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4.10正切函数图象性质1


1.4.3正切函数的图象和性质

高一数学组

? α在第一象限时:

? 正切线:tanα=AT>0

作法如下:

?作直角坐标
系,并在直角 坐标系y轴左侧 作单位圆。

y

?找横坐标 ? ?

(把x轴上 2 ? 到 ? 到这一 段分成8等份)

1
? ? 2
?
?

?把单位圆右
半圆中作出正 切线。

?1

? ? 3?
8 4 8

x

?找交叉点。

?连线。

y

“三点两线”
?

?
4

1

1
?
?

? ? 2

?
?1

x

4

1、利用正切函数的定义,说出正切函数的定义域;

y ? tan x : (1)定义域: x ?{x | x ?
?? ? k? ?

y tan ? ? ? x ? 0 ? ?的终边不在y轴上 x ?

?

2

?k ? z?

2

? k? , k ? Z }

2、利用周期函数的定义及诱导公式,推导正切函数 的最小正周期;

tan(? ? x) ? tan x ? ? 是y ? tan x的周期;

(2)周期T ? ?

由正切函数的周期性,把图象向左、向右扩展,得到

正切函数的图象,称为正切曲线 y

1
-3?/2 -?
-?/2

x
0 ?/2
?
3?/2

-1

y=tanx

y 1
-3?/2 -?

-?/2

0 ?/2
-1

? 3?/2

x

全体实数R

? tan(? x) ? tan(x)

奇函数

? ? ? ? 开区间 ? ? 2 ? k? , 2 ? k? ?, k ? Z 内为增函数 ? ?

思考: 正切函数在R上为增函数对么?
正切函数在整个定义域内都为 增函数对么?

正切函数在每个单调区 间内都为增函数对么?

y 1
-3?/2 -? -?/2

0 ?/2 -1

? 3?/2

x

对称中心 (k?/2 ,0) 对称轴 ( 无 )

例1、求函数 y ? tan( x ?
提示:用整体代换法

?
4

)的定义域 .

练习:求函数 y ? tan( 2 x ? )的定义域 . 3

?

例2:观察正切曲线,写出满足下列条件的x的值的范围。 (1) tanx >0
y x –?/2

(2)tanx <1
y 1 –?/2 0 ?/4 ?/2 x

0

?/2

(k?,k?+?/2) k?z 练习:求x的取值范围

(k?–?/2,k?+?/4)k?z

1. tanx=0

2. 1+tanx?>0

3. tan(x+?/4)<1

y 1
-3?/2 -?
-?/2

-1

0 ?/2

? 3?/2

x

例3 比较两个正切函数值的大小: 13? 11? 与 tan( ? 0 ( 2) tan( ? 0 ) ) (1) tan167 与 tan173 ; 5 4 解: (1) ?900 又? y

? 167 ? 173 ? 180
0 0
0 0

0

? tan x 在(90 ,270 )递增
0 0

? tan167 ? tan173

? ? 3? 3? ? ?? ? ? ?? ? , ? y ? tan x, x ? (? , )递增 2 2 2 4 5 2 3? 3? 11? 13? ? tan( ? ) ? tan( ? ) ? tan( ? ) ? tan( ? ) 4 5 4 5
y 1
-3?/2 -? -?/2

13? 与 tan( ? ) 5 13? 3? 11? 3? ) ? tan( ? ) 解: ? tan( ? ) ? tan( ? ) 且 tan( ? 4 4 5 5
11? (2) tan( ? ) 4

?

-1

0 ?/2

? 3?/2

x

y 1
-3?/2 -? -?/2

0 ?/2 -1

? 3?/2

x

练习:比较下列各值

1 3 (1) tan(? ? )与 tan(? ? ) 5 7
(2) tan15190


>

tan14930

> <

7? 1 (3) tan 与 tan ? 8 6

1 ? 例3 求函数的单调区间: y ? 3 tan( x ? ); 2 4 1 ?
4 ? 1 ? ? ? ? 令:k? ? ? u ? k? ? , k ? Z ? k? ? ? x ? ? k? ? 2 2 4 2 2 2
3? ? (2k? ? ,2k? ? ), k ? Z 2 2

解 : 令u ?

2

x?

, 则y ? 3 tan u

1 ? ? y ? 3 tan( x ? )的单调递增区间为 : 2 4

x ? 变式:求函数单调区间 y ? 3 tan( ? ? ) 2 4

x ? 解 : 因为原函数可化为 : y ? ?3 tan( ? ); 2 4
1 ? ? y ? 3 tan( ? x ? )的单调递减区间为 : 2 4

3? (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 2 2

?

例4 求下列函数的周期:
? (1) y ? 3 tan( 2 x ? ); 4
? 周期 T ?
1 ? ( 2)变题 y ? 3 tan( x ? ); 2 4

?
2

? 周期T ? 2?

? 周期T ? |? |

抢答:求下列函数周期:

(1) y ? tan(x ? ); (2) y ? 2 tan( 3x ? ) 3 4 (3) y ? tan(?2 x) (4) y ?| tan x |

?

?

?

3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

?

3? 2

?

?
2

?
?

3? 2

小结:本节课你学到了哪些知识和方法?

y 1
-3?/2 -? -?/2

0 ?/2 -1

? 3?/2

x

思考2:直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanx 相 交的相邻两点间的距离是 A、 ? B、?/2 C、 2? D、与a值有关


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