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福建省福州市罗源一中2011届高三上学期期中试题


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高中
考试日期:11 月 11 日

三 年 数学(理) 科试卷
完卷时间: 120 分钟 满 分: 150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U ? R, 集合 M ? {x | x ? 4}, N ? {x |

/>2

A. {x | x ? ?2} C. {x | x ? ?1或x ? 3}

x?3 ? 0}, 则M ? N 等于( x ?1 B. {x | x ? ?2或x ? 3} D. {x | ?2 ? x ? 3}
π 个单位后,其图象的一条对称轴方程为 ( 6 5π 7π C. x ? D. x ? 12 12




2.将函数 y ? 2 sin 2 x 的图象向右平移 A. x ?

)

π 3

B. x ?

π 6

3.已知条件 p : x ? 1 ,条件 q : A.充分不必要条件 C.充要条件

1 <1,则 q 是 ? p 成立的( x
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

? f ? x ? 1? , x ? 4 ? 4.已知 f ? x ? ? ? ? 1 ? x ,则 f ? log2 3? =( ) ? ? ? ,x ? 4 ? ?2? 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 24 4 2
5.函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0. | ? |? 数表达式为( A. y ? 2 sin( B. y ? 2 sin( C. y ? 2 sin( D. y ? 2 sin( )

?
2

, x ? R) 的部分图象如图 2 所示,则函
( )

?
? ?
6
6 3

x?
x? x?

?
?
6

) ?1
) ?1 ) ?1

?

3 6

?

3

x?

?

6

) ?1

6.已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足:对任意 x∈R,都有 f ( x ? 1) ? f (1? x ) 成立,且 ( x ? 1) f ?( x) ? 0 ,设 a ? f (0), b ? f ( 1 ), c ? f (3) ,则 a,b,c 三者的大小关系是( ) 2 c A. a ? b ? c B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. ? a ? b 7. 若 A、B 是锐角△ABC 的两个内角,则点 P(cosB-sinA,sinB-cosA)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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1 1 ,要使光线的强度减弱到原来的 以下,至少有 10 3 这样的玻璃板块数为(参考数据: lg 2 ? 0.3010 lg 3 ? 0.4771 ( ) , )
8.光线透过一块玻璃板,其强度要减弱 9. 设函数 f ? x ? ? x sin x ? cos x 的图像在点 t , f ? t ? 处切线的斜率为 k , 则函数 k ? g ? t ? 的图像为( ) A.9 B.10 C.11

?

?

D.12

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? l ? D, f ( l ) f? ( ) x 且 x ?

, 则称 f ( x ) 为 M 上的 l 高调函数.如果定义域为 R 的函数 f ( x ) ....

2 2 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? a ? a ,且 f ( x ) 为 R 上的 4 高调函数,那么实数 a 的 ....

取值范围是(

) C. [?2,2] D. (?2,2)

A. [?1,1] B. (?1,1) 二、填空题(每小题 4 分,共 20 分)

11.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过(4,2)点,则 f ( ) ? __________. 12.计算

1 2

?

0

?2

( 4 ? x 2 ? x)dx 的结果是____________.

13.已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为_____________. 5

? log 2 x , 0 ? x ? 8, 14. 已知函数 f ( x) ? ? 1 ,若 a, b, c 互不相等,且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 ? ?? x ? 7,x ? 8. ? 2 abc 的取值范围是 .
15. 已知函数 f ( x) ? m sin x ? n cos x, 且f ? 给出下列命题: ① f ?x?

?? ? ( ? 是它的最大值,其中 m, n 为常数且 mn ? 0 ) ?4?

? ?

??

? 为偶函数; 4? ? 7? ? ,0 ? 对称; ? 4 ?
m 的交点按横坐标从小到大依次记为 2

②函数 f ?x ? 的图象关于点 ?

③ 记 函 数 f ?x ? 的 图 象 在 y 轴 右 侧 与 直 线 y ?

P , P2 , P , P4 ?,则 | P2 P4 |? ? ; 1 3
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m ?1 n

其中正确的命题是_____________. (请将正确的序号填写在横线上) 三、解答题(共 80 分,其中第 16—19 题,每题 13 分,第 20—21 题,每题 14 分) 16.已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 sin x ? sin? (1)若 tan x ?

?? ? ? 3? ? ? x ? ? 3 sin 2 ? ? x? ?2 ? ? 2 ?

1 , 求 f (x) 的值; 2 (2)求函数 f (x) 最小正周期及单调递减区间.

a 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数; 命题 q :f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 1 x 在 R 上有极值.若命题“ p ? q ”为真命题,求实数 a 的取值范围.
17. 已知命题 p :f ( x) ? x ?

、 18 . 已 知 ?ABC 中 , 内 角 A、 B

C 对 边 的 边 长 为 a、b、c , 且 的

3a c oC s ?

?( 2 b

c 3 )A o s c

.

(1)求角 A 的大小; (2)现给出三个条件:① a ? 2 ;② B ?

?
4

;③ c ? 3b .

试从中选出两个可以确定 ?ABC 的条件,写出你的选择,并以此为依据求出 ?ABC 的面 积. (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) 19.某地有三个村庄,分别位于等腰直角 ? ABC 的三个顶点处,已知 AB=AC=6km,现计划 在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? A P

B

O
(第 19 题图)

C

20.定义在 ??1,1? 上的奇函数 f ( x ) ,己知当 x?? ?1,0? 时, f ( x) ? (1)写出 f ( x ) 在 ?0,1? 上的解析式; (2)求 f ( x ) 在 ?0,1? 上的最大值.

1 a ? (a ? R) 4x 2x

2 21.已知 a ? 0 , f ( x) ? ax ? 2x ? 1 ? ln( x ? 1) , l 是曲线 y ? f ( x) 在点 P(0, f (0)) 处的

切线.

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地址:郑州市经五路 66 号 邮编:450002 (1)求切线 l 的方程; (2)若切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点,求 a 的值; (3)证明:对任意的 a ? n(n ? N * ) ,函数 y ? f ( x) 总有单调递减区间,并求出 f ( x ) 的单 调递减区间的长度的取值范围. (区间 ? x1 , x2 ? 的长度 ? x2 ? x1 )

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高三数学理科答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1. B 2. C 3. B 4. B 5. D 6 D 6. B 7. C 8. B 9. A

二、填空题: (每小题 4 分,共 20 分) 11.

2 2

12.

? ?2

13.

7 25

14. (8,14) 15. ①②④ 三、解答题(共 80 分) 16. (本小题满分 13 分)

17. (本小题满分 13 分) 解:命题 p : f ?( x ) ? 1 ?

a x2

? f ( x) ? x ?

a 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数, x a 则 f ?( x ) ? 1 ? 2 ? 0 在 ?1, ?? ? 上恒成立 x 2 即 a ? x 在 ?1, ?? ? 上恒成立

??????2 分

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? a ? ?x

2

?

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min

? a ?1
??????4 分
2

命题 p : A ? ?x | a ? 1? 命题 q : f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 3 要使得 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? 3x ? 1 在 R 上有极值, 则 f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? 3 ? 0 有两不个不相等的实数解

??????6 分 ??????9 分

? A ? B ? ?x | a ? 1, 或a ? 3?
18. (本小题满分 13 分) 解: (1)由正弦定理可得:

? ? 4a ? 4 ? 3 ? 3 ? 0 ,解得 a ? ?3,或a ? 3 命题 q : B ? ?x | a ? ?3,或a ? 3? ? 命题“ p ? q ”为真命题
2

??????12 分 ??????13 分

所求实数 a 的取值范围为 ? ??,1? ? ?3, ???

a b ? 由 ,得 b ? sin A sin B

2 ? sin sin

?
4 =2 2

?
6

sin C ? sin( A ? B) ?
1 2 1 2

2? 6 4

??????10 分

? S ? ab sin C ? ? 2 ? 2 2 ?
方案二:选择①③
2 2

2? 6 ? 3 ? 1 ??????13 分 4
2

由余弦定理得, b ? c ? 2b cos A ? a ,有 b ? 3b ? 3b ? 4
2 2 2

????9 分

解得 b ? 2, c ? 2 3

??????11 分 ??????13 分

S?

1 1 1 bc sin A ? ? 2 ? 2 2 ? ? 3 2 2 2

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地址:郑州市经五路 66 号 邮编:450002 说明:若选择②③,由 c ?

3b, 得 sin C ? 3 sin B ?

6 ?1 2

不成立,这样的三角形不存在. 19. (本小题满分 13 分)

π 又 0 ? ? ? π 从而 ? ? . ????????8 分 4 6 π π π 当 0 ? ? ? 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4 π 2 ? sin ? ? 当 ? ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, ??????? 11 分 6 cos ? π 此时 OP ? 3 2 tan ? 6 (km) ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. 6 答:变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小.??13 分 20. (本小题满分 14 分)
解: (1)设 x ??0,1? , 则 ? x ???1,0? , ????????2 分 ????????4 分

f (? x) ?

1 a ? ? x ? 4x ? a ? 2x ?x 4 2

f (x) 为奇函数 f ( ? x) ? ? f ( x)
(2)? f ( x) ? a ? 2 ? 4 , x ??0,1?,
x x

? f ( x) ? a ? 2x ? 4x , x ??0,1?.

????????6 分

令 t ? 2x , t ?[1, 2],

a a2 ? g (t ) ? a ? t ? t 2 ? ?(t ? ) 2 ? 2 4 a 当 ? 1, 即a ? 2时, 2 g (t )在?1, ?上是减函数 2 ? g (t )max ? g (1) ? a ?1 a 当 1 ? ? 2即2<a<4时, 2 a a2 g (t )max ? g ( ) ? 2 4

????????7 分

????????9 分

????????11 分

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[

21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ? ax2 ? 2x ? 1 ? ln( x ? 1), f (0) ? 1

f ' ( x) ? 2ax ? 2 ?

1 2ax 2 ? (2a ? 2) x ? 1 ? x ?1 x ?1

????????2 分

f ' (0) ? ?1 切点 p(0,1) , l 斜率为 ?1 所以切线 l 的方程为 y ? ? x ? 1 ????????3 分 (2)切线 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点等价方程
ax2 ? 2x ? 1 ? ln( x ? 1) ? ? x ? 1有且只有一个实数解 令 h( x) ? ax2 ? x ? ln( x ? 1) 则方程 h( x) 有且只有一个实数解 ? h(0) ? 0 ,所以方程 h( x) ? 0 有一解 x ? 0

????????4 分

1 2ax[ x ? ( ? 1)] 1 2ax 2 ? (2a ? 1) x 2a h' ( x) ? 2ax ? 1 ? ? ? x ?1 x ?1 x ?1 1 ' x2 ? 0 , h( x) 在 (?1, ??)上单调递增 ① a ? , h ( x) ? 2 x ?1 ? x ? 0 是方程 h( x) ? 0 的唯一解 ????????6 分

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故 h( x) ? 0 的解不唯一 ③a ?

????????8 分

x
h ' ( x)
h( x )

1 ' 1 , h ( x) ? 0 的两根 x1 ? 0, x2 ? ? 1? (?1, 0) 2 2a 1 1 1 (?1, ? 1) ?1 ( ? 1 ,0) 0 2a 2a 2a
+ 0 极大值

(0, ??)
+

?

0 极小值 0

1 ? 1) ? h(0) ? 0 ,而当 x ? ?1 且 x 趋向 ?1 时 2a ax2 ? x ? a ? 1, ln( x ? 1) 趋向 ?? 1 ? 方程 h( x) ? 0 在 (?1, ? 1) 上还有一解 2a 故 h( x) ? 0 得解不唯一

? h(

综上,当 l 与曲线 y ? f ( x) 有且只有一个公共点时, a ?

1 2

?????10 分

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其中 ?1 ? x1 ? x2 ,从而当 x ? ( x1 , x2 ) 时 f ' ( x) ? 0

2a ? 2 2 1 1 ) ? 4? ? 1? 2 2a 2a a 1 当 a ? n(n ? N * ) 时区间长度 x2 ? x1 ? 1 ? 2 n 1 1 ? 1 ? 1? 2 ? 1? 2 ? 2 n 1 ? 递增区间长度 x2 ? x1 的取值范围为 (1, 2] . ????????14 分
x2 ? x1 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x2 ? x1 ? (?

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