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人教A版选修2-1《空间向量的数量积运算》导学案


科目:高二数学选修 2-1 导学案

编制日期:2013 年 12 月 20 日

第三章第 3 课时
学习目标:
1、 2、 3、

空间向量的数量积运算

?

?

变形式:cos< a , b >=

掌握空间向量夹角的概念及表示方法; 掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及简单应用。 体会空间问题平面化的数学思想。

? ? 特别地:①零向量与任何向量的数量积为 0,即 0×a =0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a ×a = a a cos狁, a = | a |2 a ^ b圩 a b = 0 ② ③
3、空间向量数量积的运算律:



预习案
一、?教材助读,知识归纳: 1、两个向量的夹角:

??? 取值范围: 定义:两个非零向量a, b,
平面向量的夹角

? ? a)×b = ? ? ② a ?b
① (l ③

(数乘的结合律)
(交换律)

? ? ? a?(b c) =

(分配律)

在平面任取一点O,

???? ? ??? ? ? 作OA=a, , OB=b ??? 则?AOB叫作a, b的夹角.
定义: 空间向量的夹角 取值范围:

反馈练练习:

? ? ? 2 b 1. 已知| a |= 2 2 , b = , a × =- 2 ,则 a , b 所夹的角为 2
2.判断正误
1) 若a?b



? ?

? ? ? ? ? ? b (b 2) (a鬃) c = a 鬃 c) ? 2 ?2 ? ? ? 2 ? p q 3) p ?q

? ?? ? 0, 则a=0 b=0. ,

( ( (

) ) )

课堂探究案
? ? ? ?

( )

< a , b >=0 时, a 与 b 的方向
? ? ? ?

;< a , b >= ? 时, a 与 b 的方向 。

?

?

?

?

二、?例题讲解,合作探究: 。 探究 1.问题解决

夹角问题

特别地:如果< a , b >=

则称 a 与 b 互相垂直,并记作 ? ? 思考:对于空间任意两个非零向量 a 、 b ,如何求出其夹角? 2.两个向量的数量积 平面向量的数量积 空间向量的数量积

邪 B 例 1.如图, 在空间四边形 ABCD 中, AC=3, 2 3 , AD= AB=2, CD=3, BAD=30 ,邪 AC=60 ,

??? ???? ? ??? ? (1) 用AC、 表示DC 。 AD
??? ??? ? ? (2)求 AC ×BD
??? ? ???? (3)求 AB 与 DC 夹角的余弦值 。

?? ? ? ?? ?? 已知两个非零向量a, b,则 a b cos a, 叫做a, b b的数量积.

- 1 -

科目:高二数学选修 2-1 导学案

编制日期:2013 年 12 月 20 日

变式训练.如图,在正三棱柱 ABC- A1B1C1 中,若 AB= ???? ???? ???? ? ? ? ???? ??? ? ? 求(1) 用AB 、 、 1表示AB1, 1 AC AA BC ????? ???? ? ? (2) AB1 与BC1所成的角.

2B1B ,

三、?知识再现,归纳总结 1 空间向量的数量积具有平面向量数量积的运算性质. 2 两向量数量积的应用:
? ? ? ?
? ?

a ①利用| a |2 = a · (也就是| a |= a×a ) ,求解有关线段的长度问题.
? ?

?

②利用 cos< a , b >=

a×b

,求解有关两直线的夹角问题.

| a || b |

当堂检测:

? ? ? ? a ×b = 1、已知| a |=2,| b |=3,< a , b >=60 ,则 | a -2 b |= ? ? 2 ? 2 b 2、已知| a |= 2 , b = , a× = ,则 a , b 所夹的角为
? ?
o



探究 2.问题解决距离问题 例 2. 已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都等于 1, 求对角线 AC1 的长。

。 2 2 3、线段 AB,BD 在平面 ? 内,BD ^ AB,线段 AC ^ ? ,且 AB=a,BD=b,AC=c,求 C,D 间的距离。

4. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求A1B与B1C的夹角.

变式训练.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=4,AD=3,AA1=5, ?BAD =90o,

D1 A1 D B1

C1

?BAA1 = ?DAA1 =60o,求 AC1 的长。

C

A

B

- 2 -


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