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等差等比数列知识点及基础题


一、等差等比数列基础知识点
一、知识归纳: (一) .概念与公式:①等差数列:1.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则 {an } 称等差数列; 2.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m? d ;② a1 ? a

n ? ? n ?1? d ;③
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2


d?

an ? a1 n ?1

;④ n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

3.前 n 项和公式:公式: S n ?

②等比数列:1.定义:若数列 {an }满足

an?1 , 则 {an } 称等比数列; 2.通项公式:an ? a1q n?1 ? ak q n?k ; ? q (常数) an
?

项公式的变形:① an

? amqn?m ;② a1 ? an q?? n?1? ;③ q n ?1

a n?m an ? n . ;④ q am a1

a1 ? an q a1 (1 ? q n ) 3.前 n 项和公式: S n ? ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q
(二) . 简 单 性 质 : ① 首 尾 项 性 质 : 设 数 列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an , 1. 若 {an } 是 等 差 数 列 , 则

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?;

2.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?.

②中项及性质:1.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ? 2.设 a,G,、b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 2. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质:1.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则
n 2n

a?b ; 2

1. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ;

? ak ,
k ?1 3n k

n

k ? n ?1

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列;

2. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则 这个结论不成立)

?a , ? a , ?a
k ?1 k k ? n ?1 k k ? 2 n ?1

组成公差为 qn 的等比数列.(注意:当 q=-1,n 为偶数时

⑤若 {an } 是等比数列,则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比为 q n 的等比数列.
* ⑥前 n 项和的性质:等差数列的前 n 项和的性质:1、若项数为 2n n ? ? ,则 S2n

2

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd



S奇 a ? n S偶 an?1

* .2、若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S2n?1 ? ? 2n ?1? an ,且 S奇 ? S偶 ? an ,

?

?

S奇 n (其中 S奇 ? nan , ? S偶 n ? 1

. S偶 ? ? n ?1? an )

* 等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

? q .② Sn?m

? Sn ? qn ? Sm .

③ Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2 n 成等比数列.
7 、数列最值 ○

等差数列:(1) a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最大值; a1 ? 0 , d ? 0 时, Sn 有最小值;

(2) Sn 最值的求法:①若已知 Sn ,可用二次函数最值的求法( n ? N ? ) ;②若已知 an ,则 Sn 最值时 n 的值( n ? N ? ) 可如下确定 ?

? an ? 0 ? an ? 0 或? 。 ? an ?1 ? 0 ? an ?1 ? 0

等比数列:(1)0<q<1 时,数列单调减,第一项最大(2)q>1 数列单调增,第一项最小。

等差数列练习题
一、选择 1.设 Sn 是数列{an}的前 n 项和,且 Sn=n2,则{an}是( ) A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列

2.设 ?an ? 是公差为正数的等差数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 15 , a1a2 a3 ? 80 ,则 a11 ? a12 ? a13 ? ( A. 120 B. 105 C. 90 D. 75 3.若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有( A.13 项 B.12 项 C.11 项 D.10 项 4.设数列{an}是递增等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( ) A.1 B.2 C.4 D.6 5.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若

) )

S3 1 S = ,则 6 =( ) S6 3 S12
C.

A.

3 10

B.

1 3

1 8

D.

1 9


6、设{an} (n∈N*)是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且 S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论错误 的是( .. A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6 与 S7 均为 Sn 的最大值 7、等差数列{an}的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和为( ) A.130 二、填空 B.170 C.210 D.260

8.在等差数列 ?an ? 中, a5 ? a13 ? 40 ,则 a8 ? a9 ? a10 ? ________。 9、 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项之和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于 10. 已知 ?an ? 是等差数列,且满足 am ? n, an ? m(m ? n) ,则 am? n 等于________。 11.已知数列 ? 。

?

11 13 1 ? ? 成等差数列,且 a3 ? ? , a5 ? ? ,则 a8 =________。 6 7 ? an ? 2 ?

三、解答题 12.求和: (1002 ? 992 ) ? (982 ? 972 ) ? ? ? (4 2 ? 32 ) ? (2 2 ? 12 )

13.已知 a, b, c 依次成等差数列,求证: a 2 ? bc, b 2 ? ac, c 2 ? ab 依次成等差数列.

14、已知数列 ?an ? 的前 n 项之和为① S n ? 2n 2 ? n 求数列 ?an ? 的通项公式。

② Sn ? n2 ? n ? 1

15. 已知

是一次函数,其图象过点

,又

成等差数列,求 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 的值.

16.设{an}为等差数列,Sn 为数列{an}的前 n 项和,已知 S7=7,S15=75,Tn 为数列{

Sn }的前 n 项和,求 Tn。 n

17.已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=100. (Ⅰ)求数列{bn}的通项 bn; (Ⅱ)设数列{an}的通项 an=lg(1+

1 1 ) ,记 Sn 是数列{an}的前 n 项和,试比较 Sn 与 lgbn+1 的大小,并证明你的结论。 bn 2
Sn a 7n ? 1 ? (n ? N ? ), 求 7 ; Tn 4n ? 27 b7

18、等差数列 ?an ? 、 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn、Tn.若

19、已知一个等差数列 ?an ? 的通项公式 an=25-5n,求数列 ? | an |? 的前 n 项和;

20、已知: an ? 1024? lg 21?n ( lg 2 ? 0.3010) n ? N ? 绝对值最小? 解: (1)

(1) 问前多少项之和为最

大?(2)前多少项之和的

?a n ? 1024? (1 ? n) lg 2 ? 0 1024 1024 ? ?n? ? 1 ? 3401? n ? 3403 ? lg 2 lg 2 a ? 1024 ? n lg 2 ? 0 ? n ?1
n(n ? 1) (? lg 2) ? 0 2

∴ n ? 3402

(2) S n ? 1024 n ?

当 S n ? 0或S n 近于 0 时其和绝对值最小

令: S n ? 0 得: n ?

即 1024+

n(n ? 1) ( ? lg 2) ? 0 2

2048 ? 1 ? 6804 .99 lg 2
∴ n ? 6805

∵ n ? N?

21 、 项 数 是 2 n 的 等 差 数 列 , 中 间 两 项 为 an 和an?1 是 方 程 x 2 ? px ? q ? 0 的 两 根 , 求 证 此 数 列 的 和 S 2 n 是 方 程

lg 2 x ? (lg n 2 ? lg p 2 ) lg x ? (lg n ? lg p) 2 ? 0 的根。 ( S 2n ? 0 )
证明:依题意 an ? an?1 ? p ∵ a1 ? a2n ? an ? an?1 ? p
2 2 2

∴ S 2n ?

2n(a1 ? a 2 n ) ? np 2
2 2

∵ lg x ? (lg n ? lg p ) lg x ? (lg n ? lg p) ? 0 ∴ (lg x ? lg np) ? 0

x ? np ? S 2n

等比数列练习题
一、选择 1、 已知数列 ?an ? 的前 n 项之和 Sn=aq ( a ? 0, q ? 1, q 为非零常数) ,则 ?an ? 为( ) 。
n

A.等差数列 B.等比数列 C.既不是等差数列,也不是等比数列
2、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列 (A)为常数数列 3、在等差数列 (A) an (B)为非零的常数数列

D.既是等差数列,又是等比数列
( ) (D)不存在 ( (D) an )

(C)存在且唯一

?an ?中, a1 ? 4 ,且 a1 , a5 , a13 成等比数列,则 ?an ?的通项公式为
? 3n ? 1
(B) an

? n?3

(C) an

? 3n ? 1或 an ? 4

? n ? 3 或 an ? 4
( )

4、已知 a, b, c 成等比数列,且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的等差中项,则

a c ? 的值为 x y

(A)

1 2

(B) ?

2

(C) 2

(D) 不确定

5、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, (A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列 6、已知 ( z ? x)
2

y 是 b,c 的等比中项,那么 x 2 , b 2 , y 2 三个数(



(B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列 ( )

? 4( x ? y)( y ? z) ,则

(A) x, y , z 成等差数列

(B) x, y , z 成等比数列

(C)

1 1 1 , , 成等差数列 x y z

(D)

1 1 1 , , 成等比数列 x y z

二、填空

7、各项都是正数的等比数列

?an ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q =
a2 ? a6 ? a18
=

8、已知等差数列

?an ?,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则 a1 ? a5 ? a17

9、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插入的这两个数的等比中项为

10 、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn,S10=10 ,S30=70,则 S40 等于________. 11、 求和:Sn=a+a +a +…+a ,则 Sn=________。 12 在等比数列 ?bn ? 中, b4 ? 3 ,求该数列前 7 项之积为________。 13.在等比数列 ?an ? ,已知 a1 ? 5 , a9 a10 ? 100,求 a18 ________。 = 三、解答题 14.在等比数列 ?an ? 中, a1a3 ? 36, a2 ? a4 ? 60, S n ? 400,求 n 的范围。
2 3 n

15 设 a, b, c, d 均为非零实数, a 2 ? b 2 d 2 ? 2b?a ? c?d ? b 2 ? c 2 ? 0 , 求证: a, b, c 成等比数列且公比为 d 。

?

?

16.已知数列{an}中,a1=?2 且 an+1=Sn,求 an ,Sn 。

17.是否存在数列{an},其前项和 Sn 组成的数列{Sn}也是等比数列,且公比相同?

18、数列

?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? ?an ? 的通项公式;
?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,求 Tn

(Ⅰ)求

(Ⅱ)等差数列


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