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高中数学必修4:总复习平面向量


高三数学总复习平面向量 [本周题目]平面向量 [本周重点]向量的运算与应用 [本周难点]向量的应用、向量与函数、三角、解析几何综合问题 [考点分析] 1. 向量是数形结合的典型。向量的几何表示法----有向线段表示法是运用几何性质解决向量 问题的基础。在向量的运算过程中,借助于图形性质不仅可以给抽象运算以直观解释,有时 甚至更简捷。 向量运算中的基本图形:①向量加减法则:三角形或

平行四边形; ②实数与向量乘积的几何意义----共线; ③定比分点基本图形----起点相同的三个向量终点共线等。 2. 向量的三种线性运算及运算的三种形式。 向量的加减法,实数与向量的乘积,两个向量的数量积都称为向量的线性运算,前两者的结 果是向量, 两个向量数量积的结果是数量。 每一种运算都可以有三种表现形式: 图形、 符号、 坐标语言。 主要内容列表如下: 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? 加法与减法 OA ? OB ? OC 记 OA ? (x , y ),OB ? (x , y )

??? ? ???? ??? ? OB ? OA ? AB

???? ??? ? ??? ? OA ? AB ? OB
实数与向量 的乘积 两个向量的 数量积

1 1 2 2 ???? ??? ? 则 OA ? OB ? (x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ??? ? ???? OB ? OA ? (x2 ? x1 , y2 ? y1 )

??? ? ? AB ? ? a ??R
? ? ? ? a ? b ?| a || b | ? ? cos ? a, b ?

记 a ? (x, y) 则 ?a ? (?x, ?y) 记 a ? (x1 , y1 ),b ? (x 2 , y2 )

?

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? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2

运算律

加法: a ? b ? b ? a,(a ? b) ? c ? a ? (b ? c)

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? ? ? ? ? ?

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实数与向量的乘积: ?(a ? b) ? ?a ? ?b;(? ? ?)a ? ?a ? ?a, ?(?a) ? (??)a

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两个向量的数量积: a ? b ? b ? a; (?a) ? b ? a ? (?b) ? ?(a ? b),(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c 说明:根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正 确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,例如 (a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b 3. 重要定理、公式

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? ? ? ?

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?2

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?2

(1)平面向量基本定理:如果 e1 ? e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于该平面内任 一向量 a ,有且只有一对数数 ?1 , ?2满足a=?1 e1 ? ?2 e2,称?1 e1 ? ?2 e2为e1 ,e2 的线性组 合。 根据平面向量基本定理,任一向量 a 与有序数对(λ 1,λ 2)一一对应,称(λ 1,λ 2)为 a 在基 底 {e1 , e2 } 下的坐标,当取 {e1 , e2 } 为单位正交基底 {i, j} 时定义(λ 1,λ 2)为向量 a 的平面直 角坐标。 向量坐标与点坐标的关系:当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,即若 A(x,y), 则 OA ? (x, y) ;当向量起点不在原点时,向量 AB 坐标为终点坐标减去起点坐标,即若

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A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB ? (x2 ? x1 , y2 ? y1 ) (2)两个向量平行的充要条件 符号语言:若 a // b,a ? 0 ,则a=?b

??? ?

? ? ?

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?

?

?x1 =?x 2 ,若 ? y1 =?y2 ? ? ? ? x1y2-x2y1=0 在这里,实数λ 是唯一存在的,当 a与b 同向时,λ >0;当 a与b 异向时,λ >0。 ? ? ? ? ? |a| | ? |? ? ,λ 的大小由 a及b 的大小确定。因此,当 a, b 确定时,λ 的符号与大小就确定了。 |b|
坐标语言:设 a ? (x1 , y1 ), b ? (x 2 , y 2 ),则a//b ? (x1 ,y1 )=?(x 2 ,y 2 ),即 ?

?

?

? ?

这就是实数乘向量中λ 的几何意义。 (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言: a ? b ? a ? b ? 0

?

?

? ?

坐标语言:设 a ? (x1 , y1 ),b ? (x 2 , y2 ),则a ? b ? x1x 2 +y1y2 =0 (4)线段定比分点公式 如图,设 P 1P ? ?PP 2

?

?

?

?

??? ?

????
??? ? ? 1 ???? ? ???? OP1 ? OP2 1? ? 1? ?

则定比分点向量式: OP ?

定比分点坐标式:设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2)

x ? ?x 2 ? x? 1 ? ? 1? ? 则? ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ? ?
特例:当λ =1 时,就得到中点公式:

x ? x2 ? x1 ? 1 ??? ? 1 ???? ???? ? ? ? 2 OP ? (OP1 ? OP2 ), ? 2 ? y ? y1 ? y 2 1 ? ? 2

实际上,对于起点相同,终点共线三个向量 OP,OP 1 ,OP 2 (O 与 P1P2 不共线),总有 系数和为 1。 (5)平移公式: ①点平移公式, 如果点 P(x, y)按 a ? (h, k) , 平移至 P'(x', y'), 则?

??? ? ???? ????? ?

??? ? ???? ???? ? OP ? uOP1 ? vOP2 ,u ? v ? 1,即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量,且
?
' ? x h? ?x 分别称(x,y),(x',y') ' ? y k? ?y

为旧、新坐标, a 为平移向量 在点 P 新、旧坐标及平移法则三组坐标中,已知两组坐标,一定可以求第三组坐标 ②图形平移:设曲线 C:f(x,y)=0 按 a ? (h, k) 平移,则平移后曲线 C'对应的解析式为 f(x-h,y-k)=0 利用平移变换可以化简函数解析式,从而便于研究曲线的几何性质 4. 向量既是重要的数学概念,也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直,线线平 行,求夹角等,特别是直角坐标系的引入,体现了向量解决问题的“程序性”特点。 [本周例题] 一. 向量的有关概念与运算 此类题经常出现在选择题与填空题中, 在复习中要充分理解平面向量的相关概念, 熟练掌握 向量的坐标运算、数量和运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件、定比分点公式、平移公 式。

?

?

例 1. 已知 a=(5,4),b=(3,2),则与 2a-3b 平行的单位向量为_____ [点拨]与一个非零向量 a 共线的单位向量有两个:与 a 同向的单位向量 e1 ? 的单位向量 e 2 ? ?

a ,与 a 反向 |a|

a ,求与已知向量平行的向量常用坐标运算。 |a|

[解析]法一:∵2a-3=2(5,4)-3(3,2)=(1,2)

? | 2a ? 3b |? 5
?e ? ? 2a ? 3b (1, 2) 5 2 5 ?? ? ?( , ) | 2a ? 3b | 5 5 5

法二:令 e=(x,y) ∵2a-3b=(1,2),且 e 与 2a-3b 平行 ∴x-2y=0,①又∵x2+y2=1② 由①②解得 e ? ?(

5 2 5 , ) 5 5

[变式练习]已知 b 是 a=(-3,4)垂直,且|b|=15,求 b 答案:(12,9)或(-12,-9) 例 2. 已知|a|=1,|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°,x=2a-b,y=3b-a,则 x 与 y 的夹角是多少? [点拨]要计算 x 与 y 的夹角,需求出|x|,|y|,x·y 的值,可利用|x|2=x2 求解。 [解析]由已知|a|=|b|=1,a 与 b 的夹角为 60°,得 a ? b ?| a | ? | b | cos ? ?

1 2

1 ?| x |2 ? x 2 ? (2a ? b) 2 ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 4 ? 4 ? ? 1 ? 3 2 1 | y |2 ? y 2 ? (3b ? a) 2 ? 9b 2 ? 6a ? b ? a 2 ? 9 ? 6 ? ? 1 ? 7 2 3 x ? y ? (2a ? b) ? (3b ? a) ? 7a ? b ? 2a 2 ? 3b 2 ? ? 2 3 又? x ? y ?| x | ? | y | cos ?,即- = 3 ? 7 cos ? 2 21 21 ? cos ? ? ? , ? ? ? ? arccos 14 14

[点评]①本题利用模的性质|a|2=a2 ②在计算 x,y 的模长时,还可以借助向量加法、减法的几何意义获得: 如图所示,设 AB ? b, AC ? a, AD=2A,?bac=60? 。由向量减法的几何意义,得 [变式练习 1](2004 年高考浙江卷)已知平面上三点 A、B、C 满足

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ???? ??? ? ??? ? BD ? AD ? AB ? 2a ? b 。由余弦定理易得 | BD |? 3,即|x|= 3,同理可得|y|= 7

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (答案: -25) | AB|? 3,| BC |? 4,| CA |? 5, 则AB ? BC ? BC ? CA ? CA ? AB 的值等于_____。
? 5 ?3 5-3 或?> (? ? 1) ) 2 2

[变式练习 2]已知 | a |? 2,| b |? 2 ,a 和 b 的夹角为 45°,求使向量 a+λ b 与λ a+b 的夹 角是锐角时λ 的取值范围。(答案: ? ?

例 3. 已知△ABC 的三个顶点坐标分别是 A(4,1),B(3,4),C(-1,2),BD 是∠ABC 的平分线, 求点 D 的坐标及 BD 的长。 剖析:∵A、C 两点坐标为已知,∴要求点 D 的坐标,只要能求出 D 分 AC 所成的比即可。

??? ?

| BC |? 2 5, |AB= 10, ? D分AC所成的比?= 解:?

??? ?

AD AB 2 = = . DC BC 2

? 2 4? ? (?1) ? 2 x ? ? 9?5 2 ? D 2 ? 1? ? 由定比分点坐标公式,得 ? 2 ? 1? 2 ? yD ? ? 2 2 ? 1? ? ? 2 ∴D 点坐标为 (9 ? 5 2, 2)
?| BD |? (9 ? 5 2 ? 3) 2 ? ( 2 ? 4) 2 ? 104 ? 68 2 .
评述:本题给出了三点坐标,因此三边长度易知,由角平分线的性质通过定比分点可解出 D 点坐标,适当利用平面几何知识,可以使有些问题得以简化。 思考讨论 若 BD 是 AC 边上的高, 或 BD 把△ABC 分成面积相等的两部分,本题又如何求解?请读者 思考 二、平面向量与函数、不等式、三角函数、数列的综合运用 当平面向量给出的形式中含有未知数时, 由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知 数的关系式。在此基础上,可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此 类题的解题思路是转化为代数运算,其转化途径主要有两种: ①利用向量平行或垂直的充要条件, ②利用向量数量积的公式和性质 例 4 已知平面向量 a ? ( 3,1), b ? ( ,

(1)若存在实数 k 和 t,便得 x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb 同,且 x⊥y,试求函数的关系式 k=f(t); (2)根据(1)的结论,确定 k=f(t)的单调区间。 [解析](1)法一:由题意知 x ? (

1 3 ) 2 2

t 2 ? 2 3 ? 3 3t 2 ? 2 3 ? 2 , ) 2 2

1 3 y ? ( t ? 3k, t ? k), 又x ? y 2 2 t2 ? 2 3 ? 3 1 3t 2 ? 2 3 ? 2 3 故x?y ? ? ( t ? 3k) ? ?( t ? k) ? 0 2 2 2 2 1 3 3 整理得:t3-3t-4k=0,即 k ? t ? t 4 4 1 3 法二:? a ? ( 3, ?1), b ? ( , ),? | a |? 2,| b |? 1且a ? b 2 2 1 3 3 ∵x⊥y,∴x·y=0,即-k|a|2+t(t2-3)|b|2=0,∴t3-3t-4k=0,即 k ? t ? t 4 4 1 3 3 3 2 3 (2)由(1)知: k ? f (t) ? t ? t ? k ' ? f '(t) ? t ? . 4 4 4 4
令 k'<0 得-1<t<1;令 k'>0 得 t<-1 或 t>1 故 k=f(t)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区是(-∞,-1)和(1,+∞). [点评]第 1 问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:一是利用向量的坐标运算分别 求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量的垂直的充要条件, 其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化, 值得注意)。第 2 问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运 用。

1 3 ) ,若存在不为零的实数 k 和角α ,使向 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 量 c ? a ? (sin ? ? 3)b,d ? ?ka ? (sin ?)b ,且c ? d ,试求实数 k 的取值范围。 ? 1 ? (答案: ? ? , 0 ? ? ? 0,1? ) ? 2 ? ? ? 2 3 [变式练习 2]已知向量 a ? (x, x ? 4),向量b=(x , x),x ? [-4,2] 2 ? ? ? ? ? ? (1)试用 x 表示 a ? b ;(2)求 a ? b 的最大值,并求此时 a ? b 夹角的大小。 ? ? 3 2 10 3 (答案:(1) a ? b ? x ? x ? 6x ,(2)最大值为 10,此时 x=-2, ? ? arccos ) 2 10 例 5 已知 a ? (cos ?,sin ?, b ? (cos ?,sin ?)(0 ? ? ? ? ? ?)
[变式练习 1]已知平面向量 a ? ( 3, ?1), b ? ( , (1)求证:a+b 与 a-b 互相垂直; (2)若 ka+b 与 a-kb 的大小相等(k∈R,且 k≠0,)求β -α (1)证法一:? a ? (cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?)

?

?

?a ? b ? (cos ? ? cos ?,sin ? ? sin ?),a ? b ? (cos ? ? cos ?,sin ? ? sin ?) ? (a ? b) ? (a ? b) ? (cos ? ? cos ?,sin ? ? sin ?) ? (cos ? ? cos ?,sin ? ? sin ?)

? cos2 ? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? sin 2 ? ? 0
∴(a+b)⊥(a-b) 证法二:? a ? (cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?)

?(a ? b) ? (a ? b) ? a 2 ? b2 ?| a |2 ? | b |2 ? 0
∵|a|=1,|b|=1 ∴(a+b)⊥(a-b) | a |? 1,| b |? 1 证法三:? a ? (cos ?,sin ?), b ? (cos ?,sin ?),? 记 OA ? a,OB ? b,则|OA|=|OB|=1 又α ≠β ,∴O、A、B 三点不共线。 由向量加、减法的几何意义,可知以 OA、OB 为邻边的平行四边形 OACB 是菱形,其中

????

??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ? OC ? a ? b, BA ? a ? b ,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)⊥(a-b)
2 2 2 2

(2)解:由已知得|ka+b|与|a-kb| 又? | ka ? b | ? (k cos ? ? cos ?) ? (k sin ? ? sin ?) ? k ? 1 ? 2k cos(? ? ?)

| ka ? b |2 ? (cos ? ? k cos ?)2 ? (sin ? ? ksin ?)2 ? k 2 ? ?2k cos(? ? ?) ? 2k cos(? ? ?) ? ?2k cos(? ? ?)
又∵k≠0, ∴cos(β -α )=0 ∴0<β -α <π ∵0<α <β <π

?? ? ? ?

? 2

点评:本题是以平面向量的知识为平台,考查三角函数的有关运算,同时也体现了向量垂直 问题的多种证明方法,常用的方法有三种,一是根据数量积的定义证明,二是利用数量积的 坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明。 例 6. (2002 年全国高考新课程卷)已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使

???? ???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于零的等差数列。
???? ??? ?

(Ⅰ)点 P 的轨迹是什么曲线?

(Ⅱ)若点 P 坐标为(x0,y0),记θ 为 PM与PN 的夹角,求 tanθ [分析]本题依托向量把解析几何、三角、数列等知识很自然地融于一体,既考查了向量的长 度、角度、数量积,又考查了轨迹方程、等差数列及同角三角函数间关系等重点知识,可谓 一举多得。

[略解](Ⅰ)设点 P(x,y),分别计算出 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 由题意,可得点 P 的轨迹方程是 x2+y2=3(x>0) 故点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3 为半径的右半圆。
2 0 2 0

???? ???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ?

???? ??? ? PM ? PN 1 ?= (Ⅱ)由为(Ⅰ)知, x ? y ? 3(x 0 ? 0),可得 cos ?= ???? ??? 2 |PM||PN| 4-x 0
又 x 0 ? (0, 3), ? cos ?=
2

?1 ? ? ?? ? ? ,1? ,即?? ?0, ? 2 ?2 ? ? 3? 4-x 0 1

2 3 ? x0 | y0 | 1 sin ? ? ? ,? tan ? ? ?| y 0 | 2 2 2 4 ? x0 4 ? x0 cos ? 4 ? x0 ???? ???? ? ???? ??? ? ???? ? ??? ? [变式练习]已知两个 M(-1,0),N(1,0),点 P 使 MP ? MN, PM ? PN, NM ? NP 成公差小于零的 ??? ? 等差数列,且向量 PN与a=(1,0) 垂直,求点 P 的坐标。

于是 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ?

(答案: P ? (1, 2)或(1, - 2) ) 例 7. 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足

??? ? ???? ??? ? OC ? ?OA ??OB ,其中α ,β ∈R 且α +β =1,则点 C 的轨迹方程为(
2 2

)

A. 3x+2y-11=0 B. (x-1) +(y-2) =5 C. 2x-y=0 D. x+2y-5=0 [分析]本题主要考查向量的运算(几何形式或坐标形式)及直线的方程,把向量联系起来,使 问题立意更新,情景更好,内容更丰富。 [解法 1]设 C(x,y)则 (x, y) ? (3?, ?) ? (??,3?) ? (3? ??, ? ? 3?)

? x ? 3? ? ? ?? 又?+?=1 ? y ? ? ? 3? ? y ? 4? ? 1 ?? ? y ? ?2x ? 3
消去参数α ,得点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0 [解法 2]利用向量的几何运算,考虑定比分点公式的向量形式,结合条件知:A,B,C 三点 共线,故点 C 的轨迹方程即为直线 AB 的方程 x+2y-5=0,故本题应选 D。 [本周练习] (一)选择题 1. 平面内三点 A(0-3),B(3,3),C(x,1),若 AB // BC ,则 x 的值为( A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 2. 平面上 A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),C 点满足 AC ?

??? ? ??? ?
??? ?

)

??? ? 1 ??? ? | CE |? | ED | ,则点 E 坐标为( ) 4 5 8 11 11 A. ( ?8, ? ) B. ( ? , ) C. (0,1) D. (0,1)或(2, ) 3 3 3 3 ? ? 3. 点(2,-1)沿向量 a 平移到(-2,1),则点(-2,1)沿 a 平移到:( )

? 1 ??? CB ,连 DC 并延长至 E,使 2

A. (2,-1) B. (-2,1) C. (6,-3) D. (-6,3) 4. △ABC 中,2cosB·sinC=sinA,则此三角形是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等边三角形 D.以上均有可能 5. 设 a,b,c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则(

???

? ?? ? ? ? ① (a ? b)c ? (c ? a)b ? 0

? ? ? ? ② | a | ? | b |?| a ? b |

)

③ (b ? c)a ? (c ? a)b不与c垂直 ④ (3a ? 2b) ? (3a ? 2b) ? 9 | a |2 ?4 | b |2 中,真命题是: A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 6. △ABC 中,若 a 4 ? b4 ? c4 ? 2c2 (a 2 ? b2 ) ,则∠C 的度数是( A. 60° B. 45°或 135° C. 120° D. 30° )

? ??

? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ? ? a b 7. △OAB 中, OA ? a, OB=b,OP=p,若p=t( ? + ? ),t ? R ,则点 P 在( |a| |b|
A. ∠AOB 平分线所在直线上 B. 线段 AB 中垂线上 C. AB 边所在直线上 D. AB 边的中线上 8. 正方形 PQRS 对角线交点为 M,坐标原点 O 不在正方形内部,且

)

??? ? ??? ? ???? ? OP ? (0,3),OS ? (4,0), 则RM=( 7 1 7 1 A. ( ? , ? ) B. ( , ) 2 2 2 2
(二)填空题

)
C. (7,4) D. ( , )

7 7 2 2

9. 已知 {e1 ,e2 } 是平面上一个基底,若 a ? e1 ? ?e2 ,b=-2?e1 -e2,若a,b 共线,则λ =____ 10. 已知 | a |? 6 3,| b | ?1,a ?b ? ?9,则 a与 b 的夹角是______ 11. 设 e1 ,e2 是两个单位向量,它们夹角为 60°,则

?? ?? ?
?

?

??

?? ??

?? ?? ?

??

?

? ?

? ?

?? ?? ?

?? ?? ? ?? ?? ? (2e1 ? e2 ) ? (?3e1 ? 2e2 ) ? ____________ ? ? 12. 把函数 y=cosx 图象沿 b ? (2k? ? ,1)(k ? Z) 平移,得到函数____的图象。 2
(三)解答题 13. 设 OA ? (3,1),OB ? (?1, 2),OC ? OB, BC// OA ,试求满足 OD ? OA ? OC 的OD 坐 标,其中 O 为坐标原点。 14. 若 a ? b ? (2, ?8),a ? b ? (?8,16),求a,b及a与b 夹角θ 的余弦值。 15. 已知 | a |? 2,| b | ? 3,a 和 b 夹角为 45°,求当向量 a ? ?b与?a+b 夹角为锐角时,λ 的取值范围。 参考答案 (一)1.C 2.B 3.D 4.B 5.D 6.B 7.A 8.A

????

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ????

???? ????

??? ? ????

? ?
?

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?

?

? ?

5 9 ? 11. ? 12. y=sinx+1 6 2 ? ? 63 (三)13. (11,6) 14. a ? (?3, 4), b ? (5, ?12), ? 65 11 ? 85 -11+ 85 15. ? ? 或?> ,且? ? 1 6 6
(二)9. ?

2 2

10.


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