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高中数学函数知识点总结


高中数学函数知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性” 。 2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

如:集合A ? x| x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ,B ? ?x| ax ? 1?

r />
?

?

若B ? A,则实数a的值构成的集合为
3. 注意下列性质:

(1)集合?a 1,a 2 ,??,a n ?的所有子集的个数是 2 n ;
要知道它的来历:若 B 为 A 的子集,则对于元素 a1 来说,有 2 种选择(在或者不在) 。同样,对于元素 a2, a3,?? an,都有 2 种选择,所以,总共有 2 种选择, 即集合 A 有 2 个子集。 当然,我们也要注意到,这 2 种情况之中,包含了这 n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为 2 ? 1 ,
n n n n

非空真子集个数为 2 ? 2
n

(2)若A ? B ? A ? B ? A,A ? B ? B;
(3)德摩根定律:

CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?,CU ?A ? B? ? ?CU A? ??CU B?
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)

如:已知关于x的不等式
的取值范围。

ax ? 5 ? 0的解集为M,若 3 ? M且5 ? M,求实数a x2 ? a

7. 对映射的概念了解吗?映射 f:A→B,是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应 能构成映射? (一对一,多对一,允许 B 中有元素无原象。 ) 注意映射个数的求法。如集合 A 中有 m 个元素,集合 B 中有 n 个元素,则从 A 到 B 的映射个数有 nm 个。 如:若 A ? {1,2,3,4} , B ? {a, b, c} ;问: A 到 B 的映射有 有 个,若 A ? {1,2,3} ,则 A 到 B 的一一映射有 函数 y ? ? (x) 的图象与直线 x ? a 交点的个数为 个。 个。 个, B 到 A 的映射有 个; A 到 B 的函数

8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备)

9. 求函数的定义域有哪些常见类型?

例:函数 y ?

x?4 ? x? lg?x ? 3?
2

的定义域是

函数定义域求法: ? 分式中的分母不为零; ? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; 10. 如何求复合函数的定义域?

如:函数f ( x) 的定义域是 a,b ,b ? ? a ? 0,则函数F(x) ? f ( x) ? f (? x) 的定
义域是_____________。 例 若函数 y ? f (x) 的定义域为 ? ,2? ,则 2

?

?

?1 ? ? ?

的定义域为



11、函数值域的求法 1、直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。 例 求函数 y=

1 的值域 x

2、配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例、求函数 y= x 2 -2x+5,x ? [-1,2]的值域。 3、判别式法 对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不 必拘泥在判别式上面

b 型:直接用不等式性质 k+x2 bx b. y ? 2 型,先化简,再用均值不等式 x ? mx ? n x 1 1 例:y ? ? ? 2 1 2 1+x x+ x 2 x ? m ?x ? n ? c.. y ? 2 型 通常用判别式 x ? mx ? n x2 ? mx ? n d. y ? 型 x?n 法一:用判别式 a. y ? 法二:用换元法,把分母替换掉
2 x2 ? x ? 1 (x+1) ? (x+1) +1 1 例:y ? ? ? (x+1) ? ?1 ? 2 ?1 ? 1 x ?1 x ?1 x ?1

5、函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三 角函数的单调性。

6、函数单调性法 通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容

7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发 挥作用。 例 求函数 y=x+ x ? 1 的值域。

8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这 类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例:求函数 y=

(x?2)

2

+

(x?8)

2

的值域。

倒数法 有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况 例 求函数 y=

x?2 的值域 x?3

12. 求一个函数的解析式时,注明函数的定义域了吗? 切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误, 与到手的满分失之交臂

如:f

?

x ? 1 ? e x ? x,求f (x).

?

. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 判断函数单调性的方法有三种: (1)定义法: 根据定义,设任意得 x1,x2,找出 f(x1),f(x2)之间的大小关系 15

可以变形为求

f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) 的正负号或者 与 1 的关系 x1 ? x2 f ( x2 )

(2)参照图象: ①若函数 f(x)的图象关于点(a,b)对称,函数 f(x)在关于点(a,0)的对称区间具有相同的单调性; (特例: 奇函数) ②若函数 f(x)的图象关于直线 x=a 对称, 则函数 f(x)在关于点(a, 0)的对称区间里具有相反的单调性。 (特例:

偶函数) (3)利用单调函数的性质: ①函数 f(x)与 f(x)+c(c 是常数)是同向变化的 ②函数 f(x)与 cf(x)(c 是常数),当 c>0 时,它们是同向变化的;当 c<0 时,它们是反向变化的。 ③如果函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)+f2(x)和它们同向变化; (函数相加) ④如果正值函数 f1(x),f2(x)同向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们同向变化;如果负值函数 f1(2)与 f2(x)同 向变化,则函数 f1(x)f2(x)和它们反向变化; (函数相乘) ⑤函数 f(x)与
1 f ( x)

在 f(x)的同号区间里反向变化。

⑥若函数 u=φ (x), x[α , ]与函数 y=F(u), β u∈[φ (α ), (β )]或 u∈[φ (β ),φ (α )]同向变化, φ 则在[α , β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递增的;若函数 u=φ (x),x[α ,β ]与函数 y=F(u),u∈[φ (α ),φ (β )]或 u ∈[φ (β ),φ (α )]反向变化,则在[α ,β ]上复合函数 y=F[φ (x)]是递减的。 (同增异减) -1 ⑦若函数 y=f(x)是严格单调的,则其反函数 x=f (y)也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。

f(g)

g(x)

f[g(x)]

f(x)+g(x)

增 增 减 减

增 减 增 减

增 减 减 增

增 / / 减

f(x)*g(x) 都是正 数 增 / / 减

17. 函数 f(x)具有奇偶性的条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)

若f (?x) ? ?f ( x) 总成立 ? f ( x) 为奇函数 ? 函数图象关于原点对称 若f (?x) ? f ( x) 总成立 ? f ( x) 为偶函数 ? 函数图象关于y轴对称
注意如下结论: (1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积 是奇函数。

(2)若f(x) 是奇函数且定义域中有原点,则f(0) ? 0。
(3)f(x)是定义域在(-6,0)(0,6)上的奇函数,若 x>0 时 f(x)= , 判断函数奇偶性的方法 求 x<0 时 f(x)

一、 定义域法 一个函数是奇(偶)函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于 原点对称,则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,计算 f (? x) ,然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形 f(x)+f(-x) =0 f(x)-f(-x)=0 f(x) ?1 f(-x) f(x) ? ?1 f(-x)
三、 复合函数奇偶性

奇函数 偶函数 偶函数 奇函数

f(g) 奇 奇 偶 偶

g(x) 奇 偶 奇 偶

f[g(x)] 奇 偶 偶 偶

f(x)+g(x) 奇 非奇非 偶 非奇非 偶 偶

f(x)*g(x) 偶 奇 奇 偶

18. (若存在实数T(T ? 0),在定义域内总有f ?x ? T? ? f ( x) ,则f ( x) 为周期 函数,T 是一个周期。 )

如:若f ?x ? a? ? ?f (x),则
我们在做题的时候,经常会遇到这样的情况:告诉你 f(x)+f(x+t)=0,我们要马上反应过来,这时说这个函数周期 2t. 推 导: f ( x ? t ) ? f ( x ? 2t ) ? 0 ? ?? f ( x) ? f ( x ? 2t ) , ? 同时可能也会遇到这种样子:f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x).其实这都是说同样一个意思:函数 f(x)关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。 比如, f(x)=f(2a-x),或者说 f(a-x)=f(a+x)就都表示函数关于直线 x=a 对称。

f ( x) ? f ( x ? t ) ? 0

?

又如:若f ( x)图象有两条对称轴x ? a,x ? b 即f (a ? x) ? f (a ? x),f (b ? x) ? f (b ? x) ? f ( x) ? f (2a ? x) ? ?? ? ? ?? f (2a ? x) ? f (2b ? x) ? f ( x) ? f (2b ? x) ? 令t ? 2a ? x, 则2b ? x ? t ? 2b ? 2a, f (t ) ? f (t ? 2b ? 2a) 即f ( x) ? f ( x ? 2b ? 2a) 所以,函数f ( x)以2 | b ? a | 为周期(因不知道a, b的大小关系, 为保守起见,我加了一个绝对值
如:

19. 你掌握常用的图象变换了吗?

f (x)与f (?x)的图象关于 y轴 对称 联想点(x,y),(-x,y) f (x)与 ? f (x)的图象关于 x轴 对称 联想点(x,y),(x,-y) f (x)与 ? f (?x)的图象关于 原点 对称 联想点(x,y),(-x,-y)
f ( x) 与f ?1 ( x) 的图象关于 直线y ? x 对称
联想点(x,y),(y,x)

f (x)与f (2a ? x)的图象关于 直线x ? a 对称 联想点(x,y),(2a-x,y) f (x)与 ? f (2a ? x)的图象关于 点(a,0) 对称 联想点(x,y),(2a-x,0)
左移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 将y ? f ( x) 图象 ???????? ? ? 右移a(a?0) 个单位 y ? f ( x ? a) 上移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b ???????? ? ? 下移b( b?0) 个单位 y ? f ( x ? a) ? b
注意如下“翻折”变换:

f ( x)? ? | f ( x把 |轴下方的图像翻到上面 ? ) x f ( x)? ? f ( | x | )轴右方的图像翻到上面 ? 把 y
19.

(k<0) y

(k>0)

y=b O’(a,b) O x=a x

(1)一次函数:y ? kx ? b ?k ? 0?
( 2 )反比例函数:y ?
的双曲线。

(k 为斜率,b 为直线与 y 轴的交点)

k k ?k ? 0?推广为y ? b ? ?k ? 0?是中心O' (a,b) x x?a
2

b? 4ac ? b 2 ? (3)二次函数y ? ax ? bx ? c ?a ? 0? ? a? x ? ? ? 图象为抛物线 ? 2a ? 4a
2

? b 4ac ? b 2 ? b 顶点坐标为? ? , ? ,对称轴x ? ? 4a ? 2a ? 2a
开口方向:a ? 0,向上,函数y min ? 4ac ? b 2 4a

a ? 0,向下,y max ?

4ac ? b 2 4a

根的关系:x ?

?b ? ? 2a b c ? x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? ,| x1 ? x2 |? a a |a|

二次函数的几种表达形式: f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(一般式) f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n(顶点式,(m,n)为顶点 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )( x1 , x2是方程的2个根) f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ? h(函数经过点(x1 , h)( x2 , h)
应用:①“三个二次” (二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程

ax 2 ? bx ? c ? 0,? ? 0时,两根x1、x 2 为二次函数y ? ax 2 ? bx ? c的图象与x轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2 ? bx ? c ? 0 (? 0) 解集的端点值。
②求闭区间[m,n]上的最值。

b ) f m a x? f (m ) , f m i n f n( ) ? 2a b 区间在对称轴右边(m ? ? ) f m a x? f (n ) , f m i n f m ) ? ( 2a b 区间在对称轴2边 (n ? ? ? m) 2a 4 ac ? b 2 f m i n? f, m a x mfa m ( f ( n ) , ( ) ) ? x 4a 也可以比较m , n 和对称轴的关系, 距离越远,值越大 区间在对称轴左边(n ? ? (只讨论a ? 0的情况)
③求区间定(动) ,对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。

?? ? 0 ? b ? 如:二次方程ax 2 ? bx ? c ? 0的两根都大于k ? ?? ?k ? 2a ?f ( k ) ? 0 ?
y

(a>0)

O

k x1

x2

x

一根大于k,一根小于k ? f ( k) ? 0
?? ? 0 ? ?m ? ? b ? n ? 在区间(m,n)内有2根 ? ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? f ( n) ? 0 ? 在区间(m,n)内有1根 ? f (m) f (n) ? 0
( 6)“对勾函数” y ? x ? k ?k ? 0? x

(4)指数函数:y ? a x ?a ? 0,a ? 1?

利用它的单调性求最值

y

? k
O

k

x

21. 如何解抽象函数问题? (赋值法、结构变换法)

如:(1)x ? R,f ( x) 满足f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 为奇函数。 (先令x ? y ? 0 ? f (0) ? 0再令y ? ?x,??) (2)x ? R,f ( x) 满足f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,证明f ( x) 是偶函数。
(先令x ? y ? ?t ? f ?(?t )(?t )? ? f ( t·t )

∴f (?t ) ? f (?t ) ? f ( t ) ? f ( t ) ∴f (? t ) ? f ( t ) ??)

(3)证明单调性:f ( x 2 ) ? f ?x 2 ? x1 ? ? x 2 ? ??
(对于这种抽象函数的题目,其实简单得都可以直接用死记了 1、 代 y=x, 2、 令 x=0 或 1 来求出 f(0)或 f(1) 3、 求奇偶性,令 y=—x;求单调性:令 x+y=x1

?

?

几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数 f(x)=kx(k≠0)---------------f(x±y)=f(x)±f(y) 2. 幂函数型的抽象函数 f(x)=xa----------------f(xy)= f(x)f(y) ;f(

x f ( x) )= y f ( y)

例 1 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>0,f(-1)= -2 求 f(x) 在区间[-2,1]上的值域.

例 2 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 均有 f(x+y)+2=f(x)+f(y) ,且当 x>0 时,f(x)>2,f(3)= 5,求不 2 等式 f(a -2a-2)<3 的解.

例 3 已知函数 f(x)对任意实数 x、y 都有 f(xy)=f(x)f(y) ,且 f(-1)=1,f(27)=9,当 0≤x<1 时, f(x)∈[0,1]. (1) 判断 f(x)的奇偶性; (2) 判断 f(x)在[0,+∞]上的单调性,并给出证明; (3) 若 a≥0 且 f(a+1)≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.

例 4 设函数 f(x)的定义域是(-∞,+∞) ,满足条件:存在 x1≠x2,使得 f(x1)≠f(x2) ;对任何 x 和 y, f(x+y)=f(x)f(y)成立.求: (1) f(0) ; (2) 对任意值 x,判断 f(x)值的符号. 例 5 是否存在函数 f(x) ,使下列三个条件:①f(x)>0,x∈N;②f(a+b)= f(a)f(b) ,a、b∈N;③f(2) =4.同时成立?若存在,求出 f(x)的解析式,若不存在,说明理由. 例 6 设 f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(x·y)=f(x)+f(y) ,f(3)=1,求: (1) f(1) ; (2) 若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围. 例 7 设函数 y= f(x)的反函数是 y=g(x).如果 f(ab)=f(a)+f(b) ,那么 g(a+b)=g(a) ·g(b)是 否正确,试说明理由.

例 9 已知函数 f(x) (x≠0)满足 f(xy)=f(x)+f(y) , (1) 求证:f(1)=f(-1)=0; (2) 求证:f(x)为偶函数; (3) 若 f(x)在(0,+∞)上是增函数,解不等式 f(x)+f(x-

1 )≤0. 2

例 10 已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足 f(0)≠0,f(x+y)=f(x) ·f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1,求 证: (1) 当 x>0 时,0<f(x)<1; (2) f(x)在 x∈R 上是减函数.

练习题: 1.已知:f(x+y)=f(x)+f(y)对任意实数 x、y 都成立,则( ) (A)f(0)=0 (B)f(0)=1 (C)f(0)=0 或 1 (D)以上都不对 2. 若对任意实数 x、y 总有 f(xy)=f(x)+f(y) ,则下列各式中错误的是( (A)f(1)=0 (B)f(



1 )= f(x) x

(C)f(

x )= f(x)-f(y) y

(D)f(xn)=nf(x) (n∈N)

3.已知函数 f(x)对一切实数 x、y 满足:f(0)≠0,f(x+y)=f(x)f(y) ,且当 x<0 时,f(x)>1,则当 x>0 时,f(x)的取值范围是( ) (A) (1,+∞) (B) (-∞,1) (C) (0,1) (D) (-1,+∞) 4.函数 f(x)定义域关于原点对称,且对定义域内不同的 x1、x2 都有 f(x1-x2)=

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f(x)为( 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )



(A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数 5.已知不恒为零的函数 f(x)对任意实数 x、y 满足 f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)],则函数 f(x)是( (A)奇函数非偶函数 (B)偶函数非奇函数 (C)既是奇函数又是偶函数 (D)非奇非偶函数




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