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吉林省长春市十一中2015-2016学年高二上学期期中考试 数学(文)


体验 探究 合作 展示

长春市十一高中 2015-2016 学年度高二上学期期中考试 数 学 试 题(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线左边一支 C.一条射线 D.双曲线右边一支 2.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, l 为过点 P(3,0) 的直线,则( A. l 与 C 相交 B. l 与 C 相切 C. l 与 C 相离 ) )

D.以上三个选项均有可能

3.双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,过 F1 作倾斜角为 300 的直线 a 2 b2
)

交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

4.已知点 P 是以 F1 , F2 为焦点的双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点, PF 1 ? PF 2 ?0, a 2 b2


tan ?PF1 F2 ?
6 A. 2

1 则双曲线的离心率为( 2
C. 5

B.2

5 D. 2

x2 y 2 5.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线与抛物线错误!未找到引用源。只有一个 a b
公共点,则双曲线的离心率为( )

5 A. 4 错误!未找到引用源。
引用源。 D . 5

B. 5 错误!未找到引用源。

C.

5 2 错误!未找到

x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点,则 l 的方程是( 6.已知点(4,2)是直线 l 被椭圆 36 9
A.x+2y+8=0
2

)

B.x+2y-8=0

C.x-2y-8=0
2

D.x-2y+8=0

7.已知直线 a x ? y ? 2 ? 0 与直线 bx ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 互相垂直,则 | ab | 的最小值为

A.5

B.4

C.2

D.1

x ?1 ? ? 8.已知错误!未找到引用源。满足 ? x ? y ? 4 错误!未找到引用源。,记目标函数错误! ?x ? y ? 2 ? 0 ?
未找到引用源。的最大值为错误!未找到引用源。 ,最小值为错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。 A.1 B.2 C.7 D.8 9.方程 x ? y ? ax ? 2ay ? 2a ? a ? 1 ? 0 表示圆,则 a 的取值范围是(
2 2 2



2 A. a ? ?2 或 a ? 3
10..若椭圆 线方程为 ( 1 A.y=± x 2

B. ?

2 ?a?2 3

C. ? 2 ? a ? 0

D. ? 2 ? a ?

2 3

x2 y 2 x2 y 2 3 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近 的离心率为 , 则双曲线 2 a 2 b2 a 2 b2
) B.y=±2x
2

C.y=±4x

1 D.y=± x 4

11.已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A(

7 ,4),则|PA|+|PM|的最小值是 2
B.4 C. D.5

A.

12 若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右 a2
( )

→ → 支上的任意一点,则OP·FP的取值范围为 [3-2 3,+∞)

7 7 B.[3+2 3,+∞) C.[- ,+∞) D.[ ,+∞) 4 4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知中心在坐标原点的双曲线 C 经过点 (1, 0) ,且它的右焦 点 F 与抛物线 y ? 8 x 的焦点相同,则该双曲线的标准方程为
2



? x?0 ? M ( a , b ) 14.已知点 在由不等式 ? y ? 0 确定的平面区域内,则点 N (a ? b, a ? b) 所在的平 ?x ? y ? 2 ?

面区域面积是 ________. 15.若直线 y=kx+2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是___ 16. 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上, ?F1PF2 ? 600 ,则

PF 1 ? PF 2 = __________
三、解答题(解答时要写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤) 17.(10 分)已知 ?ABC 的三个顶点的坐标为 A(1,1), B(3, 2), C (5, 4) . (Ⅰ)求边 AB 上的高所在直线的方程; (Ⅱ)若直线 l 与 AC 平行,且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1,求直线 l 与两条坐标 轴围成的三角形的周长.

18. (12 分)已知椭圆 C: 点. (1)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,F(-2,0)是椭圆 C 的左焦 2 a b 2

(2)若直线 y ? x ? m 与椭圆 C 相交于不同的两点 A, B.且线段 AB 的中点 M 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上, 求 m 的值.

19. (12 分)已知抛物线 C : x ? 2 py(0 ? p ? 4) ,其上一点
2

M (4, y0 ) 到其焦点 F 的距离为 5 ,过焦点 F 的直线 l 与抛物线

y B A F O x

C 交于 A,B 左、右两点.
(Ⅰ)求抛物线 C 的标准方程; (Ⅱ)若 AF ?

1 FB ,求直线 l 的方程. 2
2 2

20.(12 分)已知直线 l:2x+y+2=0 及圆 C: x ? y ? 2 y . (1)求垂直于直线 l 且与圆 C 相切的直线 l 的方程;
'

(2)过直线 l 上的动点 P 作圆 C 的一条切线,设切点为 T,求|PT|的最小值.

21.(12 分)已知椭圆 (Ⅰ)求椭圆的方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 4,且点 (1, ) 在椭圆上. 2 a b 2

??? ? ??? ? A , B k OA ? OB ? 0 ,求直线 l 的方程 l (Ⅱ)过椭圆右焦点斜率为 的直线 交椭圆于 两点,若

22.(12 分)直线 y=kx+b 与曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 ? 0 交于 A、B 两点,记△AOB 的面积为 S(O 是坐标原点) . (1)求在 k=0,0<b<1 的条件下,S 的最大值; (2)当|AB|=2,S=1 时,求直线 AB 的方程.

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y

长春市十一高中 2015-2016 学年 上学期期中考试 数 学 试 题 答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 题号 选项 1 C 2 A 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 D 9 D
B O

A

度高二
x

(文科

10 A

11 C

12 B

二、填空题(每小题 4 分)

x2 ?
13. 【答案】 14. 【答案】4

y2 ?1 3 .

(?
15.【答案】

15 ,?1) 3

16. 【答案】4 三、解答题(解答时要写出必要的文字说明、推理过程和演算步骤)

1 17.解:(Ⅰ)? k AB ? ,∴边 AB 上的高所在直线的斜率为 ?2 2
又∵直线过点 C (5, 4) ∴直线的方程为: y ? 4 ? ?2( x ? 5) ,即 2 x ? y ? 14 ? 0 分 (Ⅱ)设直线 l 的方程为: 4

x y a ? ? 1 ,即 y ? ? x?a a ?1 a a ?1 x y 3 a 3 ∴直线 l 的方程为: ? ?1 ?? ? , 解得: a ? ? 4 3 7 a ?1 4 ? 7 7

? k AC ?

3 4

4 3 5 4 3 ∴直线 l 过点 ( ,0),(0, ? ), 三角形斜边长为 ( )2 ? ( ) 2 ? 7 7 7 7 7
∴ 直 线 l 与 坐 标 轴 围 成 的 直 角 三 角 形 的 周 长 为 5 4 3 12 10 分 ? ? ? . 7 7 7 7
18.解: (1) c ? 2, a ? 2 2 ,?

x2 y2 ? ?1 5 分 8 4

(2)设 A?x1 , y1 ?, B( x2 , y2 ), M ?x0 , y0 ?

? x2 y2 ? ? ?1 ?8 4 ? ? y ? x?m
x1 ? x2 ?
12 分

2 2 消 y,得 3x ? 4mx? 2m ? 8 ? 0

? ? 0, m ? 2 3或m ? ?2 3

? 4m ? 2 x0 3

代 入 x 0 ? y0 ? 1 得 m ? ?
2 2

3 5 5

?16 ? 2 py0 ? 19.19.解(Ⅰ)由题意, ? p ,解得 p ? 2 或 ? y ? 5 0 ? ?2

y B A F O x

p ? 8 ,由题意 0 ? p ? 4 ,所以 p ? 2 , y0 ? 4 . 所以抛物线标准方程为 x 2 ? 4 y .

5分

? y ? kx ? 1 (Ⅱ)解方程组 ? 2 ,消去 y ,得 x 2 ? 4kx ? 4 ? 0 , x ? 4 y ?
显然 ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 4k ① 又 AF ?
1 1 FB ,所以 (? x1 ,1 ? y1 ) ? ( x2 , y2 ? 1) 即 x2 ? ?2 x1 ③ 2 2
2 1 ,由题意, k ? 4 8

x1 x2 ? ?4 ②

由①② ③消去 x1 , x2 ,得 k 2 ?

故 12 分



线

l









y?

2 x ?1 4

20.【答案】 (1)x-2y+2± 5 =0

2 5 (2) 5
【解析】(1)圆 C 的方程为 x2+(y-1)2=1,其圆心为 C(0,1),半径 r=1. 由题意可设直线 l′的方程为 x-2y+m=0.

?2 ? m
由直线与圆相切可得 C 到直线 l′的距离 d=r,即 故直线 l′的方程为 x-2y+2± 5 =0. (2)结合图形可知:|PT|=

5

=1,解得 m=2± 5 .

PC ? r 2

2



PC ? 1

2

.故当|PC|最小时,|PT|有最小值.

3 易知当 PC⊥l 时,|PC|取得最小值,且最小值即为 C 到直线 l 的距离,得|PC|min= 5 .

所以|PT|min= 21.

PC min ? 1

2

2 5 = 5 .

x2 2 11 ? y2 ? 1 y?? x? 3 11 【答案】 (Ⅰ) 4 (Ⅱ)
【解析】

?

?

试题分析: (Ⅰ)将点坐标代入椭圆可得 a , b 关系,由长轴可求得 a 值(Ⅱ)直线与椭圆相交

问题常联立直线,椭圆方程,借助于根与系数关系将所求问题转化为与 式子,代入求出参数 试题解析: (Ⅰ) 2a ? 4 ? a ? 2 ,点 (Ⅱ)设直线为

x1 ? x2 , x1 x2 有关的

(1,

x2 3 ) ? ? y2 ? 1 2 在椭圆上? b ? 1 4
2 2

y ?k x? 3

?

? ,与椭圆联立得 ? 4k ? 1? x

? 8 3k 2 x ? 12k 2 ? 4 ? 0

由根与系数的关系得

? x1 ? x2 ?

12k 2 ? 4 8 3k 2 x x ? , 1 2 4k 2 ? 1 , 4k 2 ? 1

2 11 ??? ? ??? ? k ?? x x ? y1 y2 ? 0 代入整理得 11 由 OA ? OB ? 0 得 1 2
y??
所以直线为

2 11 x? 3 11
b?

?

?

22. 【答案】 (1)当

2 2 时, S 取到最大值 1.

(2)

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 x? y?? x? y?? x? y? x? 2 2 或 2 2 . 2 2 或 2 2 或

【解析】 (1)设点 A 的坐标为

( x1 , b)

,点 B 的坐标为

( x2 , b)



x2 ? y2 ? 1 x1,2 ? ?2 1 ? b 2 4 由 ,解得 ,
1 S ? b | x1 ? x2 |? 2b 1 ? b 2 ? b 2 ? 1 ? b 2 ? 1 2 所以

b?
当且仅当

2 2 时, S 取到最大值 1.

? y ? kx ? b ? 2 ?x 2 ? ? y ? 1 (4k 2 ? 1) x2 ? 8kbx ? 4b2 ? 4 ? 0 (2)由 ? 4 得 ,

? ? 16(4k 2 ? b2 ? 1)



|AB|=

1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

16(4k 2 ? b2 ? 1) ?2 4k 2 ? 1



d?
又因为 O 到 AB 的距离

|b| 1? k
2

?

2S ?1 2 2 | AB | ,所以 b ? k ? 1



4 2 ③代入②并整理,得 4k ? 4k ? 1 ? 0

k2 ?
解得,

1 2 3 ,b ? 2 2 ,代入①式检验,△>0 ,

故直线 AB 的方程是

y?

2 6 2 6 2 6 2 6 x? y?? x? y?? x? y? x? 2 2 或 2 2 . 2 2 或 2 2 或

12 分


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