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广东省五校协作体2017届高三上学期第一次联考理科数学试题(含答案)


广东省五校协作体 2017 届高三第一次联考试卷

理科数学
命题学校:广州市真光中学 命题:金明 审题:钟三明 2016.12 本试卷共 23 题(含选做题) 。全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x | 2 x 2 ? 5 x ? 3 ≤ 0} , B ? {x ? Z | x ≤ 2} ,则 A ? B 中的元素个数为( D.5 a ? i 2016 2.已知 a 为实数,若复数 z ? (a 2 ? 1) ? (a ? 1)i 为纯虚数,则 的值为( 1? i A.1 B.0 C. 1 ? i D. 1 ? i 3.下列命题错误的是( ) A.若 p ? q 为假命题,则 p ? q 为假命题 B.若 a, b ? ? 0,1? ,则不等式 a 2 ? b 2 ?
1 ? 成立的概率是 4 16

)

A.2

B.3

C.4

)

C.命题“ ?x ? R 使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0 ” D.已知函数 f ( x) 可导,则“ f ?( x0 ) ? 0 ”是“ x0 是函数 f ( x) 的极值点”的充要条件 4.从 1 至 9 共 9 个自然数中任取七个不同的数,则这七个数的平均数是 5 的概率为( 2 A. 3 B. 1 3 1 C. 9 )
??? ? ???? 1 ??? ? D. BD ? AC ? AB 2

)

1 D. 8

??? ? ???? 5.设 D 是 △ABC 所在平面内一点, AB ? 2 DC ,则(

??? ? ???? 3 ??? ? A. BD ? AC ? AB 2

??? ? 3 ???? ??? ? B. BD ? AC ? AB 2

??? ? 1 ???? ??? ? C. BD ? AC ? AB 2

6.已知点 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线 a 2 b2


与双曲线交于 M , N 两点,若 MF 1 ? NF 1 ? 0 ,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是( A. ( 2, 2 ? 1) 7.已知 ? ? ( B. (1, 2 ? 1) C. (1, 3) D. ( 3, ??) )

???? ? ????

, ) , a ? (cos? ) cos? , b ? (sin? ) cos? , c ? (cos? )sin ? ,则( 4 2 A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? a ? c D. c ? a ? b

? ?

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 8.不等式组 ?3 x ? y ? 3 ? 0 的解集记为 D ,有下面四个命题: ? x ? 2 y ?1 ? 0 ?

p1 : ?( x, y) ? D, 2 x ? 3 y ? ?1 ;
p3 : ?( x, y ) ? D, y ?1 1 ? ; 2? x 3


p2 : ?( x, y) ? D, 2 x ? 5 y ? ?3 ;

p4 : ?( x, y) ? D, x2 ? y 2 ? 2 y ? 1 .

其中的真命题是( A. p1 , p2

B. p2 , p3

C. p2 , p4

D. p3 , p4 取得极大 果 错误! 未找

9.已知函数错误!未找到引用源。 ,在错误!未找到引用源。处 值,记错误!未找到引用源。,程序框图如图所示,若输出的结

S?

2016 错误!未找到引用源。 ,则判断框中可以填入的关于 2017

到引用源。的判断条件是( ) A . n ? 2016 ? 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 B. n ? 2017 ? C. n ? 2016 ? D. n ? 2017 ? 10.已知方程

cos x x

? k 在 (0, ? ?) 上有两个不同的解
1 ) 1 1

? , ? (? ? ? ) ,则下面结论正确的是(
A. tan( ? ?

?
4

)?

? ?1 ? ?1

B. tan( ? ?

?
4

)?

? ?1 ? ?1

正视图

侧视图

? ?1 C. tan(? ? ) ? 4 ? ?1

?

? ?1 D. tan(? ? ) ? 4 ? ?1

?

2 2
俯视图

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A.





(10 ? 2 2)? (11 ? 2)? (11 ? 2 2)? 13? B. C. D. ?1 ?1 ?1 2 2 2 6 12.已知函数 f ( x) ? x(ln x ? ax) 有极值,则实数 a 的取值范围是( )
1? ? A. ? ??, ? 2? ? ? 1? B. ? 0, ? ? 2? 1? ? C. ? ??, ? 2? ? ? 1? D. ? 0, ? ? 2?

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 ,则 的展开式中常数项为____.

14. 已知向量 a =(1, 3 ) , b =(3, 量 a 与 b 夹角为_________.

?

?

m) ,且 b 在 a 上的投影

?

?

为 3,则向

?

?

15. 如图所示,在一个坡度一定的山坡 AC 的顶上有一高度为 25m 的建筑物 CD,为了测量该山坡相对 于水平地面的坡角 θ , 在山坡的 A 处测得∠DAC=15°, 沿山坡前进 50m 到达 B 处, 又测得∠DBC=45°, 根据以上数据可得 cos ? = . 16. 两圆 x2 ? y 2 ? 2ax ? a 2 ? 4 ? 0 和 x2 ? y 2 ? 4by ?1 ? 4b2 ? 0 恰有三条公切线, 若 a ? R, b ? R 且

ab ? 0 ,则

1 1 ? 2 的最小值为 2 a b



三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2an ? a1 ,且 a1 , a2 ? 1, a3 成等差数列. 求数列 (Ⅰ)

{an } 的通项公式;
a n ?1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . S n S n ?1

(Ⅱ)设 bn ?

18. (本小题满分 12 分)下图是某市 11 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI) 小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 11 月 1 日至 11 月 12 日中的某一天到达该市,并停留 3 天.

(Ⅰ)求此人到达当日空气质量重度污染的概率; (Ⅱ)设 ? 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 ? 的分布列与数学期望.

F 19. (本小题满分 12 分)如图,菱形 ABCD 中,∠ABC = 60°,AC 相交于点 O,AE⊥平面 ABCD,CF∥AE,AB = AE = 2. (Ⅰ)求证:BD⊥平面 ACFE; (Ⅱ)当直线 FO 与平面 BED 所成角的为 45°时,求异面直线 OF 所成的角的余弦值大小. E D O A B C 与 BD

与 BE

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等 a 2 b2 腰直角三角形, 直线 x ? y ? 1 ? 0 与以椭圆 C 的右焦点为圆心, 以椭圆的长半轴长为半径的圆相切. (Ⅰ)
20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C : 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 M(2,0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 S 和 T ,若椭圆 C 上存在点 P 满足 ,求实数 t 的取值范围. OS ? OT ? t OP (其中 O 为坐标原点)

21. (本小题满分 12 分)已知函数错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . (Ⅰ)记错误!未找到引用源。 ,判断错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。内的零 点个数并说明理由; (Ⅱ)记错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。内的零点为错误!未找到引用源。 ,错误! 未找到引用源。 ,若错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 )在错误!未找到引用源。内有两 个不等实根错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 (错误!未找到引用源。 ) ,判断错误!未 找到引用源。与错误!未找到引用源。的大小,并给出对应的证明.

(选考题)请考生在第(22) 、 (23)二题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答 时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 22. (本小题满分 10 分) (选修 4-4:坐标系与参数方程)在平面直角坐标系下,直线 l : ? 2 ? y? t ? ? 2
( t 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴为非负半轴为极轴,取相同长度单位建立极坐标系,曲线 C 的 极坐标方程为 ? ? 4 cos ? ? 0 . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,求 AB 的值. 23.(本小题满分 10 分) (选修 4-5:不等式选讲)已知函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)若 a ? 1 ,解不等式: f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ?0 ,2? ,

1 1 ? ? a ?m ? 0 , n ? 0? ,求 mn 的最小值. m 2n

广东省五校协作体 2017 届高三第一次联考

理科数学参考答案及评分细则
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) BDDCA BDCBD CA 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ? 32 14.

? 6

15. 3 ? 1

16. 1

三、解答题(第 17-21 题每题 12 分,第 22,23 题每题 10 分) 17.解:(I)由 S n ? 2an ? a1 , 当 n≥2 时, S n?1 ? 2an?1 ? a1 , ∴ an ? 2an ? 2an?1 , 化为 an ? 2an?1 . ??????????2 分 ??????????1 分

由 a1,a2+1,a3 成等差数列. ∴2(a2+1)=a1+a3, ??????????3 分 ∴2(2a1+1)=a1+4a1, 解得 a1=2. ??????????4 分 ∴数列{an}是等比数列,首项为 2,公比为 2. ∴an=2n. ??????????6 分 (II)an+1=2n+1,Sn= =2n+1﹣2,Sn+1=2n+2﹣2. ???8 分

bn=

=

=



???10 分

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=

+

+?+

=



??? 12 分

18.解:设 Ai 表示事件“此人于 11 月 i 日到达该市”( i =1,2,?,12). 依题意知, P ( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) .--------------------------2 分 12

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则 B ? A 1 ? A2 ? A 3?A 7 ?A 12 , 所以

P( B) ? P( A1 ? A2 ? A3 ? A7 ? A12 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A7 ) ? P( A12 ) ?
即此人到达当日空气质量重度污染的概率为

5 . 12

5 .-----------------------------5 分 12

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 且-----------------------------6 分 P( ? =0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)= P( ? =2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

3 1 ? ,-------------------7 分 12 4

2 1 ? ,-------------------------------8 分 12 6 2 1 ? ,-------------------------------9 分 P( ? =3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) = 12 6 1 1 1 5 P( ? =1)=1-P( ? =0)-P( ? =2)-P( ? =3)= 1 ? ? ? ? ,--------------10 分 4 6 6 12 5 (或 P( ? =1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)= ) 12
所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

5 12

1 6

1 6

-----------------------------------------11 分

故 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .---------------------12 分 4 12 6 6 4

19.解(Ⅰ)证明:? 四边形 ABCD 是菱形, -------------------2 分 ? BD ? AC . ? AE ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD -------------------2 分 ? BD ? AE . ? AC ? AE ? A , ∴ BD ? 平面 ACFE. -------------------5 分 (Ⅱ) 解: 以 O 为原点, OA, OB 为 x, y 轴正向, z 轴过 O 且平行于 CF, 建立空间直角坐标系, 则 B(0, 3, 0) ,
uuu r D(0, ? 3,0) , E (1,0, 2) , F (?1,0, a)(a ? 0) , OF ? ? ?1, 0, a ? --6 分

设平面 EBD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , uuu r ? ? ?n ? OB ? 0 ? 3y ? 0 r 则有 ? uuu ,即 ? 令 z ? 1 ,则 n ? (?2, 0,1) x ? 2 z ? 0 n ? OE ? 0 ? ? ? ?
uuu r uuu r | OF ? n | 由题意得 sin 45 ?| cos ? OF , n ?|? uuu ? r | OF || n |
o

-----------8 分

|2?a| a2 ? 1 5

?

2 1 ,解得 a ? 3 或 ? . 3 2

由 a ? 0 ,得 a ? 3

------10 分

??? ? ??? ? OF ? (?1, 0,3), BE ? (1, ? 3, 2), ???? ? ??? ? ?1 ? 6 5 cos OF , BE ? ? 4 10 8
即所求的异面直线所成的角余弦值为

5 ---------------------12 分 4

20 .解: (Ⅰ)由题意,以椭圆 C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为

( x ? c) 2 ? y 2 ? a 2 ,
∴圆心到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

c ?1 ? a (*)--------------------1 分 2

∵椭圆 C 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形, ∴ b ? c , a ? 2c , 代入(*)式得 b ? c ? 1 , ∴ a ? 2b ? 2 ,

x2 ????????????4 分 ? y 2 ? 1. 2 (Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 方程为 y ? k ( x ? 2) ,设 P ? x0 , y0 ? ,
故所求椭圆方程为 将直线方程代入椭圆方程得: (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 2 ? 0 ,

1 . 2 8k 2 8k 2 ? 2 设 S ( x1 , y1 ) , T ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , -----------6 分 , x1 x2 ? 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2 4k ∴ y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 4) ? ? 1 ? 2k 2 uur uuu r uuu r 由 OS ? OT ? tOP ,得 tx0 ? x1 ? x2 , ty0 ? y1 ? y2
∴ ? ? 64k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(8k 2 ? 2) ? 0 ,解得 k 2 ?

uur uuu r uuu r 当 t ? 0 时,直线 l 为 x 轴,则椭圆上任意一点 P 满足 OS ? OT ? tOP ,符合题意; ? 8k 2 tx0 ? ? ? 1 ? 2k 2 当 t ? 0 时, ? ?ty ? ?4k 0 ? 1 ? 2k 2 ? 2 1 8k 1 ?4k ∴ x0 ? ? , y0 ? ? .--------------------------------9 分 t 1 ? 2k 2 t 1 ? 2k 2 32k 4 16k 2 将上式代入椭圆方程得: ? ?1, 2 2 t 2 ?1 ? 2k 2 ? t 2 ?1 ? 2k 2 ?

整理得: t 2 ?

16 16k 2 = 是 k 2 的递增函数, 2 1 1 ? 2k ?2 k2

1 知, 0 ? t 2 ? 4 ,所以 t ? ( ?2, 0) U (0, 2) , 2 综上可得 t ? (?2, 2) . -----------------------------------12 分

由 k2 ?

21.解(1)证明:错误!未找到引用源。 ,定义域为错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 而错误!未找到引用源。 ,故错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。在错误!未找到引用 源。上单调递增, ????2 分

又错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,而错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。 上连续,故根据根的存在性定理有:错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。有且仅有 唯一实根 ??????4 分

显然当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。因而错误!未找到 引用源。单增;当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,因而 错误!未找到引用源。递减;错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。有两不等实根错误! 未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ????7 分 显然当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。 ,下面用分析法给出证明.要证:错误!未 找到引用源。即证错误!未找到引用源。 ,而错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上递减, 故可证错误!未找到引用源。 ,又由错误!未找到引用源。 ,即证错误!未找到引用源。 ,即错误!未 找到引用源。 ,????9 分 记错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,其中错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 , ????10 分 记错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,当错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用 源。 ;错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。故错误!未找到引用源。 ,而错误!未找到 引用源。故错误!未找到引用源。 ,而错误!未找到引用源。 ,从而错误!未找到引用源。 ,因此错误! 未找到引用源。 ,????11 分 即错误!未找到引用源。单增.从而错误!未找到引用源。时,错误!未找到引用源。即错误!未 找到引用源。 , 故错误!未找到引用源。得证 ????12 分 22. (本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,??????????????????????2 分 由 ? ? 4cos ? ? 0 ? ? 2 ? 4? cos ? ? 0 ? x2 ? y2 ? 4x ? 0 ? ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,
2

即曲线 C 的直角坐标方程为 ? x ? 2? ? y2 ? 4 ,??????????????????????5
2

分 (Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程得

? 2 ? ? 2 ? ,即 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 , t ? 1 ? ? ? 2 ? ?? ? 2 t? ? ?4 ? ? ? ?
设方程 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 的两根分别为 t1 ,t2 ,则

2

2

AB ? t1 ? t2 ?

? t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 14 .?????????????????10 分

23.(本题满分 10 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,不等式为 x ? 1 ? 4 ? x ? 1 ,即 x ? 1 ? 2 , ∴ x ? 1 ? 2 或 x ? 1 ? ?2 ,即 x ? 3 或 x ? ?1 ,
? 1] ? [3 , ? ?) ;?? ???????????????????5 分 ∴原不等式的解集为 (?? ,

(Ⅱ) f ? x ? ? 1 ? x ? a ? 1 ? ?1 ? x ? a ? 1 ? a ? 1 ? x ? a ? 1 , ∵ f ? x ? ? 1 的解集为 ?0 ,2?
?a ? 1 ? 0 ? a ? 1 ?????????????????????????7 分 ∴? ?a ? 1 ? 2



1 1 1 ? ?1? 2 ? m ? 0 ,n ? 0 ? , m 2n 2mn

1 1 1 ? ? 即 m ? 2 ,n ? 1 时取等号) m 2n 2 ∴ mn 的最小值为 2.?????????????????????????10 分
∴ mn ? 2 (当且仅当 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org


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