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1.3 全称量词与存在量词


§ 1.3

全称量词与存在量词
1.3.1 量 词

一、基础过关 1. 下列命题: ①中国公民都有受教育的权利; ②每一个中学生都要接受爱国主义教育; ③有人既能写小说,也能搞发明创造; ④任何一个数除 0,都等于 0. 其中全称命题的个数是________. 2. 下列命题中,真命题的序号为________. ①?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)是偶函数; ②?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)是奇函数; ③?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)都是偶函数; ④?m∈R,使函数 f(x)=x2+mx (x∈R)都是奇函数. 3. 给出四个命题:①末位数是偶数的整数能被 2 整除;②有的菱形是正方形;③存在实数 x,x>0;④对于任意实数 x,2x+1 是奇数.其中存在性命题为________(填序号). 4. 下列全称命题中真命题的个数为________. ①负数没有对数; ②对任意的实数 a,b,都有 a2+b2≥2ab; ③二次函数 f(x)=x2-ax-1 与 x 轴恒有交点; ④?x∈R,y∈R,都有 x2+|y|>0. 5. 下列命题中,既是真命题又是存在性命题的是________(填序号). ①存在一个 α,使 tan(90° -α)=tan α; π ②存在实数 x0,使 sin x0= ; 2 ③对一切 α,sin(180° -α)=sin α; ④sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β. 6. 四个命题:①?x∈R,x2-3x+2>0 恒成立;②?x∈Q,x2=2;③?x∈R,x2+1=0; ④?x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________. 7. 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假. (1)对任意实数 α,有 sin2α+cos2α=1; (2)存在一条直线,其斜率不存在; (3)对所有的实数 a,b,方程 ax+b=0 都有唯一解; 1 (4)存在实数 x0,使得 2 =2. x0-x0+1

二、能力提升 8. 下列 4 个命题: 1 1 p1:?x∈(0,+∞),?2?x<?3?x; ? ? ? ? 1 1 p2:?x∈(0,1),log x>log x; 2 3 1?x 1 p3:?x∈(0,+∞),?2? >log x; ? 2 1? ?1?x 1 p4:?x∈?0,3?,?2? <log x. ? 3 其中的真命题是________. 9. 下列命题正确的是________(填序号). ①对所有的正实数 t, ②存在实数 x0,使 t为正且 t<t; x2-3x0-4=0; 0

③不存在实数 x,使 x<4 且 x2+5x-24=0; ④存在实数 x0,使得|x0+1|≤1 且 x2>4. 0 10.关于 x 的函数 f(x)=sin(ωx+φ)有以下命题: ①?φ∈R,f(x+2π)=f(x); ②?ω∈R,f(x+1)=f(x); ③?φ∈R,f(x)都不是偶函数; ④?φ∈R,使 f(x)是奇函数. 其中假命题的序号是__________. 11.若命题“?x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 __________________. 12. 已知命题 p: ?x∈[1,2], 2-a≥0, x 命题 q: ?x∈R, 2+2ax+2-a=0.若命题“p∧q” x 是真命题,求实数 a 的取值范围. 13.已知函数 f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,并说明理由; (2)若存在一个实数 x0,使不等式 m-f(x0)>0 成立,求实数 m 的取值范围. 三、探究与拓展 14.若方程 cos 2x+2sin x+a=0 有实数解,求实数 a 的取值范围.

答案 1. 3 2.① 3.②③ 4.3 5.① 6.0 7. 解 (1)是全称命题,用符号表示为“?α∈R,sin2α+cos2α=1”,是真命题. (2)是存在性命题,用符号表示为“?直线 l,l 的斜率不存在”,是真命题. (3)是全称命题,用符号表示为“?a,b∈R,方程 ax+b=0 都有唯一解”,是假命题. 1 (4)是存在性命题,用符号表示为“?x0∈R, 2 =2”,是假命题. x0-x0+1 8. p2,p4 9. ② 10.①③ 11.(-∞,-1)∪(3,+∞) 12.解 ?x∈[1,2],x2-a≥0,即 a≤x2, 当 x∈[1,2]时恒成立,∴a≤1. ?x∈R,x2+2ax+2-a=0, 即方程 x2+2ax+2-a=0 有实根, ∴Δ=4a2-4(2-a)≥0. ∴a≤-2 或 a≥1. 又 p∧q 为真,故 p、q 都为真, ?a≤1, ? ∴? ? ?a≤-2或a≥1, ∴a≤-2 或 a=1. 13.解 (1)不等式 m+f(x)>0 可化为 m>-f(x), 即 m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使 m>-(x-1)2-4 对于任意 x∈R 恒成立,只需 m>-4 即可. 故存在实数 m,使不等式 m+f(x)>0 对于任意 x∈R 恒成立,此时,只需 m>-4. (2)不等式 m-f(x0)>0 可化为 m>f(x0), 若存在一个实数 x0,使不等式 m>f(x0)成立,只需 m>f(x)min. 又 f(x)=(x-1)2+4, ∴f(x)min=4,∴m>4. ∴实数 m 的取值范围是(4,+∞). 14.解 ∵cos 2x+2sin x+a=0, ∴a=2sin2x-1-2sin x =2(sin2x-sin x)-1, 1 3 ∴a=2?sin x-2?2- . ? ? 2 又-1≤sin x≤1, 1 3 3 ∴- ≤2?sin x-2?2- ≤3. ? 2 2 ? 3 故当- ≤a≤3 时, 2

1 3 方程 a=2?sin x-2?2- 有实数解, ? ? 2 所以,所求实数 a 的取值范围是 ?-3,3?. ? 2 ?


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