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河北省唐山一中2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


唐山一中 2015—2016 学年度第二学期期中考试 高二年级 理科数学试卷

说明: 1.考试时间 90 分钟,满分 100 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ答案答 在答题纸上。 3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占后5位。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,计 6

0 分。在每小题给出的四个选项中,只有一个 选项符合题意) 1.已知 i 是虚数单位,若 z1 ? 2 ? i , z 2 ? 1 ? i ,则 z ? z1 ? z2 在复平面内的对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.设随机变量 ? 的概率分布列为 P (? ? k ) ? a ( ) ,其中 k ? 0,1,2 ,那么 a 的值为
k

A.

3 5

B.

27 13

C.

9 19

1 3 9 D. 13

3.化简 ( x ?1)4 ? 4( x ?1)3 ? 6( x ?1)2 ? 4( x ?1) 所得结果为 A. x
4

B. x ? 1
4

C. ( x ? 1) 4 ? 1

D. ( x ? 1) 4 ? 1

4.已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图,则函数 y ? ln f ?( x) 的单调减区间为 A. [0,3) B. [?2,3] C. (??,?2) D. [3,??) y O3 -2
3 则 x ? x0 是函数 f ( x ) 的极值点, 因为函数 f ( x) ? x f ?( x0 ) ? 0 ,

5.有一段“三段论” ,其推理是这样的“对于可导函数 f ( x ) ,若

x

满足 f ?(0) ? 0 ,所以 x ? 0 是函数 f ( x) ? x3 的极值点” ,以上推理( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.没有错误

6.若二项式 ( x ? ) 的展开式中二项式系数和为 64,那么该展开式中的常数项为
n

1 x

A. -20

B.-30

C.15

D.20

2 7.已知点 P 是曲线 x ? y ? ln x ? 0 上的点,则点 P 到直线 y ? x ? 2 的最小距离为

1

A.1

B.

3 2

C.

5 2

D.

2

8.甲、乙等 4 名实习生到某医院的内科、外科、口腔科 3 个科室进行实习,每个科室至 少分配 1 名,且甲不能去口腔科,则不同的分配方案种数为 A.54 B.36 C.24 D.18

9.函数 ( x ln x)? ? ln x ? 1 ,那么 A.1 B. e

?

e

1

lnxdx =
D. e ? 1

C. e ? 1

10.一排共有 9 个座位,现有 3 人就坐,若他们每两人都不能相邻,每人左右都有空座, 而且至多有两个空座,则不同坐法共有 A.18 B.24 C.36 D.48 ,则 g(x)=f(x)-lnx 的零点个数为 ( )

11.若函数 f(x) ? ? A.1 B.2

?x ? 1
2

x ?1
C.3

?x ? 4x ? 3 x ? 1

D.4

12.已知函数 y ? f ( x) ( x ? R )导函数为 f ?( x ) , f (0) ? 2 ,且 f ( x) ? f ?( x) ? 1 ,则 不等式 e x f ( x) ? e x ? 1 的解集为 A. {x | x ? 0} B. {x | x ? 0} C. {x | x ? ?1 或 0 ? x ? 1} D. {x | x ? ?1 或 x ? 1}

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ) 13.若 z1 ? a ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,且
2

z1 为纯虚数,则实数 a 的值为_________. z2

14 . 已 知 随 机 变 量 X 服 从 两 点 分 布 , 且 P( X ? 1) ? 0.6 , 设 ? ? 3 X ? 2 , 那 么

P(? ? ?2) ? _________.
BD AB ? ,将命题 CD AC 类比空间: 在三棱锥 A ? BCD 中, 平面 BCE 平分二面角 B ? AD ? C 且与对棱 BC 交于 E
15.在 ?ABC 中, AD 平分 ? A 的内角且与对边 BC 交于 D 点,则 点,则可得到的正确命题结论为__________. 16 .已知函数 f ( x) ? cos( 3x ? ? ) ,其中 ? ? (0, ? ) ,若 f ( x) ? f ?( x) 为奇函数,则

? ? _______.
2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? (1 ? 2x)(1 ? x)6 的导函数 f ?( x) ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? a6 x6 (I)求 a3 (II)求 a0 ?

1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? 6 a6 3 3 3

18.(本题满分 12 分)如图,类似于中国结的一种刺绣图案,这些图案由小正方形构成, 其数目越多,图案越美丽,若按照前 4 个图中小正方形的摆放规律,设第 n 个图案所包含 的小正方形个数记为 f ( n) ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ (4)





◆ ◆ ◆ ◆ (2)

◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ (3)

(1)

(I)利用合情推理的“归纳推理思想” ,归纳出 f (n ? 1) 与 f ( n) 的关系,并通过你所得到 的关系式,求出 f ( n) 的表达式;

(II)计算:

1 1 1 1 1 ? ? ? , , f (1) f (2) ? 1 f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ?? 的值,猜想 f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f (4) ? 1 f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 ? 1 的结果,并用数学归纳法证明. f ( n) ? 1

3

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax2 ? 1 的定义域为 R ,其导函数为 f ?( x ) (I)若 f ( x) 在 (0,??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (II) 若 a ? 1 , 曲 线 y ? f ( x) 在 x ? 0 处 的 切 线 为 直 线 l , 求 直 线 l 与 函 数

g ( x) ? f ?( x) ? 2 x 及直线 x ? 0 、 x ? 1 围成的封闭区域的面积.

20.(本题满分 12 分) 一口袋中有 5 只球,标号分别为 1,2,3,4,5 (I)如果从袋中同时取出 3 只,以 ? 表示取出的三只球的最小号码,求 ? 的分布列; (II)如果从袋中取出 1 只,记录号码后放回袋中,再取 1 只,记录号码后放回袋中,这样 重复三次,以? 表示三次中取出的球的最小号码,求? 的分布列.

21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x sin x ? cos x (I)若 x ? [ ?

, ] ,求函数 f ( x) 的最大值与最小; 2 2 ? ? cos x ? b 恒成立,求实数 a , b 的取值范围. (II)若 x ? ( , ) ,且 a ? 3 2 x

? ?

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 ? bx ? ln x . a

(I)若 a ? b ? 1 ,求 f ( x) 的极值; (II)若 b ? ?1 ,函数 f ( x ) 有且只有一个零点,求实数 a 的取值范围.

4

高二数学(理)参考答案 一.选择题 DDBCA ADCBC BA

二.填空题 13.1, 14.0.4, 15.

? BE S? AB D , 16. ? 6 CE S?ACD

17.解析:(I) f ?( x) ? ?2(1 ? x)6 ? 6(1 ? 2x)(1 ? x)5 ? 4(1 ? 3x)(1 ? x)6
2 3 因而 a3 ? 4C6 ? (?3) ? 4C6 ? ?100;

(II)由已知可得: a0 ?

1 1 1 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? 6 a6 ? f ( ) ? 0 . 3 3 3 3

18.解析:(I) f (n ? 1) ? f (n) ? 4n , f (n) ? 2n 2 ? 2n ? 1 (II)

1 1 1 1 3 1 ,证明略 ? ? ? ?? ? ? f (1) f (2) ? 1 f (3) ? 1 f ( n) ? 1 2 2 n

19.解析:(I) 由已知,则 f ?( x) ? e x ? 2ax ? 0 在 (0,??) 上恒成立, 即 2a ?

ex ex xe x ? e x 在 (0,??) 上恒成立,设 h( x) ? ,则 h?( x) ? , x x x2

由 h?( x) ?

xex ? e x ? 0 得 x ? 1 ,∴ 当 x ? (0,1) 时 h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, x2
e ; 2

当 x ? (1,??) 时 h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增,则 h( x) 最小值为 h(1) ? e ,从而 a ?

(II) a ? 1 时, f ?( x) ? e x ? 2 x , f ?(0) ? 1, f (0) ? 2 ,因而切线 l 方程为 y ? x ? 2

g ( x) ? f ?( x) ? 2x ? e x , g ( x) 在 (0,??) 上单调递增, g (1) ? e ? 3 ,
从而所求封闭图形面积为 [( x ? 2) ? g ( x)]dx ?( x ? 2 x ? e ) |0 ?
2 x 1 0

?

1

1 2

7 ?e. 2

20.解析: (I)由已知随机变量 ? 的可能取值为 1,2,3,

P(? ? 1) ?

2 2 C32 3 C4 3 C2 1 , , ? P ( ? ? 2 ) ? ? P ( ? ? 3 ) ? ? 3 3 3 C5 5 C5 10 C5 10

因而 ? 的概率分布列为
5

?

1

2

3

0.6 0.3 0.1 P (II)由已知随机变量? 的可能取值为 1,2,3,4,5,
1 3 1 3 C3 ? 42 ? C32 ? 4 ? C3 61 C3 ? 32 ? C32 ? 3 ? C3 37 P(? ? 1) ? ? ? , P(? ? 2) ? , 3 3 5 125 5 125 1 3 1 3 C3 ? 22 ? C32 ? 2 ? C3 C3 ?12 ? C32 ?1 ? C3 19 7 ? P ( ? ? 4 ) ? ? , 3 3 5 125 5 125

P(? ? 3) ?
P(? ? 5) ?

1 125

因而的概率分布列为

?

1

2

3

4

5

P

61 125

37 125

19 125

7 125

1 125

21.解析,(Ⅰ)由已知 f ?( x) ? x cos x ,当 x ? ( ? 减,当 x ? (0,

?
2

,0) 时 f ?( x) ? 0 ,因而 f ( x) 单调递

?
2

) 时 f ?( x) ? 0 ,因而 f ( x) 单调递增,则 f ( x) 的最小值为 f (0) ? 1 , )?

? ; 2 2 2 2 cos x ? x sin x ? cos x (Ⅱ)设 g ( x ) ? ,则 g ?( x) ? , x x2 ? ? 由(I),当 x ? ( , ) 时 x sin x ? cos x ? 0 ,因而 g ?( x) ? 0 , 3 2 cos x ? ? ? ? 因而 g ( x ) ? 在 x ? ( , ) 上单调递减,因而 g ( ) ? g ( x) ? g ( ) , x 3 2 2 3 3 cos x 3 ? b 恒成立,则 a ? 0, b ? 即 0 ? g ( x) ? ,那么 a ? . 2? x 2?
又 f ( ) ? f (? ,因而 f ( x ) 的最大值为 22.解析: (I) a ? b ? 1 时, f ( x) ? x2 ? x ? ln x ,其中 x ? 0 则 f ?( x) ? 2 x ? x ?

?

?

?

1 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? =0 得 x ? 2 x x

当0 ? x ?

1 1 时 f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,当 x ? 时 f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增, 2 2

6

因而 f ( x ) 的极小值为 f ( ) ?

1 2

3 ? ln 2 ; 4

(II)若 f ( x ) 有且只有一个零点,即方程 根

x2 ? x ? ln x ? 0 在 (0,??) 上有且只有一个实数 a

1 1 ln x 1 ln x 1 ? x ? 2 ln x ? ? 2 ,设 h( x) ? ? 2 ,则 h?( x) ? , a x x x x x3 2 又设 ? ( x) ? 1 ? x ? 2ln x , ? ?( x ) ? ?1 ? ? 0 ,而 ? (1) ? 0 x
分离参数得 因而当 x ? (0,1) 时 ? ( x) ? ? (1) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时 ? ( x) ? ? (1) ? 0 , 那么当 x ? (0,1) 时 h?( x) ? 0 , h( x) 单调递增, 当 x ? (1,??) 时 h?( x) ? 0 , h( x) 单调递减, h( x)max ? h(1) ? 1, 又 x ? (0, ??) 恒有 h( x) ? 0 ,且 x ? ?? 时 h( x) ? 0 ,

1 h( ) ? e ? e 2 ? 0 ,且 x ? 0 时 h( x) ? ?? , e 1 1 从而 ? 0 与 ? 1 ,即 a ? 0 或 a ? 1 时函数 f ( x ) 有且只有一个零点. a a

7


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