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高二文科数学期中考试题


数学(文科)期中试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.经过点 (1, 3) 且斜率为 2 的直线方程为 A. 2 x ? y ? 5 ? 0 B. 2 x ? y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. 2 x ? y ? 5 ? 0 2.“ a ? 1 ”是“ | a |? 1 ”的 A.充分不必要条件 3.曲线的极坐标方程 ? A. x 2
? ( y ? 2) ? 4
2

B.必要不充分条件
? 4 sin ?

C.充要条件

D.不充分不必要条件

化为直角坐标为
? y ? 4
2

B. ( x ? 2 ) 2

C. ( x ? 2 ) 2

? y ? 4
2

D. x 2

? ( y ? 2) ? 4
2

4.若命题“ p ? q ”“ ? p ”都是假命题,则 、 A. p 假 5.抛物线 y 2
? 8x

B. q 真 的焦点到准线的距离是

C. q 假

D.不确定

A.8 6.如果直线 y A. a
? 1 3 ,b ? 6

?

B.4 a x ? 2 与直线 y B. a
y ?1 ? 0

? 3x ? b

C.2 关于直线 y C. a

?

D.1 x 对称,那么 D. a
? 1 3 , b ? ?6

? 3, b ? 6 y ?0

? 3, b ? ? 2

7.平行直线 x ? A.
2 2

,x?
2

间的距离是 C.2 与圆 x 2
2

B.

D. 2

2

8.直线 x ? ay ? A.相交 9.如果双曲线 A. 2
2
x a
2 2

2 a ? 0( a ? 0, a ? 1)

? y ? 1 的位置关系是

B.相切
? y b
2 2

C.相离

D.不能确定

?1

的两条渐近线互相垂直,则双曲线的离心率为 C.
y
2

B.2
? 2

2

D.

3

10.直线 x

与椭圆 x 2

?

? 1 的位置关系是

2

A.相离 B.相切 11.已知直线 l1 : x ? ay ? 1 ? 0 与直线 l 2 A.2 12.抛物线 y
y ? kx ? b
2

C.相交
: x ? 2y ? 2 ? 0

D.不确定 垂直,则 a
?
1 2

B. ? 2
? ax ( a ? 0)

C. ?

1 2

D.

与直线 y

? kx ? b ( k ? 0)

有两个公共点,其横坐标分别是 x1 , x 2 ,而直线

与 x 轴交点的横坐标是 x 3 ,则 x1 , x 2 , x 3 之间的关系是
? x1 ? x 2

A. x 3

B. x 3

?

1 x1

?

1 x2

C. x1 x 2

? x1 x 3 ? x 2 x 3

D. x1 x 3

? x1 x 2 ? x 2 x 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
文数期中试卷第 1 页(共 6 页)

13.双曲线

x

2

?

y

2

? 1 的焦点到渐近线的距离为

.
? ? sin ? ? 1 的距离是

5

4

14.在极坐标系下,圆 ?

? 2

的圆心到直线 2 ? cos ?

.

15.直线 l 的参数方程为 ? 16.已知两点 A ( 2 ?

? x ? 1 ? 2t, ? y ? 2 ? 3t .

( t 为参数) ,其普通方程是_______.(写出一般式方程) 关于点 C (1, ? 1) 对称,则 x
?

x , 2 ? y ) 、 B ( y ? 4, 6 ? x )

.
l1 : x ? 2 y ? 2 ? 0

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. 17. (本小题满分 10 分) 求经过原点且经过以下两条直线交点的直线的方程:
l2 : 2 x ? y ? 2 ? 0



.

18.(本小题满分12分)已知三角形 A B C 的顶点坐标为 A ( ? 1, 5) 、 B ( ? 2, ? 1) 、 C ( 4, 3) , M 是 B C 边上的中点. (1)求 A B 边所在的直线方程; (2)求中线 A M 的长. 19.(本小题满分 12 分)已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与 x 轴正半轴重 合,并且两坐标系的长度单位相同.曲线 C 1 的参数方程为 ? 标方程为 ? cos ? ? ? sin ? ? 1 ? 0 . (1)求曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 1 与 C 2 交点的直角坐标. 20. (本小题满分 12 分)已知椭圆方程为 (1)求点 F1 坐标和椭圆离心率 e ; (2)若倾斜角为 6 0 ? 的直线 l 经过点 F1 ,交椭圆于 A , B 两点,求 A B 的长. 21.(本小题满分 12 分)已知直线 l 经过点 P (1,1) ,倾斜角 ? (1)写出直线 l 的参数方程. (2)设 l 与圆 x 2
? y ? 4
2

?x ? ? ? y ? ?

5 co s ? , 5 sin ?

( ? 为参数) ,曲线 C 2 的极坐

x

2

? y

2

2

? 1 , F1 为左焦点.

?

?
6

.

相交与两点 A , B ,求点 P 到 A , B 两点的距离之积.
x a
2

22.(本小题满分 12 分)椭圆
OP ? OQ(O

2

?

y b

2

2

? 1( a ? b ? 0 )

与直线 x ?

y ?1 ? 0

相交于两点 P , Q ,且

为原点).
1
2

(1)求

?

1 b
2

的值;
3 3 , 2 2 ]

a

(2)当椭圆离心率在 [

上变化时,求椭圆长轴长的取值范围.

文数期中试卷第 2 页(共 6 页)

文科数学期中考试评分标准
1~12 题 B A D C B D A A C A D C 17.解:解方程组 ?
? x ? 2 y ? 2 ? 0, ? 2 x ? y ? 2 ? 0.

13. 2
? x ? 2, ? y ? 2.

14.

5 5

15. 3 x ? 2 y ? 7

?0

16. x

? 7

.

得?

所以, l1 与 l 2 的交点是 ( 2, 2 ) .
?1,

设经过原点的直线方程为 y 所以所求直线方程为 y ? x .

? kx

,把点 ( 2, 2 ) 的坐标代入以上方程,得 k
y ? ( ? 1) 5 ? ( ? 1) x ? (?2) ?1 ? (?2)

18.解: (1) A B 边所在的直线方程为

?

,即 6 x ?
A M |?

y ? 11 ? 0


2

(2)由点 B ( ? 2, ? 1) 、 C ( 4, 3) 求得点 M 坐标为 M 19.解析: (1)曲线 C 2 的普通方程为 x ? (2)曲线 C 1 的普通方程是 x 2
? y ?5
2

(1,1)

,∴ |

( ? 1 ? 1) ? (5 ? 1)
2

? 2 5

.

y ?1 ? 0

.
? x ? 2, ? y ? 1,

,联立解得 ?

和?

? x ? ? 1, ? y ? ?2.

所以曲线 C 1 与 C 2 交点的直角坐标为 (2,1) 、 ( ? 1, ? 2) . 20.解: (1) a
? 2

,b
?

? 1,c ?

a ?b
2

2

?1

,∴ F1 ( ? 1, 0) , e
2

?

1 2

?

2 2

. .

(2)直线 l 方程为 y

3 ( x ? 1) ,代入椭圆方程整理得 7 x ? 12 x ? 4 ? 0
12 7

设 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ? ∴|
A B |? 1? k ?
2 2

x2 ? ?

, x1 x 2
2

?

4 7

.
12 7 ) ? 4?
2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?

1? ( 3) ?

(?

4 7

?

8 2 7

.

? ? ? x ? 1 ? t co s 6 , ? 21.解: (1)直线的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? 6 ?
? 3 t, ?x ? 1? ? 2 2 (2)把直线 ? ,代入 x 1 ?y ? 1? t ? ? 2

? 3 t, ?x ? 1? ? 2 即? (t ? y ? 1 ? 1 t. ? ? 2

为参数)

? y

2

? 4,

得 (1 ?

3 2

t ) ? (1 ?
2

1 2

t) ? 4
2

,t2

? ( 3 ? 1) t ? 2 ? 0

.
? ?2

设 A , B 参数值为 t1 , t 2 ,则 t1 , t 2 为方程两根, t1 t 2 ∴点 P 到 A , B 两点的距离之积为 2. 22.解: (1)由 ?
? x ? y ? 1 ? 0, ? 2 2 x y ? 2 ? 2 ?1 b ? a

.

消去 y 得 ( a 2
2a
2 2 2

? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 .
2 2 2 2 2 2

设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ) ,则 x1 ?

x2 ?

a ?b

, x1 x 2

?

a ?a b
2 2

2

a ?b
2

2

.

文数期中试卷第 3 页(共 6 页)

∵ OP ∴ x1 x 2 ∴ a2

? OQ

,∴ O P ? O Q

??? ???? ?

? 0

,即 x1 x 2

? y1 y 2 ? 0


a ?a b
2 2 2

? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0
2 2 2

, 2 x1 x 2
1 a
2

? ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0 , 2 ?
? 2 1 2

a ?b
2

2

?

2a
2

2 2

a ?b

?1 ? 0

.

? b ? 2a b ? 0

,即 ,∴
2

?

1 b
2 2

. ,即
1

(2)∵

3 3

? e?

2 2

1 3

? e ? 1 3

1 3
?

?
1 2

c a

2 2

?

1 2

,∴

1 3

?

a ?b
2

2

a
6

2

?

1 2

.

又由(1)知 b 2

?

a
2

2a ? 1



? 1?

2a ? 1
2

,得

5 ? 2a ?

.

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