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重庆市第八中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


数学 第 一、选择题 项 是符合题目要求的. 令. 已知集合 A = ? x | A. {1, 2,3, 4} 大题共 令以 个小题, 卷



试题

共 6代 ,共 6代 .在 小题 出的四个选项中,只有一

小题 5

? ?

x ?1 ? ≤ 0 ? ,集合 B = {1, 2,3, 4} ,则 A I B = ( x?4 ?
B. {2,3} C. {1, 2,3} D. {2,3, 4}

以. 复数 z 满足 zi ? 1 = i ,则 z 为 ( A. 1 ? i B. 1 + i
x

C. ?1 + i

D. ?1 ? i

3. 根据 e 2 = 7.39, e3 = 20.08 ,判定方程 e ? x ? 6 = 0 的一个根所在的区间为( A. ( ?1, 0 ) B. ( 0,1) C. (1, 2 ) D. ( 2,3)

4. 已知 a > 0 ,且 a ≠ 1 , 列函数中,在其定义域内是单调函数而且又是奇函数的是 A. y = sin ax
x ?x C. y = a ? a

B. y = log a x D. y = tan ax

2

5. 已知命题 p : x + y = ?2 ,命题 q : x, y 都是 ?1 ,则 p 是 q 的 A.充 必要条件 B.必要 充 条件 D.即 充 也 必要条件

C.充要条件 6. 各项为 的等比数列 {an } 中, a4

a14 的等比中项为 2 2 ,则 log 2 a7 + log 2 a11 的值为

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

7. 执行如图所示的程序框图, 则输出的结果是

-1-

A. 17

B. 16

C. 15

D. 14

8. 某几何体的 视图如图所示, 则该几何体的体 为

A.

47 6

B.

15 2

C.

23 3

D. 6

9. 送快递的人可能在早 的时间在早 A. 12.5 0 0

6 : 30 ? 7 : 30 之间把快递送到张老师家 , 张老师离开家去工作

7 : 00 ? 8 : 00 之间, 则张老师离开家前能得到快递的概率为
B. 50 0 0 C. 75 0 0 D. 87.5 0 0
2

x2 y2 令代. 双曲线 2 ? 2 = 1 的渐 线方程 圆 x ? 3 a b

(

)

2

+ ( y ? 1) = 1 相 , 则 双曲线的离心

率为 A. 5 B. 2 C. 3 D. 2

令令. 设函数 f ( x ) = x sin x ,若 x1 , x2 ∈ ? ? A. x1 > x2 B. x1 + x2 > 0

? π π? ,且 f ( x1 ) > f ( x2 ) , 则 , ? 2 2? ?
C. x1 < x2 D. x1 > x2
2 2

令以. 已知 f ( x ) 是定义在 R 意的 x, y ∈ R , 范围是

的增函数, 函数 y = f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0 ) 对

, 若对任

等式 f x 2 ? 6 x + 21 + f y 2 ? 8 y < 0 恒成立,当 x > 3 时, x 2 + y 2 的取值

(

)

(

)

-2-

A. ( 3, 7 ) 第 、填空题 题5

B. ( 9, 25 ) 卷 共 9代 以代

C. (13, 49 )

D. ( 9, 49 )

,满

,将答案填在答题纸 . .

令3. 2, 4, 4, 6, 6, 6,8,8,8,8 这 10 个数的标准差为 令4. 已知 f ( x ) = 4 ? 2
x x +1

? 3 ,则 f ( x ) < 0 的解集为

令5. 已知四棱锥 P ? ABCD 的 5 个顶点都在球 O 的球面 , 若 面 ABCD 为距 形, AB = 4, BC = 4 3 , 且四棱锥 P ? ABCD 体 的最大值为 64 3 ,则球 O 的表面 为 .

令6. 已知函数 f ( x ) = ?

? ? x ,x≤m
2 ? ? x ? 2mx + 4m, x > m

,其中 m > 0 ,若 在实数 b ,使得关于 x 的方程

f ( x) = b 有 个
、解答题 令7. 小题满

的零点, 则 m 的取值范围是 大题共 6 小题,共 7代 令以 .解答
3

. 说明、证明过程或演算 骤.

写出文

已知函数 f ( x ) = 2 x ? 3 ? a +

? ?

1? 2 ? x + 6 x + 1 ,其中 a > 0 . a?

令 若函数 f ( x ) 没有极值, 求实数 a 的值 以 若函数 f ( x ) 在区间 ( 2,3) 令8. 小题满 令以 以代令6 单调递 , 求实数 a 的取值范围. 热内卢举行, 体育频道为了解某地 的观众有 表(时

夏季奥 会将在巴西

区关于奥 会直播的收视情况, 随机抽取了 100

观众进行调查, 其中 40 岁

55


,

面是根据调查结果 制的观众准备 均 天收看奥 会直播时间的频率 钟)

组 频率 将

[ 0, 20 )
0.1

[ 20, 40 )
0.18

[ 40, 60 )
0.22

[ 60,80 )
0.25
钟的观众

[80,100 ) [100,120 )
0.2 0.05

天准备收看奥 会直播的时间 低于 80

为 奥 迷 , 已知 奥 迷 中

有 10

40 岁

的观众. 的把握认为 奥

令 根据已知条件完成 面的 2 × 2 列联表, 并据 资料你是否有 95 0 0

-3-



龄有关?



奥 迷

奥 迷

合计

40 岁 40 岁
合计 以 将 天准备收看奥 会直播 低于 100 迷 中有 2 钟的观众 为 超 奥 迷 , 已知 超 奥

40 岁
的概率. 附

的观众, 若从 超 奥 迷 中任意选取 2 人,

求至少有 1

40 岁

的观众

n ( ad ? bc ) K = ( a + b )( a + d )( a + c )( b + d )
2 2

P(K2 ≥ k) k
令9. 小题满 令以

0.05 3.841
如图,

0.01 6.635
棱锥 P ? ABC 中, PA ⊥ 面

ABC , PA = AB = 1, BC = 3, AC = 2 .
令 求证

BC ⊥

面 PAB

以 若 AE ⊥ PB 于点 E , AF ⊥ PC 于点 F ,求四棱锥 A ? BCFE 的体 .

以代.

小题满

令以

已知椭圆的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴

, 椭圆 、 顶点

焦点所组成的四边形为 方形, 四个顶点围成的图形面 为 2 2 . 令 求椭圆的方程 以 直线 l 过点 P ( 0, 2 ) 且 椭圆相交于 A 、B 两点, 当 ?AOB 面 取得最大值时, 求直线 l
-4-

的方程. 以令. 小题满 令以 已知函数 f ( x ) = e , g ( x ) = sin x .
ax

令 若直线 y = f ( x ) 在

y = g ( x ) 在 x = 0 处的 线 行, 求 a , 并讨论 y = f ( x ) + g ( x )

( ?1, +∞ )

的单调性

以 若对任意 x ∈ ? 0, 请考生在 以以、以3、以4 以以. 小题满 令代

? ?

π?

?x? ? ,都有 f ? ? g ( x ) > kx ,求 k 的取值范围. 2? ?a?
题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 . 选修 4-令 几何证明选讲

如图, 四边形 ABCD 中, AB = AC = AD, AH ⊥ CD 于 H , BD 交 AH 于 P ,且

PC ⊥ BC .
令 求证

A 、 B 、 C 、 P 四点共圆

以 若 ∠CAD =

π
3

, AB = 1 ,求四边形 ABCP 的面 .

以3.

小题满

令代

选修 4-4 坐标系 参数方程

在直角坐标系 xOy 中, 直线 l 的参数方程为

? π ? x = 2 + t cos α (t 为参数, 其中 0 < α < ) , ? 2 ? ? y = 3 + t sin α

椭圆 M 的参数方程为 ?

? x = 2 cos β 2 ( β 为参数), 圆 C 的标准方程为 ( x ? 1) + y 2 = 1 . ? y = sin β

令 写出椭圆 M 的普通方程 以 若直线 l 为圆 C 的 以4. 小题满 令代 线, 且交椭圆 M 于 A, B 两点, 求弦 AB 的长. 选修 4-5 等式选讲

已知函数 f ( x ) = x ? 2 + x ? a . 令 当 a = 2 时, 求 等式 f ( x ) ≥ 4 的解集

-5-



等式 f ( x ) < 4 的解集中的整数有且仅有 1, 2,3 ,求实数 a 的取值范围.



第八中学 以代令5-以代令6 学



学期期

考试数学



试题参考答案 一、选择题 令-5.CBDCB 、填空题 令3. 2 、解答题 令7.解 令 小题 5 ,共 6代 令令-令以.DC

6-令代.BBDDB 小题 5 ,共 以代 令5.

令4. { x | x < log 2 3}

1600π 9

令6. {m | m > 3}

1? 1 ? f ' ( x ) = 6 x 2 ? 6 ? a + ? x + 6 = 6 ( x ? a ) ( x ? ) ,由条件, 只需 a? a ?
2

1 ?? 1 2 ? ? ?6 ? a + a ? ? ? 4 × 6 × 6 ≤ 0 ,即 (a + a ) ≤ 0 ,所 ?? ? ?

a=

1 ,因为 a > 0 ,从而 a = 1 . a

令8. 解 表如

令 由频率

表可知, 在轴取的 100 人中,

奥 迷 有 25 人, 从完成 2 × 2 列联



奥 迷

奥 迷

合计

40 岁 40 岁
合计

30 45 75

15 10 25

45 55 100

-6-

K =
2

100 × ( 30 × 10 ? 45 ×15 ) 75 × 25 × 45 × 55

2

=

100 ≈ 3.030 . 33
的把握认为 奥 迷 龄有关. 件空间

因为 3.030 < 3.841 ,所 没有 95 0 0 以 由频率 为 表可知,

超 奥 迷 有 5 人, 从而所有可能结果所组成的基

? = {( a1 , a2 ) , ( a1 , a3 ) , ( a2 , a3 ) , ( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a3 , b1 ) , ( a3 , b2 ) , ( b1 , b2 )}
其中 ai 表示男性, i = 1, 2,3, bi 表示女性, i = 1, 2 . ? 由 10 个基 用 A 表示 件 任意选 2 人, 至少有 1 件组成, 且是等可能的,

40 岁

观众

, 则

A = {( a1 , b1 ) , ( a1 , b2 ) , ( a2 , b1 ) , ( a2 , b2 ) , ( a3 , b1 ) , ( a3 , b2 ) , ( b1 , b2 )} ,即 件 A 包含 7 个基
件, 所 令9. 解

P ( A) =

7 . 10
面 ABC , BC ? 面 ABC ,∴ PA ⊥ BC , ?ABC

令 Q PA ⊥

中, AB = 1, BC =

3, AC = 2,∴ AB 2 + BC 2 = AC 2 , AB ⊥ BC ,Q PA 、 AB 是 面 PAB
面 PAB .

的两条相交直线,∴ BC ⊥

以 由 BC ⊥

面 PAB , BC ?

面 PBC ,∴

面 PBC ⊥

面 PAB ,交线为

PB ,Q AE ⊥ PB 于点 E ,∴ AE ⊥ F ,∴ PC ⊥
面 AEF ,Q EF ? 面

面 PAB ,从而 AE ⊥ EF , AE ⊥ PC .又 AF ⊥ PC 于点

AEF ,∴ PC ⊥ EF ,直角 ?PBC 中, PB = 2, PF =
2

5 . 又 ?PFE 相似于 5

?PBC ,∴

S?PFE ? PF ? 1 9 9 6 =? ,所 , 四棱锥 A ? BCFE 的 ? = ,从而 S BCFE = S ?PBC = S ?PBC ? PB ? 10 10 20



1 1 2 9 6 3 3 V = ?AE ?S BCFE = ? ? = . 3 3 2 20 20
-7-

以代. 解 设椭圆方程为

x2 y2 + = 1( a > b ) . 令 由已知得 b = c ,且 2ab = 2 2 ,又由 a 2 b2 x2 + y2 = 1. 2

b 2 + c 2 = a 2 ,解得 a 2 = 2, b 2 = c 2 = 1 ,所 椭圆方程为

以 由题意知直线 l 的斜率 在, 设直线 l 的方程为 y = kx + 2, A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,由

? y = kx + 2 ? 2 ,消去 y 得关于 x 的方程 ?x 2 + = 1 y ? ?2 B 两点,

(1 + 2k ) x
2

2

+ 8kx + 6 = 0 ,由直线 l

椭圆相交于 A 、

8k ? x1 + x2 = ? ? 3 ? 1 + 2k 2 ∴? > 0 ? 64k 2 ? 24 (1 + 2k 2 ) > 0 ,解得 k 2 > ,又由韦达定理得 ? , 2 ? x ?x = 6 ? 1 2 1 + 2k 2 ?

∴ AB = 1 + k 2 x1 ? x2 = 1 + k 2
原点 O 到直线 l 的距离 d =

( x1 + x2 )
,所

2

? 4 x1 x2 =

1+ k 2 16k 2 ? 24 . 1 + 2k 2

2 1+ k 2

S?ABC =

1 16k 2 ? 24 2 2 ? 2k 2 ? 3 = , AB ?d = 2 1 + 2k 2 1 + 2k 2

m = 2k 2 ? 3 ( m > 0 ) ,则 2k 2 = m 2 + 3 ,∴ S =

2 2m 2 2 2 4 = ≤ ,当且仅当 m = , 2 m +4 m+ 4 2 m m

即 m = 2 时, S max = 以令. 解

2 , 2
ax

时k = ±

14 ,所 , 所求直线方程为 ± 14 x ? 2 y + 4 = 0 . 2
ax

令 由 f ( x ) = e ,知 f ' ( x ) = ae ,曲线 y = f ( x ) 在 x = 0 处的 线斜率为

f ' ( 0 ) = a .由 g ( x ) = sin x 知 g ' ( x ) = cos x ,曲线 y = g ( x ) 在 x = 0 处的 线为 g ' ( 0 ) = 1 ,
因为曲线 y = f ( x )

y = g ( x ) 在 x = 0 处的 线相互 行, 所

a = 1 , y ' = f ' ( x ) + g ' ( x ) = e x + cos x ,当 x = 0 时, y ' = f ' ( 0 ) + g ' ( 0 ) = 2 > 0 . 当

x ∈ ( ?1, 0 ) 时, e x ∈ ( 0,1) ,cos x ∈ ( 0,1) , 从而 y ' = f ' ( x ) + g ' ( x ) = e x + cos x > 0



x ∈ ( 0, +∞ ) 时, e x ∈ ( 0, +∞ ) , cos x ∈ [ ?1,1] , 从而 y ' = f ' ( x ) + g ' ( x ) = e x + cos x > 0 ,故

-8-

y = f ( x ) + g ( x ) 在 ( ?1, +∞ )
以 记 h ( x) = f ?

单调递增.

?x? x ? g ( x ) ? kx = e sin x ? kx ,原问题即求 k 的取值范围, 使 h ( x ) > 0 对 a ? ?

? π? x ∈ ? 0, ? 恒成立, h ' ( x ) = e x ( sin x + cos x ) ? k ,又记 ? ( x ) = e x ( sin x + cos x ) ,则当 ? 2? ? π? ? π? x ∈ ? 0, ? 时, ? ' ( x ) = 2e x cos x > 0 ,所 ? ( x ) 在 ? 0, ? ? 2? ? 2?
π ?π ? ? ( 0 ) < ? ( x ) < ? ? ? ,即1 < ? ( x ) < e 2 . 2

单调递增, 从而

?

?

若 k ≤ 1 ,则 h ' ( x ) > 0, x ∈ ? 0,

? π? ? π? ? ,从而 h ( x ) 在 ? 0, ? ? 2? ? 2?

单调递增, 所

h ( x ) > h ( 0 ) = 0 . 时,
π

等式成立.

若 k ≥ e 2 ,则 h ' ( x ) < 0, x ∈ ? 0, 时, 等式 恒成立.
π

? π? ? ,从而 h ( x ) 在 ( 0,1) ? 2?

单调递

, 所

h ( x ) < h ( 0) = 0 .

若 1 < k ≤ e 2 ,则 在唯一的 x0 ∈ ? 0,

? π? x0 ? ,使得 h ' ( x0 ) = 0 ,即 e ( sin x0 + cos x0 ) = k , ? 2?

h ( x0 ) = e x0 sin x0 ? kx0 = e x0 sin x0 ? x0 e x0 ( sin x0 + cos x0 ) = e x0 ? ?sin x0 + x0 ( sin x0 + cos x0 ) ? ?

因为 x0 ∈ ? 0, 从而

? π? ? ,所 ? 2?

0 < sin x0 < x0 且 cos x0 > 0 ,

sin x0 ? x0 ( sin x0 + cos x0 ) < sin x0 ? sin x0 ( sin x0 + cos x0 ) = sin x0 ? ?1 ? ( sin x0 + cos x0 ) ? ? ? π ?? π? ? ? π? ? = sin x0 ?1 ? 2 sin ? x0 + ? ? ,又因为 x0 ∈ ? 0, ? ,所 1 < 2 sin ? x0 + ? ≤ 2 ,从而 4 ?? 4? ? ? 2? ? ? ? π ?? ? sin x0 ?1 ? 2 sin ? x0 + ? ? < 0 ,得 sin x0 ? x0 ( sin x0 + cos x0 ) < 0 又 e x0 > 0 , 4 ?? ? ?

-9-



h ( x0 ) = e x0 ? ?sin x0 ? x0 ( sin x0 + cos x0 ) ? ? < 0 , 等式 恒成立.
,当且仅当 k ≤ 1 时, 对任意 x ∈ ? 0,



? π? ? ,都有 g ( x ) > kxf ? 2?

? x? ?? ? . ? a?

以以. 解

令 证明 在 ?ACD 中, AC = AD, AH ⊥ CD,∴∠CAP = ∠DAP , 又

AC = AD, AP = AP , ∴?APC ? ?APD,∴∠PCA = ∠PDA .又 AB = AD,∴∠ABD = ∠ADB ∴∠ABD = ∠ACP,∴ A 、 B 、 C 、 P 四点共圆.
以 由 A 、 B 、 C 、 P 四点共圆,∴∠BAP =

π
2

, 而

角形 ACD 中易知

∠CAH =

π
6

∴∠BAC =

π
3

,∴?ABC 为

角形且 BP ⊥ AC ,且 BP =

2 3 ,∴ 四边形 3

ABCP 的面 S四边形ABCP = 1 3 BP ?AC = . 2 3 x2 + y 2 = 1. 4

以3. 解

令 椭圆 M 的普通方程为
2

以 将直线的参数方程 C 得 t + 2 cos α + 2 3 sin α t + 3 = 0 ,由直线 l 为圆 C 的

(

)

线可知

? = 0即

( 2 cos α + 2


3 sin α

)

2

? 4 × 3 = 0 解得 α =

π
6

,所 直线 l 的参数方程为

? 3 x = 2+ t ? ? 2 ,将 ? ?y = 3 + 1 t ? 2 ?

入椭圆 M 的普通方程得 7t + 24 3t + 48 = 0 ,设 A, B 对 的参数 别为 t1 , t2 ,所
2

t1 + t2 = ?
以4. 解

24 3 48 , t1t2 = ? , AB = t1 ? t2 = 7 7
令 由题知

( t1 + t2 )

2

? 4t1t2 =

8 6 . 7

x ? 2 + x ? 2 ≥ 4 的解集为 { x | x ≤ 0或x ≥ 4} .

以 由题意知 ?

? ? ? f ( 0) ≥ 4 ?2 + a ≥ 4 , 入得 ? 解得 a ≤ ?2 或 a = 2 或 a ≥ 6 ,又 4 ≥ 4 2 + 4 ? ≥ 4 f a ( ) ? ? ? ?

- 10 -

x?2 + x?a ≥ 2?a .
当 a ≤ ?2 时, 2 ? a ≥ 4 , 所

f ( x ) ≥ 4 恒成立, f ( x ) < 4 解集为空集,

合题意

当 a = 2 时, 由(令) 可知解集为 ( 0, 4 ) ,符合题意 当 a ≥ 2 时, 2 ? a ≥ 4 , 所 综 所述, 当 a = 2 时,

f ( x ) ≥ 4 恒成立, f ( x ) < 4 解集为空集,

合题意

等式 f ( x ) < 4 的解集中的整数有且仅有 1, 2,3 .

- 11 -


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