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高考数学选择题神乎其神的简捷解法专题5


高考数学选择题神乎其神的简捷解法专题(5)
五、巧用定义 定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。 【例题】、某销售公司完善管理机制以后,其销售额每季度平均比上季度增长 7%,那么经过 x 季度增长到原来的 y 倍, 则函数 y ? f ( x) 的图象大致是( )

A、

B、
x

C、

D、

【解析】、由题设知, y ? (1 ? 0.07) ,∵ 1 ? 0.07 ? 1 ,∴这是一个递增的指数函数,其中 x ? 0 ,所以选 D。 【练习 1】、已知对于任意 x, y ? R ,都有 f ( x) ? f ( y) ? 2 f ( A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数

x? y x? y )f( ) ,且 f (0) ? 0 ,则 f ( x) 是( 2 2



D、非奇且非偶函数

(提示:令 y ? 0 ,则由 f (0) ? 0 得 f (0) ? 1 ;又令 y ? ?x ,代入条件式可得 f (? x) ? f ( x) ,因此 f ( x) 是偶函数, 选 B) 【练习 2】、点 M 为圆 P 内不同于圆心的定点,过点 M 作圆 Q 与圆 P 相切,则圆心 Q 的轨迹是( A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段 (提示:设⊙P 的半径为 R,P、M 为两定点,那 么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆 心 Q 的轨迹是椭圆,选 B)



【练习 3】 、 若椭圆

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(1,-1),F 为右焦点,椭圆上有一点 M,使|MP|+2|MF|最小,则点 M 为( 4 3
C、 (1, ? )



A、 (

2 3 6, ? 1) B、 (1, ? ) 3 2

3 2

D、 (?

2 6, ? 1) 3

(提示:在椭圆中, a ? 2, b ? 3 ,则 c ? 1, e ?

c 1 ? ,设点 M 到右准线的距离为 |MN|,则由椭圆的第二定义知, a 2

| MF | 1 ? ?| MN |? 2 | MF | ,从而 | MP | ?2 | MF |?| MP | ? | MN | ,这样,过点 P 作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为 | MN | 2
所求 M 点,知易 M (

2 6, ? 1) ,故选 A) 3
2 2

???? ?2 PF 2 x y 【练习 4】、设 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任意一点,若 ????? 的最小 a b PF1
值为 8a ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A、[2,3] B、(1,3] C、 ?3, ?? ? ) D、 ?1, 2 ?

???? ?2 PF2 (2a ? PF1 ) 2 4a 2 4a 2 ????? ? PF1 ,即 PF1 ? 2a , PF2 ? 4a 时取等于 (提示: ? ? ? PF1 ? 4a ? 8a ,当且仅当 PF1 PF1 PF1 PF1
号,又 PF1 ? PF2 ? F1 F2 ,得 6a ? 2c ,∴ 1 ? e ? 3 ,选 B)

【练习 5】、已知 P 为抛物线 y ? 4 x 上任一动点,记点 P 到 y 轴的距离为 d ,对于给定点 A(4,5),|PA|+d 的最小
2

值是( ) A、4 B、 34 C、 17 ? 1 D、 34 ? 1

(提示: d 比 P 到准线的距离(即|PF|)少 1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而 A 点在抛物线外, ∴|PA|+d 的最小值为|AF|-1= 34 ? 1 ,选 D) 【练习 6】、函数 y ? f ( x) 的反函数 f A、关于点(2, 3)对称 C、关于直线 y=3 对称 (提示:注意到 f
?1
?1

( x) ?

1? 2x ,则 y ? f ( x) 的图象( x?3

)。

B、关于点(-2, -3)对称 D、关于直线 x = -2 对称

( x) ?

1? 2x 的图象是双曲线,其对称中心的横坐标是-3,由反函数的定义,知 y ? f ( x) 图象的对 x?3
)条件。

称中心的纵坐标是-3,∴只能选 B) 【练习 7】、已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的增函数,那么 a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 的( A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 (提示:由条件以及函数单调性的定义,有 D、不充分不必要

?a ? ?b ? f (a) ? f (?b) a?b ? 0 ? ? ? f (a) ? f (b) ? f (?a ) ? f (?b) ,而这个过程并不可逆,因此选 A) ?b ? ?a ? f (a ) ? f (?b)
【练习 8】、点 P 是以 F1 , F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F1 PF2 的外角平分线的垂线,垂足为 M,则点 M 的轨 迹是( ) A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

(提示:如图,易知 PQ ? PF2 ,M 是 F2 Q 的中点, ∴OM 是 FQ 的中位线, ∴ MO ? 1

1 1 1 由椭圆的定义知,F1 P ? F2 P =定值, ∴ MO ? F1Q ? ( F1P ? PQ) ? ( F1P ? F2 P) , 2 2 2


定值(椭圆的长半轴长 a),∴选 A) 2 2 2 【练习 9】、在平面直角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的是双曲线,则m的取值范围是( A、(0,1) B、( 1, ? ? ) C、(0,5) D、(5, ? ? ) ( 提 示 : 方 程 m ( x +y +2y+1 ) = ( x-2y+3 )
2 2 2

可变形为 m?

1 ( x ? 2 y ? 3) 2 ? ,即得 2 2 x ? y ? 2 y ?1 m

x 2 ? ( y ? 1) 2 x ? 2y ? 3

,∴

5 ? m

x 2 ? ( y ? 1) 2 ,这表示双曲线上一点 ( x, y ) 到定点(0,-1)与定直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的距离之比为常数 e ? x ? 2y ? 3 5

5 ,又 m

由 e ? 1,得到 0 ? m ? 5 ,∴选 C。若用特值代验,右边展开式含有 xy 项,你无法判断


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