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2012—2013学年度上学期“五校联谊”期中考试理科数学试卷


2012—2013 学年度上学期“五校联谊”期中考试

高三数学(理)试卷
命题单位:克东一中 命题:谢宇 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题 目要求的)

1. 定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),x∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} , B={2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为 (A)0 (B)6 (C)12 (D)18 2.有四个关于三角函数的命题: x x 1 p1 : ? x ? R, sin 2 + cos 2 = 2 2 2

p2 : ? x、y? R, sin(x-y)=sinx-siny p4 : sinx=cosy ? x+y=

p3 : ? x ? ? 0, ? ? ,
其中假命题的是 (A) p1 , p4

1 ? cos 2 x =sinx 2

? 2

(B) p2 , p4

(3) p1 , p3

(4) p2 , p4

(0, 单调递增的函数是 3 下列函数中,既是偶函数又在 +?)

(A) y ? x3

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x 2 ? 1

(D) y ? 2? x

4. 已知 a>0,则 x0 满足关于 x 的方程 ax=b 的充要条件是 1 1 2 1 1 2 (A) ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 (B) ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 (C) ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 (D) ?x ? R, ax 2 ? bx ? ax0 ? bx0 2 2 2 2 3 sin ? 3 cos? 2 ? 5? ? 5.设函数 f ?x ? ? x ? x ? 4 x ? 1 ,其中 ? ? ?0, ? ,则导数 f ??? 1? 的取 3 2 ? 6?
值范围是( A. [3,6] ) B. [3,4 ? 3] C. [4 ? 3,6] D. [4 ? 3,4 ? 3] )

6、函数 y ? ln sin x(0 ? x ? ? ) 的大致图象是(

1

7.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x ) ? sin(? x ?

( A) (0, 2]

) 在 ( , ? ) 上单调递减。则 ? 的取值范围是( 2 4 1 3 1 1 5 (B) [ , ] (C ) (0, ] (D) [ , ] 2 2 4 2 4

?

?



2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所围成的封闭图形的面积为 x A. 4 ? 2 ln 2 B. 2 ? ln 2 C. 4 ? ln 2 D. 2 ln 2
8..曲线 y ? 9 若 cos ? ? ?

4 , ? 是第三象限的角,则 5

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2 ?

1 (A) ? 2

2 1 (B) (C) 2 (D) -2 2 10. 函数 y ? f (x) 的最小正周期为 2 ,且 f (? x) ? f ( x) .当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,
那么在区间 [?3,4] 上,函数 y ? f (x) 的图像与函数 y ? ( ) 的图像的交点个数是
| x|

1 2

A. 8

B. 7

C. 6

D. 5

11 定 义 域 为 R 的 函 数 f ? x ? 满 足 f ?1? ? 1 且 f ? x ? 的 导 函 数 f ? ? x ? ?

1 ,则满足 2

2 f ? x ? ? x ? 1 的 x 的集合为(
A. ? ?1,1? B. ? ??,1?

) C. ? ??,1? ? ?1, ??? D. ?1, ?? ?

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

12. 定 义 在 R 上 的 函 数 y ? f ( x ? 1) 的 图 像 关 于 (1, 0) 对 称 , 且 当 x? ? ??,0? 时 ,

f ( x)? x ? ( x) 0 ( f ?

其 中

f ?( x ) 是

f ( x)

的 导 函

数 ) , 若

a ? ? 30.3 ? ? f ? 30.3 ? , b ? ? log? 3? ? f ? log? 3 ? ,
1? ? c ? ? log3 ? ? 9? ?
A. a ? b ? c

1? ? f ? log 3 ? ,则 a, b, c 的大小关系是 9? ?
B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? c ? b

二、填空题:本大题共 4 小题,每小距 5 分,共 20 分。
13. 设 a ? 0 , f ? x ? ?

2x a ? 是 R 上的偶函数.,则 a 的值是---------a 2x
.

14 . 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数, 且满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 3, x ? [0,1] 时,f ( x ) ? 2 ? x , 则 f (?2005.5) 等于

15.函数 f ( x) ?

x ? sin x ? 1 x ?1

( x ? R ) 的最大值为 M,最小值为 m,则 M+m=_______.

2

16.若关于 x 的方程 cos 2 x ? 4a sin x ? a ? 2 ? 0 在区间 0, ? 上有两 个不同的解,则实数

?

?

a 的取值范围是
三、解答题
1 7. (本大题 10 分) 已 知函数 f ( x) ? 2(cos2 x ? 3 sin x cos x) ? 1. (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期,并求其单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f (x) 的值域.

18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=m· n,其中向量 m=(2cosx,1),向量 n=(cosx, 3sin2x), x∈R. 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(A)=2, ① 求 A; b+c 3 ② 若 b=1,△ABC 的面积为 ,求 的值. 2 sinB+sinC

19. (本小题满分 12 分)
2 已知函 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? 5, 若x ? , y ? f ( x ) 有极值,且曲线 y ? f ( x)在点(1,f (1)) 3

处的切线斜率为 3. (1)求函数

f (x) 的解析式;

(2)求 y ? f (x) 在[-4,1]上的最大值和最小值。 (3)函数 y ? f ( x ) ? m 有三个零点,求实数 m 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分) 在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ )若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ; (Ⅱ )若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 △ ABC 的面积.

? . 3

21、 (本题满分 12 分) 已知函数

f ( x ) ? loga

x ?1 (a ? 0, a ? 1) x ?1
3

(1)求 f ( x ) 的定义域,判断 f ( x ) 的奇偶性并证明;

(2)对于 x ? [2,4] ,

f ( x ) ? loga

m 恒成立,求 m 的取值范围。 ( x ? 1) 2 (7 ? x )

2 2、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (1)设 a=1,讨论 f ( x ) 的单调性;

1? x ln x . a(1 ? x)

(2)若对任意 x ? (0,1) , f ( x) ? ?2 ,求实数 a 的取值范围.

五校联谊期中考试试题数学(理) 答案 2012.10.19 1 D 2A 3B 4C 5 A 6C 7D 8A 9 A 10C 11B 12C

13.1
15.2

14 1.5

16. a ?

1 3 或 ?a?1 2 5

.

17. f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 ----------3 分

(1) T ? ? ,------------------4 单调增区间 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

(k ? Z )

----- ---6

(2) [1,4] --------------10 π 18.f(x)=m· n=2cos2x+ 3sin2x=1+cos2x+ 3sin2x=2sin?2x+6?+1.----------3 ? ? π π 1 π 5π π ①f(A)=2sin(2A+ )+1=2,∴sin(2A+ )= .∵0<A<π,∴2A+ = .∴A= .------6 分 6 6 2 6 6 3 1 1 3 3 ②S△= bcsinA= ×1×c· = ,∴c=2-----------------------8. 2 2 2 2 在△ABC 中,由余弦定理得, 1 b c a2=b2+c2-2bc· cosA=1+4-2×1×2× =3,∴a= 3.由正弦定理得, = = 2 sinB sinC a 3 = =2, sinA 3 2 b+c 2sinB+2sinC ∴b=2sinB,c=2sinC.∴ = =2.---------12 分 sinB+sinC sinB+sinC
4

19.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b. ????????1 分

2 2 2 ? 2 ?a ? 2, ? f ?( ) ? 3 ? ( ) ? 2a ? ? b ? 0, 由题意,得 ? ????3 分 解得? 3 3 3 ?b ? ?4. ? f ?( x) ? 3 ? 12 ? 2a ? 1 ? b ? 3. ?
所以, f ( x) ? x 3 ? 2x 2 ? 4x ? 5. ??????????4 分 (2)由(1)知 f ?( x) ? 3x 3 ? 4x ? 4 ? ( x ? 2)(3x ? 2) 令 f ?( x ) ? 0, 得x1 ? ?2, x 2 ? x -4 (-4, -2) + ↗ -11

2 . ????????5 分 3 2 2 (-2, ) -2 3 3
0 - ↘ 0 极小值



2 ,1) 3
+ ↗

1

f ?(x)

f (x)
函数值

极大值 13

95 27

4 ????????8 分

? f ( x)在[?4,?1] 上的最大值为 13,最小值为-11。????????9 分
(3)

95 ? m ? 13 27

????????12 分

20.解: (Ⅰ)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 ,
2 2

又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 分 ·········· 4 ·········· 2

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ···················· 分 ··········· ········· ·········· ········· 6 ab ? 4, ?
(Ⅱ)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A , 即 sin B cos A ? 2sin A cos A , ······························· 分 ··········· ·········· ·········· ·········· ··········· ········· 8 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a ,

5

联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ·······················12 分 ··········· ·········· ·· ·········· ··········· · ab sin C ? 2 3

21、 (本题满分 12 分) 解: (1)∵

x ?1 ( - )( ? ? 0 ∴ x ? ?1或x ? 1 ∴定义域为 - ?,1 ? 1, ?) ?? 2 分 x ?1

( - )( , 当 x ? - ?,1 ? 1 ? ?) 时, f ( ? x ) ? loga

? x ?1 x ?1 x ?1 ? ? log a ? log a ? x ?1 x ?1 x ?1
???? 6 分

? ? f (x)

∴ f (x) 为奇函数。

(2)由 x ? [2,4] 时, f ( x) ? loga

m 恒成立 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

①当 a ? 1 时,

x ?1 m ? ? 0 ∴ 0 ? m ? ( x ? 1)(x ? 1)(7 ? x) x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)
3 2

设 g ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1)(7 ? x) ? ? x ? 7 x ? x ? 7 ∴ g ?( x) ? ?3x ? 14 x ? 1 ? ?3( x ? ) ?
2 2

7 3

52 3

当 x ? [2,4] 时, g ?( x) ? 0 ,∴ g ( x) min ? g (2) ? 15 ,∴ 0 ? m ? 15 ????10 分 ②当 0 ? a ? 1 时, x ? [2,4] ,

x ?1 m ∴ m ? ( x ? 1)(x ? 1)(7 ? x) ? x ? 1 ( x ? 1) 2 (7 ? x)

g ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1)(7 ? x) ? ? x 3 ? 7 x 2 ? x ? 7
∴ g ?( x) ? ?3x ? 14 x ? 1 ? ?3( x ? ) ?
2 2

7 3

52 3

由①知, g (x) 在 [2,4] 上为增函数,∴ g ( x) max ? g (4) ? 45 ,∴ m ? 45

( 15 ? ? ∴ m 的取值范围是 0, )(45, ?)

????12 分

22、 (1) a ? 1 , f ( x) ?

1? x ln x ,定义域为 (0,1) ? (1,??) . 1? x

6

f ?( x) ?

2 ln x 1? x ? ? 2 (1 ? x) x (1 ? x)

2 ln x ?

1? x2 x . (1 ? x) 2

设 g ( x) ? 2 ln x ?

1? x2 ? ( x ? 1) 2 ,则 g ?( x) ? . x x2

因为 x ? 0 , g ?( x) ? 0 ,所以 g (x) 在 (0,??) 上是减函数,又 g (1) ? 0 , 于是

x ? (0,1) , g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 ; x ? (1,??) , g ( x) ? 0 , f ?( x) ? 0 .
所以 f (x) 的增区间为 (0,1) ,减区间为 (1,??) . 分) (5

7

8


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