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复数的指数形式形式


一、复数的模与幅角 二、复数三角形式和指数形式 三、复数三角形式的乘除法

四、复数的幂与方根

一、复数的模与幅角
1. 复数的模(或绝对值)

复数 z ? x ? iy 可以用复平面上的向量 表示, OP
向 量 的 长 度 称 为 的 模, z
y y
Pz ? x ?

iy

记为 z ? r ? x 2 ? y 2 .
显然下列各式成立 x ? z, y ? z,
z ? x ? y,

r
o x x

z ? z ? z ? z2 .
2

2. 复数的辐角(argument)
在 z ? 0 的情况下以正实轴为始边以表示 的 , , z 向量OP 为终边的角 称为 z 的辐角 记作 Argz ? ? . ? ,
y

说明

任何一个复数z ? 0有 无穷多个辐角 .

y

Pz ? x ? iy

?
o x

x

如果?1 是其中一个辐角 那么 z 的全部辐角为 ,
Argz ? ? 1 ? 2kπ (k为任意整数).
特殊地, 当 z ? 0 时, z ? 0,

辐角不确定.

辐角主值的定义:

在 z ( ? 0) 的辐角中 把满足 ? π ? ? 0 ? π 的 ? 0 , 称为 Argz 的主值, 记作? 0 ? arg z .
z ? 0 辐角的主值
? arctan y , x ? 0, ? x ? π x ? 0, y ? 0, ? ? 2, arg z ? ? ? arctan y ? π , x ? 0, y ? 0, x ? ? π, x ? 0, y ? 0. ?

? y ? (其中? ? arctan ? ) 2 x 2

说明:
当 z 在第二象限时,

? ? ? ? ? arg z ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 2 2
y ? tan(? ? ? ) ? ? tan(? ?? ) ? tan? ? x y y ? ? ? ? ? arctan ? ? ? ? ? arctan . x x
对于其他情形可类似讨 论.

3. 复数模的三角不等式

z1 ? z2 ? z1 ? z2 ? z1 ? z2

z 等号成立的充要条件是1 , z2位于同一直线上.
y

几何意义如图:

z1 ? z2
z2

z1 ? z2

z1
o x

二、复数的三角形式和指数形式
? x ? r cos? , 利用直角坐标与极坐标的关系 ? ? y ? r sin ? ,

复数可以表示成 z ? r (cos? ? i sin? ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i? ? cos? ? i sin? , 复数可以表示成 z ? re i? 复数的指数表示式
欧拉介绍

例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ? ? (1) z ? ? 12 ? 2i; ( 2) z ? sin ? i cos ; 5 5



(1) r ? z ? 12 ? 4 ? 4, 因 为z 在 第 三 象 限 ,

5 3 ? ?2 ? 所以? ? arctan? ? ? ? ? ?, ? ? π ? arctan 3 6 ? ? 12 ? ? ? 5 ? ? 5 ?? 故三角表示式为 z ? 4?cos? ? ? ? ? i sin? ? ? ? ? , ? 6 ?? ? ? 6 ?
指数表示式为 z ? 4e
5 ? ?i 6

.

? ? ( 2) z ? sin ? i cos 5 5
显然 r ? z ? 1,

? ? ? ? ? ? cos 3? , sin ? cos? ? ? 10 5 ? 2 5? ? ? ? ? ? ? sin 3? , cos ? sin? ? ? 10 5 ? 2 5? 3? 3? 故三角表示式为 z ? cos ? i sin , 10 10
指数表示式为 z ? e
3 ?i 10

.

三、复数三角形式的乘除法
两个复数乘积的模等于它们的模的乘 积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和. 定理一

设z1 ? r1 (cos?1 ? i sin?1 ), z2 ? r2 (cos? 2 ? i sin ? 2 ),
则 z1 ? z2 ? r1 ? r2[cos(?1 ? ? 2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 )]
从而

? z1 z2 ? r1r2 ? z1 z2 ? ? Arg ( z1 z2 ) ? Argz1 ? Argz2

? ? 从几何上看, 两复数对应的向量分别为 z1 , z2 ,

? 先把 z1 按逆时针方向 旋转一个角? 2 ,

o

1

?

2

?

r2

两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加.

?

?

r1

?

再把它的模扩大到r2 倍, ? 所得向量 z 就表示积 z1 ? z2 .

y

z
z1

?

r

z2
x

说明 由于辐角的多值性, Arg( z1 z2 ) ? Argz1 ? Argz2 两端都是无穷多个数构成的两个数集. 对于左端的任一值, 右端必有值与它相对应. 例如,设 z1 ? ?1, z2 ? i , 则 z1 ? z2 ? ?i ,
Arg z1 ? ? ? 2n?, ( n ? 0, ? 1, ? 2,?), ? Argz2 ? ? 2m?, ( m ? 0, ? 1, ? 2,?), 2 π Arg( z1 z2 ) ? ? ? 2kπ, (k ? 0, ? 1, ? 2,?), 2 3? ? 故 ? 2( m ? n)? ? ? ? 2k?, 只须 k ? m ? n ? 1. 2 2 若 k ? ?1, 则 m ? 0, n ? ?2 或 m ? ?2, n ? 0.

设复数z1和z2的指数形式分别为

z1 ? r1e ,

i?1

z2 ? r2e , 则 z1 ? z2 ? r1 ? r2e i (?1 ?? 2 ) .

i? 2

由此可将结论推广到 n 个复数相乘的情况:

设 zk ? rk (cos? k ? i sin? k ) ? rk e , ( k ? 1,2,?, n)

i? k

z1 ? z2 ? ? ? zn ? r1 ? r2 ?rn [cos(? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n )
? i sin(? 1 ? ? 2 ? ? ? ? n )]

? r1 ? r2 ? ? ? rne i (?1 ?? 2 ??? n ) .

定理二 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两 个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.

设z1 ? r1 (cos?1 ? i sin?1 ), z2 ? r2 (cos? 2 ? i sin ? 2 ),
z1 r1 则 ? [cos(?1 ? ? 2 ) ? i sin(?1 ? ? 2 )] z2 r2 ? z1 r1 z1 ? ? ? 从而 ? z2 r2 z2 ? ? Arg ( z1 ) ? Argz1 ? Argz2 ? z2 ? i? 2 i?1 设复数z1和z2的指数形式分别为 z1 ? r1e , z2 ? r2e , z2 r2 i (? 2 ??1 ) 则 ? e . z1 r1

1 ? ? 例2 已知 z1 ? (1 ? 3i ), z2 ? sin ? i cos , 2 3 3 z1 求 z1 ? z2 和 . z2 ? ?? ? ?? 解 因为 z1 ? cos? ? ? ? i sin? ? ?, ? 3? ? 3? ? ?? ? ?? z2 ? cos? ? ? ? i sin? ? ?, ? 6? ? 6? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?i, 所以 z1 ? z2 ? cos? ? ? ? ? i sin? ? ? ? ? 3 6? ? 3 6? z1 ? ? ?? ? ? ? ? ? 3 ? 1 i. ? cos? ? ? ? ? i sin? ? ? ? z2 ? 3 6? ? 3 6? 2 2

四、复数的幂与方根
1. n次幂: n 个相同复数 z 的乘积称为z 的 n 次幂,
记作 z n ,

z n ? ?z??z . z ? ? ?? ? ?
n个

对于任何正整数n, 有 z n ? r n (cos n? ? i sin n? ).

如果我们定义z 上式仍成立.

?n

1 ? n , 那么当 n 为负整数时, z

2.棣莫佛公式
当 z 的模 r ? 1, 即 z ? cos? ? i sin? ,

棣莫佛资料

(cos? ? i sin? )n ? cos n? ? i sin n? . 棣莫佛公式

3. 方程 w n ? z 的根 w , 其中 z 为已知复数.

? ? 2kπ ? ? ? ? 2kπ w ? z ? r ? cos ? i sin ? n n ? ? (k ? 0,1,2,?, n ? 1)
n 1 n

推导过程如下:

设 z ? r (cos? ? i sin? ), w ? ? (cos? ? i sin? ),
根据棣莫佛公式,
w n ? ? n (cos n? ? i sin n? ) ? r (cos? ? i sin? ), 于是 ? n ? r , cos n? ? cos? , sin n? ? sin? ,

显然 n? ? ? ? 2kπ,

(k ? 0, ? 1, ? 2,?)
,

故 ? ?r , ? ?

1 n

? ? 2kπ

n 1 ? ? 2kπ ? ? 2kπ ? n n? w ? z ? r ? cos ? i sin ? n n ? ?

当 k ? 0,1,2,?, n ? 1时, 得到 n 个相异的根:

?? ? ? w0 ? r ? cos ? i sin ?, n n? ?
1 n

? ? 2π ? ? ? ? 2π w1 ? r ? cos ? i sin ?, n n ? ? ?????,
1 n

? ? 2( n ? 1)π ? ? ? ? 2( n ? 1)π wn?1 ? r ? cos ? i sin ?. n n ? ?
1 n

当k以其他整数值代入时, 这些根又重复出现.

例如k ? n 时,

? ? 2 nπ ? ? ? ? 2 nπ wn ? r ? cos ? i sin ? n n ? ?
1 n

?? ? ? ? r ? cos ? i sin ? ? w0 . n n? ?
1 n

从几何上看,
1 n

n

z 的 n 个值就是以原点为中心 ,

r 为半径的圆的内接正n 边形的 n 个顶点.

例3


化简 (1 ? i )n ? (1 ? i )n .

1 ? ? 1 1 ? i ? 2? ? i? 2 ? ? 2 ?? ? ? ? 2 ?cos ? i sin ? 4? ? 4 1 ? ? 1 1 ? i ? 2? ? i? 2 ? ? 2
? ? ?? ? ? ?? ? 2 ?cos? ? ? ? i sin? ? ? ? ? 4 ?? ? ? 4?

(1 ? i )n ? (1 ? i )n ?

?? ? ? ? ?? ? ? ?? n? ( 2 ) ?cos ? i sin ? ? ( 2 ) ?cos? ? ? ? i sin? ? ? ? 4 4? ? ? 4 ?? ? ? 4?
n n

n

n? n? n? ? ? n? ? ( 2 ) ?cos ? i sin ? cos ? i sin ? 4 4 4 4? ?
n

?2

n? 2 2

n? cos . 4

例4

计算 4 1 ? i 的值.

?? ? ? 解 1 ? i ? 2 ?cos ? i sin ? 4? ? 4 ? ? ? ? ? 2k? ? 2k? ? ? 8 4 1 ? i ? 2 ?cos 4 ? i sin 4 ? (k ? 0,1,2,3). 4 4 ? ? ? ? ? ?? ? 8 即 w0 ? 2 ?cos ? i sin ? , 16 ? ? 16 9? ? ? 9? w1 ? 2 ?cos ? i sin ? , 16 ? ? 16
8

17? ? ? 17? w2 ? 2 ?cos ? i sin ?, 16 16 ? ?
8

25? ? ? 25? w3 ? 2 ?cos ? i sin . 16 16 ? ? ?
8

w1

y

这四个根是内接于中 心在原点半径为 2 的
8

w0

圆的正方形的四个顶点 .

w2

o

x

w3

小结与思考
学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各 种表示法.应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各 种形式中以三角形式、指数形式最为方便: z2 r2 i (? 2 ??1 ) i (?1 ?? 2 ) ? e z1 ? z2 ? r1 ? r2e z1 r1 棣莫佛公式

(cos ? ? i sin ? )n ? cos n? ? i sin n?

n次方根的公式
n

? ? 2kπ ? ? 2kπ ? ? z ? r ? cos ? i sin ? ( k ? 0,1,2,?, n ? 1) n n ? ?
1 n

思考题
是否任意复数都有辐角?

思考题答案
否.

唯有 z ? 0 的情况特殊 ,
它的模为零而辐角不确定.


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