的良好习惯. ?情感态度与价值观 通过数学与探究活动, 体会理论来源于 实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.

A包含的基本事件个数 总的基本事件个数

重点难点
? (1)教学重点:正确理解掌握古典概型及 其概率公式; ? (2)教学难点:古典概型及其概率公式的 灵活应用.

?过程与方法 (1)通过对现实生活中具体的概率问 题的探究,感知应用数学解决问题的方法, 体会数学知识与现实世界的联系, 培养逻辑 推理能力; (2)通过几种典型类型习题,感知应
13

教学流程

教学过程
问题情景
用多媒体投影展示同 学们典型性的试卷, 分 优、良、差三等级

设计意图
优 等 作业 值得 同 学们 羡慕和学习,是学习的榜样 和内动力 . 良和差等的作业 主要是让同学们发现问题 做到引以为戒 便于讲解订正,解决此 类问题

教师活动
教师对优等作 业提出表扬鼓 动大家学习, 引 导学生找出差 等的问题所在 归纳出同学们 反映的问题, 让 同学说出错误 所在 引导学生 计算总量时应 该准确 引导学生 结合概率、众 数、 平均数等解 决问题 引导学生 能结合前面学 过的知识与概 率知识的结合

学生活动
学生先对自己的 作业作评判,再对 照学生的作业做评 判,发现同学的闪 光点和自己的不足 对错题、难题分 类整理 细心做题,学会 观察、分析,认真 计算,可以颠倒顺 序多算几次,确保 结果准确无误 先回顾概率、 抽样方法等知识结 合问题的提出给出 准确解答 学会分类讨论,对 于多、杂的问题学 会分解,转化,探 究,完善解答过程

对同学们集中出现错 误的题目进行分类

类型一、基本概念 同学们请看第 7 题, 注 意基本运算

引导学生审题后,注意 仔细的计算,培养少数同学 粗心大意的坏习惯

类型二、 古典概型公式 注意第 10 题的问题

学会对此类问题的原因的 推理,能通过对概率公式的 正确运用解决问题 通 过 结合 茎叶 图 的相 关知识,教会学生认真读 题、审题,先分析,后解决 问题

类型三、 实际应用问题 注意第 11 题的综合性

知识达标训练
14

百炼成钢
知识点分布 1.基本概念 2. 古典概型公式 3.综合问题 基础过关 1 2 3、4 6、8 10、11 能力达标 思维创新 7 6 、9 12 错题难题 7 9 12 错因分析 事件总数计算错误 题意理解解释不清 审题不清,不会解答

夯实基础
1. 在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3, 4,5 的五个小球,这些小球除标注的数 字外完全相同,现从中随机取出 2 个小 球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是___________.

数字有 3 种结果,基本事件总数为 3×3=9. 设“甲、乙心心心相印”为事件 A,则 A 有 以下 7 种可能: (1,1) , (1,2) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,2) , (3,3)故概率为

7 9

【答案】

3 . 10

注意:也可以用第 4 课时的对立事件做,解 答如下: A 的对立事件 B 为 “|a-b|>1” , 即|a-b|=2,包含 2 个基本事件, P(B)=

【点拨】 基本事件总数为 10,两球数字之
和为 3 或 6 包含的基本事件数为 3,故所求 概率 P ( A) ?

2 2 7 ,P(A)=1- = . 9 9 9

3 . 10
3

2. 如下图,把一个体积为 64cm 的正方体木 块表面涂上红漆,然后锯成体积为 1cm 的 小正方体,从中任取一块,求这一块至少有 一面涂有红漆的概率..
3

4.为了解某校高中学生的近视眼发病率,在该 校学生分层抽样调查,高一、高二、高三分 别有学生 800 名,600 名,500 名.若高三学 生共抽取 25 名,则高一年级每位学生被抽 到的概率为______. 【答案】

1 . 20

【点拨 】在分层抽样中,任何个体被抽取 的概率均相等, 故高一年级学生被抽到的概 率 P ( A) ?

【答案】

7 . 8

25 1 ? . 500 20

【点拨】表面未涂红漆的小木块有
(4 ? 2)3 个,故至少一面涂有红漆的木块有
64-8=56 块,故所求概率 P ( A) ?

5.从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构 成一个两位数,则这个两位数大于 40 的概率 为_____. 【答案】

56 7 ? . 64 8

2 5

3.甲乙二人玩数字游戏, 先由甲任想一数字, 8 2 记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜 P( A) ? ? . 出的数字记为 b,且 a,b∈{1,2,3},若 20 5 |a-b|≤1,则称甲乙“心心相印” ,现任意找两 6.同时抛掷三枚均匀的硬币 ,出现一枚正面,两 个人玩这个游戏,则他们“心心相印犀”的 枚反面的概率是__________. 3 概率为____.

【点拨 】基本事件总数为 20,两位数大于 40 包含的基本事件数为 8,故所求概率为

7 【答案】 9

【答案】

8

【点拨】抛掷三枚硬币出现的结果可能是
(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),
15

【点拨】甲想一数字有 3 种结果,乙猜一

(反,正,正),(正,反,反),(反,正,反), (反,反,正),(反,反,反)共 8 种情况,其中一 枚正面,两枚反面的情况有 3 种,故所求概率 为 P( A) ?

3 . 8

综合提升
7.从编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 的 10 个形状、大小相同的球中,任取 2 个 球, 则这 2 个球编号之和为奇数的概率是__.

调查部门对某校 6 名学生进行问卷调查.6 人得分情况如下: 5,6,7,8,9,10. 把这 6 名学生的得分看成一个总体. (1)求该总体的平均数; (2)用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽 取 2 名,他们的得分组成一个样本.求该样本 平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率 【答案】

.

【答案】

5 . 9
45, “2 个球编

7 . 15

【点拨】基本事件总数为

【点拨】总体平均数为

号之和为奇数”包含的基本事件(必须为奇 数+偶数)共有 25 个,故所求概率为

1 (5+6+7+8+9+10)=7.5. 6
(2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均 数之差的绝对值不超过 0.5” .从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: (5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10), (6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9), (7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共 15 个基本 事件.事件 A 包含的基本事件有: (5,9),(5,10),(6,8),(6,9),(6,10), (7,8),(7,9),共有 7 个基本结果.

P( A) ?

25 5 ? . 45 9

8.若连续投掷两枚骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标(m,n) ,则点 P 落在圆

x2 ? y 2 ? 16 内的概率为_______.
【答案】

2 9

7 【点拨】解答本题可分 x=1,x=2,x=3 三类, 所以所求的概率为 P ( A) ? . 找基本事件个数.总共有 36 种情况,当 x=1 15 时,符合题意的 y 有 3 种情况;当 x=2 时, 11.随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学, 符合题意的 y 有 3 种情况;当 x=3 时,符合 测量他们的身高(单位:cm),获得身高数 题意的 y 有 2 种情况. 据的茎叶图 3?3? 2 2 如左图. ? . 所以 P ( A) ? (1) 根 据茎 叶 36 9 9. 在平面直角坐标系中 , 从五个点 :A(0,0) 、 图判断哪个 B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三 班的平均身 个,这三点能构成三角形的概率是 高较高; ________.(结果用分数表示) (2) 现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名 身高不低于 173 cm 的同学, 求身高为 176 cm 【答案】从五个点中任取 3 个点有 10 种不 同的取法,其中 A、C、E 和 B、C、D 共线,故 的同学被抽中的概率. 能构成三角形 10-2=8 个,所求概率为 【答案】(1)由茎叶图可知:甲班身高集中 8 4 于 160~179 之间, 而乙班身高集中于 170~ P( A) ? ? . 179 之间.因此乙班平均身高高于甲班; 10 5 (2)设身高为 176 cm 的同学被抽中的事件 【点拨】考查必然事件的定义,因为 15 个 同类产品中只有 3 个次品, 故从中任取 4 个 为 A, 从乙班 10 名同学中抽取两名身高不低 产品,一定至少含有一个正品. 于 173 cm 的同学有: (181,173) 、 10.为了了解某项法规在学生中的普及情况, (181,176) 、 (181,178) 、 (181,179) 、
16

(179,173) 、 (179,176) 、 (179,178) 、 (178,173) 、 (178,176) 、 (176,173)共 10 个基本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件: (181,176) 、 (179,176) 、 (178,176) 、 (176,173)? P( A) ?

的基本事件共有 8 ? 8 ? 8 ? 8 种,
3

因此 P( A) ?

4 2 ? . 10 5

83 64 ? ? 0.512 . 3 10 125

【点拨 】先由茎叶图确定两班学生的身高 及分布特点再依据题意回答问题求概率.. 12.现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正 品,2 件为次品. (1)如果从中取出一件,然后放回,再取 一件,求连续 3 次取出的都是正品的概率; (2)如果从中一次取 3 件,求 3 件都是正 品的概率. 【答案】 (1)有放回地抽取 3 次,按抽取 顺序(x,y,z)记录结果,则 x,y,z 都有 10 种 可能,所以基本事件总数为

(2)可以看作不放回抽样 3 次,顺序不同, 基本事件不同,按抽取顺序记录(x,y,z), 则 x 有 10 种可能,y 有 9 种可能,z 有 8 种 可能,所以基本事件总数为 10×9×8=720 种.设事件 B 为“3 件都是正品” , 则事件 B 包含的基本事件总数为 8×7×6, 所以 P ( B ) ?

336 7 ? 720 15

【点拨 】解答本题关键在于审题过程中, 判断事件是否与顺序有关, 然后选择适当的 数学模型(有序数组等)表示基本事件,最 后计算求出概率

10 ?10 ?10 ? 10 种;
3

.

设事件 A 为“连续 3 次都取正品” ,则包含 .

17


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