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《任意角》新


1.1.1 任意角的概念

【新课引入】
1.在初中角是如何定义的? 定义1:有公共端点的两条射线组成 的几何图形叫做角。
顶 点 边



定义2:平面内一条射线绕着端点从一 个位置旋转到另一个位置所成的图形 叫做角。 终边
顶 点 O B

始边 A

2.初中学习过哪些角? 锐角、直角、钝角、平角、和周角 <α≤360? 3.初中学习的角的范围?0?

跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多大角度?

体操中有转体两周或转体两 周半,如何度量这些角度呢?

经过1小时,秒针、分针各转了多少度?

4.然而生活中有很多实例的角会不在该范围: 体操运动员转体720? (即“转体2周”), 跳水运动员向内、向外转体1080? (“转体3 周”); 经过1小时,时针、分针、秒针各转了多 少度? 这些例子中有的角不仅不在范围:0? 至 360? ,而且方向不同,有必要将角的概念推广 到任意角,那么用什么办法才能推广到任意角? 关键是用运动的观点来看角.

【新课讲解】
1.角的定义 (1)角是由平面内一条射线绕着端点 从一个位置旋转到另一个位置所组成的 B 图形. 始边
α

终边

O

A

顶点

11

12

1

10
9 8 7 6 5
300

2
3 4

-300

11

12

1

10
900

2
3
-1200

9 8 7 6 5 4

逆时针

顺时针 (2)正角、负角、零角
正角:按逆时针方向旋转形成的角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:射线不作旋转时形成的角

记法:角 ? 或

,可简记为 ? ?

.

?

11

y12

1

10
4320

2
3 4 7 6 5

9 8

0

x

当旋转超过一周时,旋转量即超过360? ,
角度的绝对值可大于360? .于是就会出现

720? , - 540? 等角度.

2.象限角

y

终 终边 边

x
终 边

o
终 边

始边

? ?Ⅰ

??Ⅱ

??Ⅲ

??Ⅳ

在直角坐标系中,角的顶点与原点重合,角的
终 始边与边 x轴的非负半轴重合.

如果角的终边在第几象限,我们就说这个角是 第几象限的角; 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不 属于任何象限,或称这个角为轴线角.

练习1:

指出下列各角:-50°,405°, 210°,-200°,-450°分别是第几象 限的角?
y x o y 210° x o 405° o y x o -200° y x y x

-50°

o
-450°

练习2:在直角坐标系中,作出下列各角

(1) 30° (2)120 °

(3)-60 ° (4) 225°

指出它们是第几象限角 30° 是第一象限角

120 °是第二象限角 -60 °是第四象限角 225° 是第三象限角

练习 3 :在同一直角坐标系内作出 30 °、 390 °、 330°, 观察它们终边的关系 y
-3300
3900
?

与α终边相同的角的一般形式为 x

300

α+K×3600,K ∈ Z
与300终边相同的角的一般形式
为300+K3600,K ∈ Z

o

300=

=300+0x3600

?

3900=300+3600 =300+1x3600 -3300=300-3600 =300-1x3600 300 + 2x3600 , 300 + 3x3600 , 300-2x3600 300-3x3600

写出与-60°终边相同的角的集合 {β︱β= -60 °+ k· 360°,k∈Z} 写出与0°终边相同的角的集合

{β︱β= 0 °+ k· 360°,k∈Z}

3.终边相同的角 所有与角α 终边相同的角,连同角 α 在内所构成的集合:

S={β |β =α +k·360°,k∈Z} 任一与α终边相同的角,都可以表示成 角α与整数个周角的和.

例1 在0°~360°范围内,找出 与-950°12′角终边相同的角,并判 定它是第几象限角. 129°48′,第二象限角.

3. 所有与?终边相同的角连同?在内可以构成
一个集合:{β| β=α+k·360? , k∈Z}; 注意: ① k∈Z,K > 0,表示逆时针旋转, K < 0,表示顺时针旋转. ② ?是任意角; ③ k· 360? 与?之间是“+”号,如k· 360? -30? ,应 看成(-30? )+ k· 360? ; ④ 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终 边一定相同,终边相同的角有无数多个,它们 相差360? 的整数倍.

例2 写出终边落在y轴上的角的集合。
? 解:终边落在y轴正半轴上的角的集合为

{偶数}∪{奇数} S1={β| β=900+K?3600,K∈Z} ={β| β=900+2K?1800,K∈Z} ={整数} 0 0 ={β| β等于90 加180 的偶数倍} 0 0
终边落在y轴负半轴上的角的集合为
90 +K?360 Y X O

S2={β| ={β| β=900+1800+2K?1800,K∈Z} ={β| β=900+(2K+1)1800 ,K∈Z} 0 0 ={β| β等于90 加180 的奇数倍}
所以 终边落在y轴上的角的集合为
0

β=2700+K?3600,K∈Z}

2700+k?3600

S=S1∪S2 ={β|

β等于900加1800 的偶数倍或

等于90

0

加180 的偶奇数倍}

={β| β等于900加1800 的整数倍}

={β| β=900+K?1800 ,K∈Z}

4.轴线角集合
终边落在坐标轴上的情形
900 +k×3600

y

1800 +k×3600

x o

00 +k×3600

或k×3600

练习

2700 +k×3600 写出终边落在x轴上的角的集合

思考6:终边在x轴正半轴、负半轴,y轴正半轴、负半轴 上的角分别如何表示?

x轴正半轴:α= k·360°,k∈Z ; x轴负半轴:α= 180°+k· 360°,k∈Z ; y轴正半轴:α= 90°+k· 360°,k∈Z ; y轴负半轴:α= 270°+k· 360°,k∈Z .
思考7:终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示?

终边在x轴上:S={α|α=k·180°,k∈Z}; 终边在y轴上: S={α|α=90°+k· 180°,k∈Z}.

思考8:终边在第一、二、三、四象限的角的集合 分别如何表示?

第一象限: S={α | k·360°<α<90°+k· 360 °,k∈Z}; 第二象限: S={α | 90°+k· 360°<α< 180°+k· 360°,k∈Z 第三象限: S={α | 180°+k· 360°<α< 270°+k· 360°,k∈Z 第四象限: S={α | -90°+k· 360°<α<k·360°,k∈Z}.

例3 写出终边在直线y=x上的角集合S, 并把S中适合不等式-360°≤ ? <720° 的元素写出来. S={α|α=45°+k· 180°,k∈Z}.
-315°,-135°,45°,225°, 405°,585°.
根据例2、例3可得如下结论: 1)终边在某直线上的角集合为 :
S ? ? ? ? ? ? k ?180 ? , k ? Z

?

?

2)终边在两条相互垂直直线上的角集合为:
S ? ? ? ? ? ? k ? 90 ? , k ? Z

?

?

练习

如图 ,已知角的终边区域 , 求出角的范围 .
y

0 (1 ) y

?? | ? ? 360
x

45

0
0

? 450 ? ? ? ? ? 3600 ? 900

(? ? ? )

?

45
0 (2 )?

0

x

?

| ? ?180 ? 45 ? ? ? ? ?180 ? 90
0 0 0

0

(? ? ? )

?

练习:写出终边落在阴影处的角的集合. y
300

o
2400

x

1 ) {x | k ? 360 ? 120 ? x ? k ? 360 ? 30 , k ? Z}
0 0 0 0

back

思考1:锐角是第几象限的角?钝角?直角? 思考2:第一象限的角一定是锐角吗? 思考3:第二象限的角一定比第一象限的角

大吗?
象限角只能反映角的终边所在象限, 不能反映角的大小.

区分几个容易混淆的角
①锐角:
② 0°~90°: ③小于90°的角:

{α| 0°<α<90°}
{α| 0°≤α< 90°} {α|α<90°}

④ 第一象限角: {α| k·360°<α<k· 360°+90°,k∈Z}

二.应用举例

1、如果α ,β 终边相同,则α-β的终 边落在( A ) A. X轴的正半轴上 B. X轴的负半轴上 C. y轴的正半轴上 D. y轴的负半轴上
2、与-1778°的终边相同且绝对值最小 22° 的角是___________ 。

3、A={小于90°的角},B={第一象限的角} 则A∩B等于 ( D) A.{锐角}
C.{第一象限的角} B.{小于90°的角}

D.以上说法都不对

例1. 如果6? 与30 角的终边相同, 求适合不等式
?

解 :由题意得 6? =30 ? k ? 360 (k ? Z ) ? ? ? ? ?180 ? ? ? 180 ?? ? 5 ? k ? 60 37 35 ?k? ??180? ? 5? ? k ? 60? ? 180? ? ? 12 12
? ?

?180 ? ? ? 180 的角?的集合.
? ?

k为整数 ?k=-3,-2,-1,0,1,2.
分别代入? ? 5 ? k ? 60 得满足条件的? 集合为
? ?

{?175 , ?115 , ?55 ,5 ,65 ,125 }

?

?

?

?

?

?

例2.如果角?的终边经过点M (1, 3), 试写出角?的集合S, 并求出S中最大的负角和绝对值最小的角.

解 : 关键是求出0? 到360? 范围内的角?
在0? 到360? 范围内由几何方法可求得 , ? ? 60?

? S ? {? ? ? 60 ? k ? 360 , k ? Z }
? ?

其中最大负角为 ? 300 (k ? ?1)
绝对值最小的角为60 (k ? 0)
?

?

例3 (1) 已知角? 终边与 ? 50 角终边关于y轴对称
?

求角?的集合M
(2) 已知角? 终边与 ? 50? 角终边互相垂直, 求角?的集合N

解(1) : 230? 与 ? 50?的终边关于y轴对称
? M ? {? ? ? 230 ? k ? 360 , k ? Z }
? ?

(2) ? 50? ? 90? 与 ? 50? 角终边互相垂直
? N ? {? ? ? ?50? ? 90? ? k ? 360? , k ? Z }

? 小结:

角的 概念

角的 大小

角的 位置

角的 关系

正角 负角 零角

象限角 轴线角

终边相同角

1、角的分类: ? 正角--- 逆时针方向旋转所成角 ? 角 ? 零角--- 不作任何旋转所成角 ? 负角--- 顺时针方向旋转所成角 ? 2、角的表示: ? 1)终边相同的角的集合 ? S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z ? 2).坐标轴上的角的集合 ? ? 终边在x轴上的角 : S ? ? | ? ? k ?180 , k ? Z 角? ? 终边在y轴上的角: S ? ? | ? ? k ?180 ? 90 , k ? Z ? 终边在坐标轴上的角: S ? ? | ? ? k ? 90 , k ? Z ? ? 3).象限角的集合 ?

复习

?

?

? ?

?

?

?

?

3).象限角的表示:

?1).第一象限角 0 ? ? ? 90 ? ? S ? ? | k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? Z ?2).第二象限角 90 ? ? ? 180 ? ? S ? ? | k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ? 180 , k ? Z ? 角 ?3).第三象限角 180 ? ? ? 270 ? S ? ? | k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? Z ? ?4).第四象限角 270 ? ? ? 360 ? ? S ? ? | k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? Z ? ?

?

?

?

? ? ?

?

?

2、象限角:

角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合, 那么,角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说 这个角是第几象限角
y

?
o

?

x

①集合

M ? ?? | ? ? (4k ? 1)90? , k ? Z ? , N ? ?? | ? ? (2k ? 1)90? , k ? Z ? 则M与N的关系如何?



M ?N

☆解决与角有关的集合问题关键是弄清集合中含有哪些元素. 方法有:①将集合中表示角的式子化为同一形式; ②用列举法把集合具体化.

2.集合
A?

?? | ? ? k ? 360 ? 60 , k ? Z? , B ? ?? | ? ? k ? 720 ? 60 , k ? Z?
? ? ? ?
? ?

C ? ?? | ? ? k ?180 ? 60 , k ? Z ? ,
B 刎A C 则集合A, B, C的关系是_______.

A : (2k ) 180? ? 60?, k ? Z B : (4k ) 180? ? 60?, k ? Z C : k 180? ? 60?, k ? Z

3.集合 ?

k ? ? k ? ? ? ? ? M ? ? x | x ? ?180 ? 45 , k ? Z ?, N ? ? x | x ? ?180 ? 45 , k ? Z ?, 2 4 ? ? ? ?

M?N 则集合M, N的关系是_________.

2k M : ?180? ? 45?, k ? Z 4 k N : ?180? ? 60?, k ? Z 4

方法介绍:已知α的象限,求α/n象限
step1:把各象限n等分



step2:从x轴正方向起逆时针依次 标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ step3:标号与α的象限一致的



Ⅳ Ⅰ

y
Ⅲ Ⅱ Ⅰ

即为α/n的象限 例:α在第一象限,n=3时 Ⅱ


x

o
Ⅰ Ⅱ


α/3在第1、2、3象限








因为α在第一象限,即

k ? 120o ?
k ? 0时, k ? 1时, k ? 2时, k ? 3时,

k· 360 <α< ? o
3

0

0 0 90 +k· 360

? 30 ? k ? 120o





?
3


方 法

? (00 ,300 ) ? 第 一 象 限 ? (1200 ,1500 ) ? 第 二 象 限 ? ( 2400 ,2700 ) ? 第 三 象 限

?
3

?
3

?
3

? ( 3600 ,3900 ) ? 第 一 象 限 ( 重 复 )

α/3在第1、2、3象限

练习.如果 ?是第三象限角,那么2 ?角终边的位置何? 解:

?是第三象限角 ? ? ? ? ?180 ? k ? 360 ? ? ? 270 ? k ? 360 (k ? Z ) ?360? ? 2k ? 360? ? 2? ? 540? ? 2k ? 360? (k ? Z ) ? 2?角终边在第一或第二象限以及y轴非负半轴上

若k为偶数, 则

? 2

是哪个象限的角?

? 90 ? k ?180 ? ? 135? ? k ?180? (k ? Z ) 2 ?
? ?

2 ? 若k为奇数, 则 是第四象限角. 2

是第二象限的角.

综上,

?

2

是第二或第四象限角.

利用上述方法判断,可得如下结论:

当? 在第一象限时, 在第一或第三象限. 2 ? 当? 第二象限时, 在第一或第三象限. 2 ? 当? 在第三象限时, 在第二或第四象限. 2 ? 当? 在第四象限时, 在第二或第四象限. 2 y
3 4 2 1 o 2 3 4 x

?

1

练习:

1、已知α,β角的终边相同,那么α-β的终边 在( A A )

x轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上
2、终边与坐标轴重合的角的集合是( C ) A {β|β=k· 360? (k∈Z) } B {β|β=k· 180? (k∈Z) } C {β|β=k· 90? (k∈Z) } D {β|β=k· 180? +90? (k∈Z) }

3 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是( C ) A C 第一象限角 第一、三象限角 B D 第一、二象限角 第一、四象限角

4、若α是第四象限角,则180? -α是(C )

A
C

第一象限角
第三象限角

B
D

第二象限角
第四象限角

5、在直角坐标系中,若α与β终边互相垂直,

那么α与β之间的关系是(
A. β=α+90o B.

) D β=α±90o

β= k · 360o+90o+α,k∈Z D . β=k· 360o±90o+α, k∈Z
C.

6、若90? <β<α<135? ,则α-β的范围是 (0? ,45? ) ,α+β的范围是___________; (180? ,270? ) __________

7、若β的终边与60? 角的终边相同,那么在 ? [0? ,360? ]范围内,终边与角 的终边相同 的角为______________;
解:β=k· 360? +60? ,k∈Z. 所以
?
3

3

=k· 120? +20? , k∈Z.

当k=0时,得角为20? ,

当k=1时,得角为140? ,
当k=2时,得角为260? .

作业
1、下列命题正确的是

C(



A、终边相同的角一定相等

B、第一象限角都是锐角
C、锐角都是第一象限角

D、小于90°的角都是锐角
2、A={小于90°的角},B={第一象限角},

D

则A∩B=(



A、{锐角}

B、{小于90°的角}

C、{第一象限角}D、以上都不对

3、已知角α是第三象限角,则角-α的终边在( B )
A、第一象限 B、第二象限

C、第三象限 D、第四象限 4、已知角α的终边在下图中阴影所表示 的范围内(不包括边界),那么α∈ y
O

θ

x

?? ?180

0

? 2? ? 1800 ? k ? ? ? ? ? 1800 ? k , k ? Z

?

?

5 若?是第二象限的角,则1800-?是( A ) A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限

? ? 讨论:若?是第二象限角时,则2?, , 2 3
是第几象限的角?

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