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解决数列问题的基本策略与方法 数学要考课件


高考中求解数列问题的基本策略与方法 ------2012 培优讲座 陈子志 1,观察结构-------归纳发现基本关系 2,认知结构---形式比较---联想(判断)---合情推理 3,函数思想、不等式(放缩方法)交汇点的命题结构特点与问题解决的基本策略 一,近几年高考数列问题的基本情况的分析与思考 章 次 知 识 卷 别 11 数 三 列 三 角 函 数 10 09 11 10

09 大 题 问题载体 知识考查 19 能力要求 1 1 1 1 5 5 5 5 2009 双曲线 选择题 填空题 解答题 数 量 1 1 1 1 1 1 分值 14 5 14 14 14 12 考查内容 总分 占全卷百 值 分比

数量 分值 数量 分 值 1 5

等差数列递推公式 10 等差数列递推公式 5 等差、等比数列 递 19 推公式 三角函数值域 三角函数图像 倍角公式 求值 三角函数值域 19 19

9.7% 3.3% 12.7% 12.7% 12.7% 11.3%



三角形中三角函数 17 2011 椭圆

2010 摸球

直线、双曲线方程 相互独立事件同时发 直线和椭圆的位置关 和性质 生的概率及随机变量 系、椭圆的几何性质 的分布列、数学期望 解 析 几 何 的 基 本 逻辑思维能力 思想方法和综合 解题能力 数列 数列 解析几何的基本思想 方法和综合解题能力 数列

问题载体 20 知识考查

数列的递推关系、二次函数的求导、 导数 函数的导数、数列、不 等比数列 的应用、等差数列、数 等式及证明 学归纳法 知 识 的 综 合 运 用 知识的综合运用和解 推理 能力 和 解 决 问 题 的 创 决问题的能力 新能力 (类比与联想)

能力要求

二,数列问题为载体的能力考察与命题切入点研究 重视对结构的观察分析,归纳发现基本关系 1,数列与分段函数、不等式交汇点

? 1 ? an , n为正偶数; 1 设数列?an ? 的首项a1 ? a, (a ? ),且an ?1 ? ? 2 1 4 ?an ? , n为正奇数. 4 ? (1)求a2 , a3 , a4 , a5 1 (2)如果bn ? a2 n ?1 ? , 那么?bn ?是否为等比数列? 4 并证明你的结论。
n 1 1 1 (3)若a ? , cn ? , 记S n ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn , Tn ? ? 2 bn k ?1 S k

证明:Tn ?

n n ?1

观察---归纳---发现

1 1 1 1 3 解(1) a2 ? a ? , a3 ? a ? , a4 ? a ? 4 2 8 2 8 1 证明 : bn ? a2 n ?1 ? , 4 1 1 1 bn ?1 ? a2 n ?1 ? ? a2 n ? 4 2 4 1 1 1 1 ? (a2 n ?1 ? ) ? ? bn 2 4 4 2 1 且b1 ? a ? ? 0 ? ?bn ?是?的等比数列 4
体会分段函数的对应关系

1 1 (3)若a ? , cn ? ? S n ? 2 n ?1 ? 2 2 bn 证明:Tn ?
(3)cn ?

n n ?1

1 ? 2n ,S n ? c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? 2n?1 ? 2 bn

1 1 1 1 1 ? n?1 ? ? ? S n 2 ? 2 n(n ? 1) n n ? 1
体会结构---观察---改变结构--2,数列与函数、不等式交汇点---构造、放缩方法 把一个正三角形分成若干个全等的小正三角形, 且在每个小正三角形的顶点上放置一个不为 0 的实数,使得任意相邻的小正三角形组成的菱形的两组相对的顶点上的实数的积相等,如 图,

aij 表示第i行中的第j(列)个数( 1 ? j ? i) 1 1 设a11 ? 1, a21 ? , a22 ? 2 4 ( 1) 求a31 、 a32 、 a33; (2)记S n ? an1 ? an 2 ? an 3 a ? ? ? ann(n ? N ) 1 4n ? 1 求证:n ? ? ? 3 k ?1 S k 1 1 1 解( 1 )a31 ? ,a32 ? , a33 ? 4 8 16 (2)S n ? an1 ? an 2 ? an 3 a ? ? ? ann
n

a11 a21 a22 a31 a32 a33 ? ? aij ? ? an 2 ? ann

an1

1 由( 1 )得:a mn ? ( ) m ? n ? 2,( 1 ? m ? n) 2 1 1 1 1 S n ? ( ) n ?1? 2 ? ( ) n ? 2? 2 ? ( )n ? 3 ? 2 ? ? ? ( )n ? n ? 2 2 2 2 2 1 1 ? ? ? n?2 ? 2 n?2 2 2 1 1 1 4n?1 ? 1 /( n?2 ? 2 n?2 ) ? n ? 4n?1 Sn 2 2 2 ?1 n n 1 4n ? 1 (这里 2n ?1 ? 1 ) ? ? ? ? 4k ?1 ? 3 k ?1 S k k ?1
1 (广东2009 ),已知函数f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1)的图象通过点( 1,),等比 3 ?bn ?的首项,其前n项和为Sn满足 数列?an ? 的前n项和为f (n) ? c,c是等比数列 (1)求数列?an ?和?bn ? 的通项公式; ? 1 ? (2)若数列? ?的前n项和是Tn ,问: ? bnbn ?1 ? 100 满足Tn ? 的最小正整数n是多少? 2009
本题体现:函数思想与 方法、数列求和方法、 不等式求整数解问题? ? ? 体现基本能力 1 (1)an ? ?2 n , bn ? 2n ? 1, n ? N ? 3 (2)拆项求和,解不等式 得最小正整数为 112

S n ? S n ?1 ? S n ? S n ?1 (n ? 1)

3,研究导函数与数列交汇点的命题结构与方法 3,定义在?0,? ? ?上的单调可导函数 f ( x), 对任意实数x 都有
2? 1 ? f ? f ( x) ? ? ? , 且f (1) ? a ? 0 x ? f ( x) ? (1)求f (a ? 2), 并求a的值; 1 (2)如果an ? , n ? N *,证明数列?an ?是等差数列; f ( x)

1 2 解( 1 ): 1) ? a ? ( ff(1 2) ? f (a (3 ) 设kfn (是曲线 y f? () x? ) 在点( n? ,2) f? (n 2 ))处的切线的 a 斜率, 数列?k n ? 的前 n项和是 1 2 Sn , 令x ? a ? 2 ? f ( ? ) ? a ? f (1) ? 求证: ? 4 ? S n ? ?2a a ? 2 1 2 ? f ( x)是单调函数? ? ? 1 ? a ? 2, a ? ?1(舍) a a?2

(2):设f ( x) ? t

2 1 ? f (t ? ) ? t t 2 2 2 2 令x ? t ? ? f ( f (t ? ) ? ) ? f (t ? ) ? t ? f ( x) 2 x x t? x x 1 2 2 ? f ( x)是单调函数? ? ? x ? xt 2 ? t ? ? 0, 解得 t t?2 x x 2 1 t ? , 或t ? ? (舍) (? f ( x) ? t 且f 1) ? a ? 0) x x
2 , ( x ? 0) x

? f ( x) ? ? an ?

n , 是n的一次函数, ? ?an ?是等差数列 2 2 2 1 (3) ? f ( x) ? ? f / ( x) ? ? 2 ? k n ? f / (n 2 ) ? ? 4 x x n n n 1 S n ? ? ki ? ?( 2 ? 4 ) ? ?2 i i ?1 i ?1

kn ? ?

1 1 1 1 1 ?? 3 ?? 2 ?? ?? n4 n n n(n ? 1) n(n ? 1)

kn ? ?

1 ,n ? 2 n(n ? 1)
n i ?2

? S n ? S1 ? ? ki ? ? ? ?( 2 ?(
i ?1 n

1 1 1 ? ) ? ?2(1 ? (1 ? )) ? ?4 n ?1 n n

体会分析、转化过程中的思维形式 换元、函数意义、改变结构的目标指向性 4,绝对值不等式与数列“放缩”交汇点
(2009 重庆)已知a1 ? 1, a2 ? 4, an ? 2 ? 4an ?1 ? an bn ? an ?1 ,n? N * an

(2)设cn ? bnbn ?1,记S n为?cn ? 的n项和, 求证:S n ? 17n; (3)求证: b2 n ? bn ? 1 1 ? 64 17n ? 2

(1)求b1、 b2、 b3的值;

数列中的归纳思想方法,条件与目标的尝试构建

解 ? a1 ? 1, a2 ? 4, an ? 2 ? 4an ?1 ? an ? a3 ? 17, a4 ? 72 , bn ? ? b1 ? 4、 b2 ? an ?1 an

17 72 、 b3 ? 4 17

(2) an ? 2 ? 4an ?1 ? an ? ? bn ?1 ? 4 ?

an ? 2 a ? 4 ? n ( ? 4) an ?1 an ?1

1 ? 4 ? 对n ? 1, bn ? 4 bn

? c1 ? b1b2 ? 17, cn ? bnbn ?1 ? 4bn ? 1 ? 17 (n ? 1)


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