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【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 计时双基练11 函数与方程 文 北师大版


计时双基练十一

函数与方程

A 组 基础必做 6 1.已知函数 f(x)= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是(

x

)

A.(0,1) C.(2,4)

B.(1,2) D.(4,+∞)

3 1 解析 因为

f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)= -log24=- <0,所 2 2 以函数 f(x)的零点所在区间为(2,4)。 答案 C 2.已知函数 f(x)=3 +3x-8,用二分法求方程 3 +3x-8=0 在 x∈(1,3)内近似解的 过程中,取区间中点 x0=2,那么下一个有根区间为( A.(1,2) B.(2,3) C.(1,2)或(2,3)都可以 D.不能确定 解析 因为 f(1)=-2<0,f(2)=7>0,f(3)=28>0,所以 f(1)·f(2)<0,所以下一个 有根区间为(1,2)。 答案 A )
x x

? 1? ?1? 3 3.设 f(x)=x +bx+c 是[-1,1]上的增函数,且 f?- ?·f? ?<0,则方程 f(x)=0 在 ? 2? ?2?
[-1,1]内( ) B.可能有 2 个实数根 D.没有实数根 A.可能有 3 个实数根 C.有唯一的实数根

? 1? ?1? ? 1 1? 解析 由 f(x)在[-1,1]上是增函数,且 f?- ?·f? ?<0,知 f(x)在?- , ?上有唯一 ? 2? ?2? ? 2 2?
零点,所以方程 f(x)=0 在[-1,1]上有唯一实数根。 答案 C 4.方程|x -2x|=a +1(a>0)的解的个数是( A.1 C.3 解析 (数形结合法)
2 2

) B.2 D.4

∵a>0,∴a +1>1。 而 y=|x -2x|的图像如图,
1
2

2

∴y=|x -2x|的图像与 y=a +1 的图像总有两个交点。 答案 B 5.已知三个函数 f(x)=2 +x,g(x)=x-2,h(x)=log2x+x 的零点依次为 a,b,c, 则( ) A.a<b<c C.b<a<c B.a<c<b D.c<a<b
x

2

2

1 1 解析 解法一:由于 f(-1)= -1=- <0,f(0)=1>0,且 f(x)为 R 上的递增函数。 2 2 故 f(x)=2 +x 的零点 a∈(-1,0)。 ∵g(2)=0,∴g(x)的零点 b=2; 1 1 ?1? ∵h? ?=-1+ =- <0,h(1)=1>0, 2 2 ?2? 且 h(x)为(0,+∞)上的增函数,
x

?1 ? ∴h(x)的零点 c∈? ,1?,因此 a<c<b。 ?2 ?
解法二:由 f(x)=0 得 2 =-x; 由 h(x)=0 得 log2x=-x,作出函数 y=2 ,
x x

y=log2x 和 y=-x 的图像(如图)。

由图像易知 a<0,0<c<1,而 b=2, 故 a<c<b。 答案 B 6.(2016·开封模拟)偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且当 x∈[0,1]时,f(x)= -x+1,则关于 x 的方程 f(x)=lg(x+1)在 x∈[0,9]上解的个数是( A.7 C.9 B.8 D.10 )

解析 依题意得 f(x+2)=f(x), 所以函数 f(x)是以 2 为周期的函数。 在平面直角坐标 系中画出函数 y=f(x)的图像与 y=lg(x+1)的图像(如图所示),观察图像可知,这两个函 数的图像在区间[0,9]上的公共点共有 9 个,因此,当 x∈[0,9]时,方程 f(x)=lg(x+1)

2

的解的个数是 9。

答案 C 7.用二分法研究函数 f(x)=x +3x-1 的零点时,第一次经计算 f(0)<0,f(0.5)>0 可 得其中一个零点 x0∈______,第二次应计算________。 解析 ∵f(x)=x +3x-1 是 R 上的连续函数, 且 f(0)<0, f(0.5)>0, 则 f(x)在 x∈(0,0.5) 上存在零点,且第二次验证时需验证 f(0.25)的符号。 答案 (0,0.5) f(0.25) 8.已知关于 x 的方程 x +mx-6=0 的一个根比 2 大,另一个根比 2 小,则实数 m 的取 值范围是________。 解析 设函数 f(x)=x +mx-6,则根据条件有 f(2)<0,即 4+2m-6<0,解得 m<1。 答案 (-∞,1)
?4,x≥m, ? 9. (2015·苏州调研)已知函数 f(x)=? 2 ? ?x +4x-3,x<m。
2 2 3 3

若函数 g(x)=f(x)-2x 恰

有三个不同的零点,则实数 m 的取值范围是________。
?4-2x,x≥m, ? 解析 由题意可得 g(x)=? 2 ?x +2x-3,x<m, ?

又函数 g(x)恰有三个不同的零点,所

以由方程 g(x)=0 解得的实根 2,-3 和 1 都在相应范围上,故 1<m≤2。 答案 (1,2]

x 1 3 2 10.已知函数 f(x)=x -x + + 。 2 4

? 1? 证明:存在 x0∈?0, ?,使 f(x0)=x0。 ? 2?
证明 令 g(x)=f(x)-x。 1 ?1? 1 ?1? 1 ∵g(0)= ,g? ?=f? ?- =- , 4 ?2? 8 ?2? 2

?1? ∴g(0)·g? ?<0。 ?2? ? 1? 又函数 g(x)在?0, ?上连续, ? 2? ? 1? ∴存在 x0∈?0, ?,使 g(x0)=0。 ? 2?
即 f(x0)=x0。

3

11.(2016·郑州模拟)已知 y=f(x)是定义域为 R 的奇函数,当 x∈[0,+∞)时,f(x) =x -2x。 (1)写出函数 y=f(x)的解析式。 (2)若方程 f(x)=a 恰有 3 个不同的解,求 a 的取值范围。 解 (1)当 x∈(-∞,0)时,-x∈(0,+∞)。
2

因为 y=f(x)是奇函数, 所以 f(x)=-f(-x)= -[(-x) -2(-x)]=-x -2x,
? ?x -2x,x≥0, 所以 f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0。 ?
2 2 2

(2)当 x∈[0,+∞)时,f(x)=x -2x=(x-1) -1,最小值为-1; 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=-x -2x=1-(x+1) ,最大值为 1。 所以据此可作出函数 y=f(x)的图像(如图所示)。根据图像,若方程 f(x)=a 恰有 3 个 不同的解,则 a 的取值范围是(-1,1)。
2 2

2

2

B 组 培优演练 1. (2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)对于函数 f(x)和 g(x), 设 α ∈{x|f(x) =0},β ∈{x|g(x)=0},若存在 α ,β ,使得|α -β |≤1,则称 f(x)与 g(x)互为“零点 相邻函数”。若函数 f(x)=e 实数 a 的取值范围是( A.[2,4] )
x-1

+x-2 与 g(x)=x -ax-a+3 互为“零点相邻函数”,则

2

? 7? B.?2, ? ? 3?
D.[2,3]
x-1

?7 ? C.? ,3? ?3 ?
解析 函数 f(x)=e 函数 f(x)=e
x-1
2

+x-2 的零点为 x=1,设 g(x)=x -ax-a+3 的零点为 b,若

2

+x-2 与 g(x)=x -ax-a+3 互为“零点相邻函数”,则|1-b|≤1,∴
2

0≤b≤2。由于 g(x)=x -ax-a+3 必经过点(-1,4),∴要使其零点在区间[0,2]上,则

g?0?≥0 ? ? ? ?a? g? ?≤0 ? ? ?2?



4

-a+3≥0 ? ? 即??a?2 a ? ? -a·2-a+3≤0 ? ??2? 答案 D

,解得 2≤a≤3。

?0,0<x≤1, ? 2. (2015·江苏卷)已知函数 f(x)=|ln x|, g(x)=? 2 ?|x -4|-2,x>1, ?

则方程|f(x)

+g(x)|=1 实根的个数为________。
? ?-ln x,0<x≤1, 解析 f(x)=? ?ln x,x>1, ?

0,0<x≤1, ? ? 2 g(x)=?2-x ,1<x<2, ? ?x2-6,x≥2。 (1)当 0<x≤1 时,方程化为|-ln x+0|=1, 1 解得 x= 或 x=e(舍去)。 e 1 所以此时方程只有一个实根 。 e (2)当 1<x<2 时,方程可化为|ln x+2-x |=1。 1 1-2x 2 设 h(x)=ln x+2-x ,h′(x)= -2x= 。
2 2

x
2

x

因为 1<x<2,所以 h′(x)=

1-2x

x

<0,

即函数 h(x)在(1,2)上单调递减。 因为 h(1)=ln 1+2-1 =1,h(2)=ln 2+2-2 =ln 2-2,所以 h(x)∈(ln 2-2,1)。 又 ln 2-2<-1,故当 1<x<2 时方程只有一解。 (3)当 x≥2 时,方程可化为|ln x+x -6|=1。 记函数 p(x)=ln x+x -6,显然 p(x)在区间[2,+∞)上单调递增。 故 p(x)≥p(2)=ln 2+2 -6=ln 2-2<-1。 又 p(3)=ln 3+3 -6=ln 3+3>1, 所以方程|p(x)|=1 有两个解,即方程|ln x+x -6|=1 有两个解。 综上可知,方程|f(x)+g(x)|=1 共有 4 个实根。 答案 4 3.若方程 4-x =k(x-2)+3 有两个不等的实根,则 k 的取值范围是________。
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析 作出函数 y1= 4-x 和 y2=k(x-2)+3 的图像如图所示,函数 y1 的图像是圆心 在原点,半径为 2 的圆在 x 轴上方的半圆(包括端点),函数 y2 的图像是过定点 P(2,3)的直
5

3-0 3 线,点 A(-2,0),kPA= = 。直线 PB 是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半 2-?-2? 4 |3-2kPB| 5 径得, =2,得 kPB= 。由图可知当 kPB<k≤kPA 时,两函数图像有两个交点,即原 2 12 kPB+1 方程有两个不等实根。所以 5 3 <k≤ 。 12 4

? 5 3? 答案 ? , ? ?12 4?
4.已知关于 x 的二次方程 x +2mx+2m+1=0。 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的取值范 围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的取值范围。 解 (1)由条件, 抛物线 f(x)=x +2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)
2 2

内,如图所示,

f?0?=2m+1<0 ? ?f?-1?=2>0 得? f?1?=4m+2<0 ? ?f?2?=6m+5>0

?m<-2, ?m∈R, ?? 1 m<- , 2 ?m>-5。 ? 6
1

5 1 即- <m<- , 6 2

1? ? 5 故 m 的取值范围是?- ,- ?。 6 2? ? (2)抛物线与 x 轴交点的横坐标均在区间(0,1)内,如图所示,列不等式组

6

f?0?>0, ? ?f?1?>0, ?Δ ≥0, ? ?0<-m<1

? ? 1 ? ?m>-2, m≥1+ 2或m≤1- ? ?-1<m<0。
m>- ,
1 2

2,

1 即- <m≤1- 2。 2

? 1 ? 故 m 的取值范围是?- ,1- 2?。 ? 2 ?

7


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