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第一课时 数列和第二课时等差数列知识点与练习


第一课时
知识要点
一、 数列的概念

数列

1.数列是按一定顺序排列的一列数,记作 a1 , a2 , a3 ?an ,?, 简记 2. 数列

?an ? .

?an ?的第 n 项 an 与项数 n 的关系若用一个公式 an ?
?

则这个公式叫做这个数列的通项公式。 f (n) 给出,

3.数列可以看做定义域为 N (或其子集)的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值,它的图 像是一群孤立的点。 二、数列的表示方法 数列的表示方法有:列举法、图示法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示) 。 三、 数列的分类 1. 按照数列的项数分:有穷数列、无穷数列。 2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分:有界数列、无界数列。 3. 从函数角度考虑分:递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。 四、数列通项 an 与前 n 项和 S n 的关系 1. S n

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? ? ai
i ?1

n

2. a n

? S1 ?? ?S n ? S n ?1

n ?1 n?2

课前热身
1.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式为 ( C A. an )

? n 2 ? (n ? 1) B. an ? n 2 ? 1

C. a n ? D

n(n ? 1) 2


D. a n ?

n(n ? 1) 2

,34,55,? 中, x 的值为( 2.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21
A.10 3.数列 B.11 C.12 D.13

?an ?的通项公式为

an ? 3n 2 ? 28n ,则数列各项中最小项是(
C.第6项 D.第7项

B

)

A.第4项 4.已知数列

B.第5项

?an ?是递增数列,其通项公式为 an ? n 2 ? ?n ,则实数 ? 的取值范围是 (?3,??)
?2 ?2n ? 5 n ?1 n?2

5.数列

?an ?的前 n 项和 S n ? n 2 ? 4n ? 1,,则 an ? ? ?

1

答案:1.C

2.D

3.B

4. (?3,??)

5. an

? ?2 ?? ?2n ? 5

n ?1 n?2

典例精析
题型一 归纳、猜想法求数列通项 【例 1】根据下列数列的前几项,分别写出它们的一个通项公式 ⑴7,77,777,7777,? ⑵

2 4 6 8 ,? , ,? , ? 3 15 35 63 7 7 7 7 ? (10 ? 1), (10 2 ? 1), (10 3 ? 1) , ?, (10 n ? 1) 9 9 9 9
n ?1

⑶1,3,3,5,5,7,7,9,9? 解析:⑴将数列变形为

⑵分开观察, 正负号由 (?1)

3? 5 , 5 ? 7 , ?, (2n ? 1) ? (2n ? 1) , 确定, 分子是偶数 2 n , 分母是 1 ? 3 ,

故数列的通项公式可写成 a n

? (?1) n ?1

2n (2n ? 1)(2n ? 1)

⑶将已知数列变为 1+0 , 2+1 , 3+0 , 4+1 , 5+0 , 6+1 , 7+0 , 8+1 , 9+0 ,?。可得数列的通项公式为

1 ? (?1) n an ? n ? 2
点拨:联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法,观察归纳是由特殊到一般的有效手段,本例的求 解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项数的一般规律,从而求得通项。 题型二 应用 a n

? S1 ?? ?S n ? S n?1

(n ? 1) (n ? 2)

求数列通项

例 2.已知数列 ⑴ Sn

?an ?的前 n 项和 S n ,分别求其通项公式.

? 3n ? 2
1 ( a n ? 2) 2 8 ( a n ? 0)

⑵ Sn ?

解析:⑴当 n ? 1 时, a1 当 n ? 2时, an

? S1 ? 31 ? 2 ? 1 ,

? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 2) ? (3n?1 ? 2)
? 2 ? 3n ?1

又 a1

? 1 ? 1 不适合上式,故 an ? ? n ?1 ?2 ? 3

(n ? 1) (n ? 2)

2

1 2 (2) 当n ? 1时, a1 ? S1 ? (a1 ? 2) , 解得 a1 ? 2 8
所以 (an 所以 (an 又 an

当n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 1 1 ? (a n ? 2) 2 ? (a n ?1 ? 2) 2 8 8

? 2) 2 ? (an?1 ? 2) 2 ? 0
? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0

? 0, 所以an ? an?1 ? 4 ,可知 ?an ? 为等差数列,公差为 4 ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2

所以 an

a1 ? 2 也适合上式,故 an ? 4n ? 2

点拨:本例的关键是应用 an

? S1 ?? ?S n ? S n?1

(n ? 1) 求数列的通项,特别要注意验证 a1 的值是否满足 (n ? 2)

" n ? 2" 的一般性通项公式。
三、利用递推关系求数列的通项 【例 3】根据下列各个数列 ⑴ a1 ? (2) a1

?an ?的首项和递推关系,求其通项公式
1 4n ? 1
2

1 , 2

a n ?1 ? a n ?

? 1,

an ? 0, (n ? 1)an?1 ? nan ? an ? an?1 ? 0 ,
a n ?1 ? 1 an ? 1 2 1
2

2

2

⑶ a1 ? 1,

解析:⑴因为 a n ?1 ? a n ?

4n ? 1 1 1 1 1 a n ?1 ? a n ? 2 ? ( ? ) 4n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 所以 a 2 ? a1 ? ( ? ) 2 1 3 1 1 1 a3 ? a 2 ? ( ? ) 2 3 5 1 1 1 a4 ? a3 ? ( ? ) 2 5 7
?,?,

,所以

an ? an ?1 ?

1 1 1 ( ? ) 2 2n ? 3 2n ? 1

以上 (n ? 1) 个式相加得

a n ? a1 ?

1 1 (1 ? ) 2 2n ? 1
3

即: a n ? 1 ?

1 4n ? 3 ? 4n ? 2 4n ? 2
2

⑵由 (n ? 1)an?1

? an ? an?1 ? n ? an ? 0

2

有?(n ? 1)an?1 ? nan ?(an?1 ? an ) ? 0 ? an ? 0, ? an?1 ? an ? 0
an?1 n ? an n ?1

? (n ? 1)an?1 ? nan ? 0即 :
? an ?
?

an an ?1 ? an ?1 an ?2

a2 ? a1 a1
1 1 ? ?1 ? 2 n

n ?1 n ? 2 ? ? n n ?1 1 ? an ? n
⑶方法一、 设a n ?1 ? m ?

1 ( a n ? m) 2 1 1 1 ? an ?1 ? an ? m, 又 an ?1 ? an ? 1 2 2 2 1 1 ? 令 ? m ? 1,? m ? ?2, 于是an ?1 ? an ? 1 2 2
可化为

a n ?1 ? 2 ?

1 ( a n ? 2) 2

1 ? a n ? 2 ? (a1 ? 2) ? ( ) n ?1 2
? an ? 2 ? 1 2 n ?1

1 an ? 1 2 1 1 1 ? a n ? a n ?1 ? 1 ? ( a n ? 2 ? 1) ? 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ( ) 2 an ? 2 ? ? 1 ? ( ) 2 ( an ?3 ? 1) ? ? 1 2 2 2 2 2 1 1 1 ? ( )3 ? an ?3 ? ( ) 2 ? ? 1 2 2 2
方法二:∵ a n ?1 ?

=?

1 1 1 ? ( ) n ?1 a1 ? ( ) n ? 2 ? ? ? 1 2 2 2 1 1 ? ( ) n ?1 1 n ?1 1 1 2 ?( ) ? ? ( )n ?1 ? 2 ? 2 ? ( )n ?1 1 2 2 2 1? 2
4

1 1 ? 2 ? ( ) n ?1 ? 2 ? n ?1 2 2 1 1 a n ? 2 ? a n ?1 ? 1 方法三:? a n ?1 ? a n ? 1, 2 2 1 两式相减,a n ? 2 ?an ?1 ? (an ?1 ? an ) 2 1 1 ? an ?1 ? an ? (a2 ? a1 ) ? ( ) n ?1 ? ( ) n 2 2 1 1 即:a2 ? a1 ? , a3 ? a2 ? ( ) 2 , 2 2 n ? 1 1 an ? an ?1 ? ( ) 2 1 1 1 相加得:an ? a1 ? ? ( ) 2 ? ? ( ) n ?1 2 2 2

1? 1 ? 1 ? ( ) n ?1 ? ? 1 2 2 ? ? ? ? 1 ? ( ) n ?1 1 2 1? 2

? an ? 2 ?

1 2n ?1
若 ? an ? f (n), 求 an 用累加法,

点拨: 在递推关系中若 an?1

a n ?1 若 an?1 ? pan ? q , ? f (n), 求 an 用累乘法, an

求 an 用待定系数法或迭代法。

数学门诊
已知 S n 是数列 列

?an ? 的前 n 项和,且满足 Sn 2 ? 3n 2 an ? S n?12 ,其中 an ? 0, n ? 2,3,4?,又 a1 ? 2 ,求数

?an ?的通项公式。
2

错解:当 n ? 2 时,由已知得 S n 又 an

? S n?1 ? 3n 2 an,

2

? S n ? S n?1 ? 0 ,所以 S n ? S n?1 ? 3n 2

于是 S n?2

? S n?1 ? 3(n ? 1) 2 两式相减得,

S n?1 ? S n?1 ? 6n ? 3 ,即 an?1 ? an ? 6n ? 3
于是 an? 2 所以

? an?1 ? 6n ? 9 所以两式相减得 an?2 ? an ? 6

a1 , a3 , a5 ,? 成 等 差 数 列 , 公 差 为 6 , a2 , a4 , a6 ,?, 也 成 等 差 数 列 , 公 差 为 6 , 从 而
5

a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ,? 成等差数列,公差为 6,
所以, an

? 2 ? (n ? 1) ? 6 ? 6n ? 4
2 2 ? S n?1 ? 3n 2 an, 又 an ? S n ? S n?1 ? 0 ,

正解:当 n ? 2 时,由已知得 S n 所以 S n

? S n?1 ? 3n 2

于是 S n?1 于是 an? 2 又 a3

? S n ? 3(n ? 1) 2 ,两式相减得: S n?1 ? S n?1 ? 6n ? 3 ,即 an?1 ? an ? 6n ? 3
? an?1 ? 6n ? 9 ,所以 an?2 ? an ? 6 ,又 S 2 ? S1 ? 12,所以a2 ? 8

? a2 ? 15,所以 a3 ? 7

则 n ? 2k 时

an ? a2k ? a2 ? (k ? 1) ? 6 ? 6k ? 2
? 6? n ? 2 ? 3n ? 2 2

n ? 2k ? 1时,an ? a2k ?1 ? a3 ? (k ? 1 ) ?6

? 6k ? 1 ? 6 ? ? 3n ? 2
? 2 ? a n ? ?3n ? 2 ?3n ? 2 ?

n ?1 ?1 2

(n ? 1 ) (n为偶数) (n为大于1的奇数)

总结提高
1. 给出数列的前几项求通项时,常用特征分析法与化归法,所求通项不唯一 2. 由 S n 求 an 时,要分 n =1 和 n ? 2 两种情况 3. 数列是一种特殊函数,因此通过研究数列的函数性质(单调性)来解决数列中的“最大项”与“和最 小”等问题十分有效。 4. 给出 S n 与 an 的递推关系,要求 an ,常用思路是:一是利用 S n

? S n?1 ? an ( n ? 2 )转化为 an 的

递推关系,再求其通项公式;二是转化为 S n 的递推关系,先求出 S n 与 n 之间的关系,再求 an 。

课堂演练
1. 若数列 A. a n

?an ?的前 n 项的 S n
B. a n

?

3 a n ? 3 ,那么这个数列的通项公式为( 2
C. an



? 2 ? 3n?1

? 3 ? 2n

? 3n ? 3

D. an

? 2 ? 3n
6

解: n =1 时, a1 ? S1 ?

3 a1 ? 3 a1 =6 2 3 3 " n ? 2" 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( a n ? 3) ? ( a n ?1 ? 3) 2 2

? a n ? 3a n ?1 ? a n ? a1 ? 3 n ?1 ? 2 ? 3 n
2.已知数列

?an ?满足 a1 ? 0 , a n?1 ?
B. ?

an ? 3 3a n ? 1
D.

(n? N ) ,则 a 20

?

?(



A. 0

3

C.

3

3 2

解: a1

? 0 , a2 ?
? 3? 3 3 ? (? 3 ) ? 1
0? 3 3 ? 0 ?1

0? 3 3 ? 0 ?1

? ? 3,

a3 ?

? 3 , a4 ? 0 ,

a5 ?

? ? 3 ,?, 所以

a n ?3 ? a n a 20 ? a3?6? 2 ? a 2 ? ? 3
3.定义一种运算“﹡” ,对于 n ? N 满足以下运算性质:1 ? 1 =1, (n ? 1) ? 1 ? 3(n ? 1) ,则, n ? 1 用含 n 的代数式表示为: 4. 设
?

a1 , a2 ,?, a50 从 ? 1,0,1 这 三 个 整 数 中 取 值 的 数 列 , 若 a1 ? a2 ? ? ? a50 ? 9 且

(a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? ? ? (a50 ? 1) 2 ? 107 则 a1 , a2 ,?, a50 中有 0 的个数为
解 : 设 有

n



0







(a1 ? 1) 2 ? (a2 ? 1) 2 ? ? ? (a50 ? 1) 2 ? 1 0 有 7

(a12 ? a22 ? ?a12 ? a22 ?

? a502 ) +2( a1 ? a2 +?+ a50 +50=107, ? a502 ? 39 .

所以在 a1 , a2 ,?, a50 中有 39 个 1 或-1, 所以在 a1 , a2 ,?, a50 有 11 个 0 。 5.已知数列

?an ?满足 a1 ? 1,

an ? 3n?1 ? an?1 , (n ? 2) ,
7

⑴ 求a2 和a3

⑵证明: a n 解:(1)∵ a1

?

3n ? 1 2

? 1, ∴ a2 ? 3 ? a1 ? 4
? an?1 ? 3n?1 有

a3 ? 32 ? a2 ? 13.

⑵证明:由已知 an

an ? (an ? an?1) ? (an?1 ? an?2) ?? ? (a2 ? a1) ? a1
6.已知数列

? 3 n ?1 ? 3 n ?2 ? ? ? 3 ? 1 ?

3n ? 1 2

?an ?中, a n

? (n ? 2) ( ?

9 n ) 试问 n 10

取何值时, an 取最大值?并求此最大值.

解:因为

a n?1 an

9 n ?1 (n ? 3) ( ? ) 9 n?3 10 ? ? ? 9 n 10 n ? 2 (n ? 2) ( ? ) 10

当且仅当 n ? 7 时,

a n?1 ?1,即a8 ? a7 an

所以当 n ? 7 时

a n ?1 ,即 >1 an

an?1 ? an 即 a7 ? a6 ? a5 ? ? ? a1
当 n ? 8 时,

a n?1 ? 1 an ? an?1 an

即 a8

? a9 ? a10 ? ?

故当 n ? 7 或 8 时, an 最大,

(a n ) max ? a7 ? a8 ?

98 107

6.2 等差数列
知识要点
1. 等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的差 都等于同一个常数,这个数列就叫等差数列,这个常 数叫等差数列的公差,用 d 表示。 2.递推关系与通项公式

递推关系:a n ?1 ? a n ? d 通项公式:a n ? a1 ? (n ? 1)d 推广:a n ? a m ? (n ? m)d 变式:a1 ? a n ? (n ? 1)d ; a n ? a1 n ?1 an ? am d? n?m d?
8

由此联想到点 (n, an ) 所在直线的斜率。

an?1 ? an ? d (常数)(n ? N ?) ? ?an ? 是等
差数列 ②中项法:

特征:an ? dn ? (a1 ? d ), 即:an ? f (n) ? kn ? m , (k , m为常数)
an ? kn ? m,(k , m为常数) 是数列 ?an ? 成
等差数列的充要条件。 3.等差中项: 若 a, b, c 成等差数列, 则 b 称 a与c 的等差中项, 且b ?

2an?1 ? an ? an?2
列 ③通项公式法:

(n ? N ? ) ? ?an ? 是等差数

an ? kn ? b


(k , b为常数) ? ?an ? 是等差数

a?c ; a, b, c 成等差数列是 2b ? a ? c 的充 2

④前 n 项和公式法:

要条件。 4.前 n 项和公式

S n ? An2 ? Bn
差数列 课前热身: 1.等差数列

( A, B为常数) ? ?an ? 是等

(a ? a n )n n(n ? 1)d Sn ? 1 ; S n ? na1 ? 2 2
变式:

?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39,

a1 ? a n S n a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2 n n d d ? a1 ? (n ? 1) ? a n ? (n ? 1) ? (? ); 2 2 S a n ? 2 n ?1 2n ? 1
特征:S n ? d 2 d n ? (a1 ? )n, 2 2 2 即S n ? f (n) ? An ? Bn S n ? An ? Bn
2

a2 ? a5 ? a8 ? 33, 则a3 ? a6 ? a9 ? ( B )
A.30 2.等差数列 B.27 C.24 D.21

?an ? 中,

a 4 ? a 6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120, 1 则a9 ? a11的值为( C ) 3
A.14 B.15 C.16 D.17

( A, B为常数)

是数列

?an ?成等差数列的充要条件。 ?an ?的基本性质 (其中m, n, p, q ? N ? )
p ? q,则am ? an ? a p ? aq 反

1 1 解 a 9 ? a11 ? a 9 ? (a 9 ? 2d ) 3 3 2 2 2 120 ? ( a 9 ? d ) ? a8 ? ? ? 16 3 3 3 5
3. 等差数列 若 当 a1,d 变化时, ?an ? 的前 n 项和为 S n ,

5. 等差数列

⑴ 若m ? n ? 之,不成立。 ⑵ an

a2 ? a8 ? a11 是一个定值,那么下列各数中也
A )

是定值的是(

? am ? (n ? m)d ? an?m ? an? m ? S n , S3n ? S 2n 仍成等差数列。

A.S13 B.S 20
解:

B.S15 C.S8

⑶ 2an

⑷ S n , S 2n

a 2 ? a8 ? a11 ? 3(a1 ? 6d ) ? 3 3 ? 2a7 ? (a1 ? a13 ) 2 2
9

6.判断或证明一个数列是等差数列的方法: ①定义法:

为定值,∴ a1

? a13 为定值,

? S13 ?

(a1 ? a13 ) ? 13 ,选 A 2

?1? 1 2 S n ? a n ( S n ? ) ①求证: ? ? 是等差数列, 2 ? Sn ?
②设 bn ?

4.计算机执行以下程序: ⑴初始值 x ? 3,S ? 0 ⑵x ? x?2 ⑶S ? S ? x ⑷ S ? 2010 ,则进行⑸,否则从⑵继续进行 ⑸打印 x ⑹停止 那么,语句⑸打印出的数值为 89 解:由题意知,程序每执行一次所得 x 的值形成一个 数列

Sn ,求 ? bn ? 的前 n 项和 Tn 2n ? 1

解:⑴:①证明: n =1 时, a1 当 n ? 2 时,

? S1 ? ?8 ,

a n ? S n ? S n ?1 ? n 2 ? 9n ? (n ? 1) 2 ? 9(n ? 1) ? 2n ? 10
也适合该式,∴ an ② Tn 的表达式为:

?

?

?xn ? 是等差数列,且首项为 5,公差为 2,相
n(n ? 1) ? 2 ? 2010 解得 n ? 43 2

? 2n ? 10 ( n ? N ? )

应 S 的值 S n 恰为该数列的前 n 项和,根据题意得:

n ? 5时,a n ? 0, n ? 6时,a n ? 0 ?当n ? 5时,Tn ? ? S n ? 9n ? n 2 当n ? 6时, Tn ? a1 ? a 2 ? ? ? a5 ? a 6 ? ? ? a n ? ?a1 ? a 2 ? ? ? a5 ? a 6 ? a 7 ? ? ? a n ? S n ? 2S 5 ? n 2 ? 9n ? 2 ? (?20) ? n 2 ? 9n ? 40

S ? 5n ?
所以 x43

? 5 ? (43 ? 1) ? 2 ? 89

5. 设 Sn , Tn 分别为等差数列

?an ?与 ?bn ?的前 n





a n 4n ? 2 S 14 ? ,则 19 ? 5 bn 2n ? 5 T19

解:

(a1 ? a19 ) ? 19 S19 a ? a19 2 ? ? 1 (b1 ? b19 ) ? 19 b1 ? b19 T19 2 2a a 4 ? 10 ? 2 14 ? 10 ? 10 ? ? 2b10 b10 2 ? 10 ? 5 5
典例精析 一、等差数列的判定与基本运算 例 1:⑴已知数列 ①求证:

? 9n ? n 2 ? Tn ? ? 2 ?n ? 9n ? 40
⑵: ①证明:当 n ? 2 时,

(n ? 5) (n ? 6)

1 1 2 S n ? a n ( S n ? ) ? ( S n ? S n ?1 )( S n ? ) 2 2

所以S n ? S n ?1 ?

1 ( S n ?1 ? S n ) 2

?an ?前 n 项和 Sn ? n

2

? 9n
的前 n 项 所以 ?



1 1 ? ?2 S n S n ?1

?an ?为等差数列;②记数列 ?an ?
Tn 的表达式。

和为 Tn ,求 ⑵数列

?1? 1 2 为公差的等差数列。 ? 是以 ? 1 为首项, S S 1 ? n?

②:由①得

?an ? 中, S n 是前 n 项和,当 n ? 2 时,
10

1 1 ? ? (n ? 1) ? d ? 1 ? (n ? 1) ? 2 S n S1 ? 2n ? 1
所以 S n ? 所以

?S14 ? 77 ? 由? a11 ? 0 ? a ?6 ? 1

?2a1 ? 13d ? 11 ? 有? a1 ? 10d ? 0 ? a1 ? 6 ?
1 ○ 2 ○ 3 ○

1 2n ? 1

bn ?

Sn 1 ? 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 ? ( ? ) 2 2n ? 1 2n ? 1

? 2a1 ? 13d ? 11 ? 即?? 2a1 ? 20d ? 0 ? ? 2a ? ?12 1 ?

,即 d ? ? 由①+②得 ? 7 d ? 1 ?

1 11 d?? 13 7

11 1 ? d ? ? ,又 d ? Z, 7 13

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn 1? 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 2? 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 ? ? 1 1 n ? (1 ? )? 2 2n ? 1 2n ? 1 ?
点拨:根据定义法判断数列为等差数列,灵活运用求 和公式。 二、公式的应用 例 2:设等差数列 前 n 项和为 S n ①若 a11 ②若 a1 数列 求数列 ?an ? 的通项公式 ? 0,S14 ? 98,

10 ? a1 ? 12,a1 ? Z
所以 a1 =11 或 a1 =12 故所有可能的数

?an ? 的通项公式是:

an ? 12 ? n和an ? 13 ? n ( n ? N ? )
点拨: 准确灵活运用等差数列的通项公式及前 n 项 和公式,提高运算能力。 三、性质的应用 例 3:已知等差数列

?an ?的首项 a1 及公差 d 都为整数,

?an ? 中,公差 d >0

前 n 项和为

S n ,且满足: a2 a3 ? 45 ,a1 ? a4 ? 14 ,
①求数列的通项公式; ②设 bn ?

? 6,a11 ? 0,S14 ? 77 ,求所有可能的

?an ?的通项公式

Sn ,一个新数列 ? bn ? ,若 ?bn ? 也 n?c

解:①

是等差数列,求非零常数 c ; ③求 值 解:

由S14 ? 98,得2a1 ? 13d ? 14 又a11 ? a1 ? 10d ? 0 解得d ? ?2,a1 ? 20
所以数列

f ( n) ?

bn ? ( n ? N )的最大 (n ? 25)bn ?1

?an ?的通项公式是:
(n ? N ? )

?an ?为等差数列,? a1 ? a4 ? a2 ? a3 =14
又a2 ? a3 ? 45 ,由d ? 0,a2 ? a3

an ? 22 ? 2n


? a2 ? 5,a3 ? 9, ? d ? 4,a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1)4 ? 4n ? 3
∴数列

?an ?的通项公式为 an ? 4n ? 3
11

②由①知:

n(n ? 1) ? 4 ? 2n 2 ? n 2 S 2n 2 ? n 所以bn ? n ? n?c n?c 1 6 15 所以b1 ? ,b2 ? ,b3 ? 1? c 2?c 3?c S n ? n ?1 ?
因为

S n ,已知 3a5 ? 8a12 ? 0 ,试问 n 为何值时, S n 取
得最大值?并证明你的结论。 错解:因为 3a5

? 8a12 ? 0 ,
56 d ?0 5

所以3a5 ? 8(a5 ? 7 d ),a5 ? ? 所以d ? 0,,所以a1 ? ?
可知

?bn ? 为等差数列,所以 b1,b2,b3 成等差数

76 d ?0 5

列,所以

2b2 ? b1 ? b3 12 1 15 ? ? 2 ? c 1? c 3 ? c 1 所以c ? ? ,c ? 0 (舍去) 2 所以
故所求非零常数 c ? ? ,且 bn ? 2n

?an ?是首项为正数的递减数列。

1 2



f ( n) ?

bn 的最大值: (n ? 25)bn ?1
bn (n ? 25)bn ?1

? ? 76 (n ? 1 )d ?0 ? a ? 0 ?? d ? ? 由? n 即? 5 76 ?a n ?1 ? 0, ? ? d ? nd ? 0 ? 5 ? ? 76 81 ? ? n ? ,又n ? N ? 5 5 ? n ? 16,所以S16 最大.
正解: 当n ? 16 时,a16

? 0,a17 ? 0

n ? N ?,f (n) ? ?

所以a1 ? a 2 ? ? ? a16 ? 0 ? a17 ? a18 ? ? 而b15 ? a15 ? a16 ? a17 ? 0,b16 ? a16 ? a17 ? a18 ? 0 所以S14 ? S13 ? ? ? S1,S14 ? S15,S15 ? S16 6 9 又a15 ? ? d ? 0,a18 ? d ? 0, 5 5 且a15 ? a18 所以 b15 ? b16,即b15 ? b16 ? 0, ? S16 ? S14 故S n中S16 最大。
总结提高 1. 在熟练应用基本公式的同时, 还要会用变通的公 如在等差数列中, am 式,

2n n ? 2 (n ? 25) ? 2(n ? 1) n ? 26n ? 25 1 1 ? ? 25 36 n? ? 26 n 25 1 n?5 n? f (n) max ? n 36
点拨:①利用等差数列的“等和性”求出 a2 , a3 , 从而求出 a1,d 及通项公式; ②先求出 bn 的表达式, 再由 关于 c 的方程,解出 c ③可利用函数思想,求出 f ( n) 的最大值。 数学门诊 若数列

?bn ?是等差数列列出

? an ? (m ? n)d

2. 在五个量 a1,d,n,an,S n 中的三个量可求出其 余两个量,要求选用公式要恰当,即善于减少运算量, 达到快速、准确的目的。 33.已知三个或四个数成等差数列这类问题,要善于设元, 目的仍在于减少运算量,如三个数成等差数列时,除 了

?an ?是等差数列,数列 ?bn ?满足

,?bn ? 的前 n 项和为 bn ? an ? an?1 ? an?2 ( n ? N ? )

a,a ? d,a ? 2d 外 , 还 可 设 a ? d,a,a ? d ;四个数成等差数列时,可设为 a ? 3m,a ? m,a+m,a ? 3m

12

4 .在求解数列问题时,要注意函数思想,方程思想, 消元及整体消元的方法的应用。 课堂演练 1.设

S10 ? 100,前 10 项的和为 S100 ? 10
?100? 10 ? 又S110 10 ? 9 ? D ? 10, ? D ? ?22 2 ? S100 ? S10 ? 10D

S n 是 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 若

S3 1 S ? ,则 6 ? ( A ) S6 3 S12
A.

? S110 ? 100 ? 10 ? 10( ? ? 22 ) ? ?110
5.某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕

3 10

B.

1 3

C.

1 8

D.

1 9

捞, 第一年需要各种费用 12 万元, 从第二年起包括 维修费在内每年所需费用比上一年增加 4 万元,该 船每年捕捞总收入 50 万元, 问捕捞几年后总盈利最 大,最大是多少? 解:设捕捞 n 年后的总盈利为万元,则

S 3a1 ? 3d 1 解: 3 ? ? S 6 6a1 ? 15d 3
? a1 ? 2d且d ? 0

?

S6 6a1 ? 15d 27d 3 ? ? ? S12 12a1 ? 66d 90d 10

n(n ? 1) ? ? y ? 50n ? 98 ? ?12n ? ? 4? 2 ? ? 2 ? ?2n ? 40n ? 98 ? ?2(n ? 10) 2 ? 102


2.在等差数列

?an ?中 a1 ? 2,a2 ? a3 ? 13,

所以当n ? 10时,y max ? 102
答:捕捞 10 年后总盈利最大,最大是 102 万 元。 6.设等差数列

a4 ? a5 ? a6 等于( B )
A.40 解: a2 B.42 C.43 D.45

?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知

? a3 ? 2a1 ? 3d ? 4 ? 3d ? 13

a3 ? 12,S12 ? 0,S13 ? 0
①求出公差 d 的范围, ②指出 S1,S 2, ?,S12 中哪一个值最大,并说 10 明理由。

? d ? 3,a5 ? 2 ? 4 ? 3 ? 14 a4 ? a5 ? a6 ? 3a5 ? 42
3 .等差数列

?an ? 中, a1 ? 0,S9 ? S12 ,则前
? S12,S12 ? S9 ? 0

或 11 项的和最大。 解:? S 9

d an ? f (n) n an S n ?an ? " n ? 2"
解:① S12

? 6(a1 ? a12 ) ? 6(a3 ? a10 )

? a10 ? a11 ? a12 ? 0, ? 3a11 ? 0, ? a11 ? 0,又a1 ? 0


? 6(2a3 ? 7d ) ? 0 ? 24 ? 7d ? 0 又S13 ? ?d ? ? 24 7

?an ?为递减等差数列∴ S10 ? S11 为最大。 ?an ?的前 10 项和为 100,前 100 项和

4.已知等差数列

为 10,则前 110 项和为-110 解:∵

S10,S 20 ? S10,S30 ? S 20, ?,S110 ? S100, ?
成等差数列,公差为 D 其首项为

13(a1 ? a13 ) 13 ? (a3 ? a11 ) 2 2 13 ? (2a3 ? 8d ) ? 0 2 ? 24 ? 8d ? 0 ? d ? ?3 24 从而 ? ? d ? ?3 7

13

? S12 ? 6(a6 ? a7 ) ? 0 S13 ? 13a7 ? 0 ? a7 ? 0,a6 ? 0
课外练习 一、 选择题 1. 已知

? 2( S 6 ? S 3 ) ? S 3 ? S 9 ? S 6 S3 ? 9 S 6 ? S 3 ? 27 选B
等 差 数 列

? S 6 最大。

? S 9 ? S 6 ? 2( S 6 ? S 3 ) ? S 3 ? 54 ? 9 ? 45
4. 已 10 知

?an ? 数列是等差数列, a10 ? 10 ,其前

?an ?





项的和 S10 ? 70 ,则其公差 d 等于( D )

a7 ? a9 ?? 16,a4 ? 1 ,则a12 等于( A )
A.15 B.30 C.31 D.64

A. ? 1 C. 3

2 3

B. ?

1 3 2 D. 3

解: ? a7 ? a9 ? a4 ? a12 ? a12 ? 15
二、填空题 5. 设

2. 已知等差数列

?an ? 的前 n 项和为 S n ,等差数列

S n 为 等 差 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 ,

S 4 ? 14,S10 ? S 7 ? 30,则S9 =54
6. 已 知 等 差 数 列

的前 n 项和为 Tn ,且

S n 3n ? 39 ? Tn n?5
A.2 个 解: B.3 个

a (n ? N ? ) ,则使 n 为整数的所 bn
C ) D.5 个 C.4 个

?an ? 的 前 n 项 和 为 S n

,若

S12 ? 21 ,则a2 ? a5 ? a8 ? a11 ?
7. 设 F 是椭圆

有 n 的值的个数有(

an = bn
2a n a1 ? a 2 n ?1 S 2 n ?1 ? ? 2bn b1 ? b2 n ?1 T2 n ?1 3( 2n ? 1) ? 39 6n ? 36 ? ? 2n ? 1 ? 5 2n ? 4 12 ? 3? n?2

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,且椭圆上至 7 6

少有 21 个不同点

Pi (i ? 1,2,?)使 P1 F , P2 F , P3 F ,?
组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取值范围为

? 1 ? ? 1? ? , 0 ? ? ? 0, ? ? 10 ? ? 10? ?
解:椭圆的焦点 F 到椭圆上的点最大、最小距离分别 为( ,由题意得: 7 ? 1)和( 7 ? 1 )

要使

an 为整数只需 12 能被 n +2 整除, bn

故 n =1,2,4,10,选 C 3. 设等差数列

( 7 ?1 ) ? (n ? 1) d ? 7 ? 1 2 ? n ? 1 ? 20 n ?1 1 ? d ? ,又d ? 0 10 1 1 ? ? ? d ? 0或0 ? d ? 10 10 ?d ?
三、解答题

?an ?的前 n 项和为 S n ,若

S3 ? 9,S 6 ? 36,则a7 ? a8 ? a9 等于( B )
A.63 解: S 3,S 6 B.45 C.36 D.27

? S3,S 9 ? S 6 成等差数列

14

8. 等 差 数 列

?an ? 的 前 n 项 和 记 为 S n

,已知

②求数列

?an ? 的通项公式
? 1 ? ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在实 ? a n a n?1 ?
? M 对一切正整数 n 都成立?若存

a10 ? 30,a20 ? 50
①求通项 an ;②若 S n =242,求 n 解: an

③设数列 ?

? a1 ? (n ? 1)d

数 M ,使得 Tn

在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由。 解:①∵ S n ?

a10 ? 30,a 20 ? 50 ? a ? 9d ? 30 解方程组? 1 ?a1 ? 19d ? 50 ?a ? 12 ?? 1 ? a n ? 2n ? 10 ?d ?2
由 S n ? na1 ?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

? S n ?1 ? ? a n ?1 ?

1 (n ? 2)(a n ?1 ? 1) ? 1 2 ? S n ?1 ? S n

n(n ? 1)d , S n =242 2

1 ?(n ? 2)(a n?1 ? 1) ? (n ? 1)(a n ? 1)? 2 整理得,nan ?1 ? (n ? 1)a n ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? (n ? 2)a n ?1 ? 1 ? (n ? 1)a n ? 2 ? nan ?1 ? (n ? 2)a n ?1 ? (n ? 1)a n

?12n ?

n(n ? 1) ? 2 ? 242 2 解得n ? 11或n ? ?22(舍去)

? 2(n ? 1)an?1 ? (n ? 1)(an? 2 ? an ) ? 2an?1 ? an? 2 ? an
∴数列 ② a1

9. 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运 动,甲第一分钟走 2 m ,以后每分钟比前一分钟多 走 1 m ,乙每分钟走 5 m ,①甲、乙开始运动后几 分钟相遇?②如果甲乙到对方起点后立即折返,甲 继续每分钟比前一分钟多走 1 m ,乙继续每分钟走 5 m ,那么,开始运动几分钟后第二次相遇? 解:①设 n 分钟后第一次相遇,依题意有:

?an ? 为等差数列。

? 3,nan?1 ? (n ? 1)an ? 1

? a 2 ? 2a1 ? 1 ? 5 ? a 2 ? a1 ? 2

n(n ? 1) ? 5n ? 70 2 解得n ? 7,n ? ?20(舍去) 2n ?
故第一次相遇是在开始运动后 7 分钟。 ②设 n 分钟后第二次相遇,则:

?an ?的公差为2 即等差数列
? 2n ? 1

? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 3 ? (n ? 1) ? 2
1 1 ? an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3)

③?

n(n ? 1) ? 5n ? 3 ? 70 2 解得n ? 15,n ? ?28(舍去) 2n ?
故第二次相遇是在开始运动后 15 分钟 10 . 已 知 数 列

?an ?

中 ,

a1 ? 3,前 n 和

Sn ?

1 (n ? 1)( a n ? 1) ? 1 2

①求证:数列

?an ?是等差数列

1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 1 1 1 1 1 1 1 ? Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 1 1 1 ? ( ? ) 2 3 2n ? 3 1 又当n ? N ?时,Tn ? 6 ?
要使得 Tn

? M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M ≥
15

1 ,所以存在实数 M 使得 Tn ? M 对一切正整数 n 6
都成立, M 的最小值为

1 。 6

16


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