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江苏省扬州中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试卷 (1)


江苏省扬州中学 2017-2018 学年高一数学第一学期期中考试
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分)
1 . 已 知 集 合 A ? ?0,1,2,3?, B ? ?2,3,4,5? , 全 集 U ? { 0 , 1 , 2 , , 3 则, 4 , 5 }

(CU A) ? B ? _______.
2.函数 f ( x) ?

1? x 的定义域是 x

.

3.已知幂函数 f ( x) ? x? 的图像经过点 ( 2, 2) ,则 f (2) ? 4.已知 a ? 23.5 , b ? 22.5 , c ? 33.5 ,请将 a, b, c 按从小到大的顺序排列 5. 已知 f ( x ? 1) ? e x ,则 f (?1) ? 6. 已知扇形的中心角为 .

. .

? ,所在圆的半径为 10cm ,则扇形的弧长等于 3

cm .

7. 函数 y ? loga ? x ?1? ? 2(a ? 0且a ? 1) 的图像恒过定点 A ,则 A 的坐标为__ ___. 8.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 2ax, x ? 2 ?2 x ? 1, x ? 2

,若 f ( f (1)) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是

.

9.设函数 f ( x) ? 2x ? x ? 4 的零点为 x0 ,若 x0 ? ? k , k ?1? 则整数 k ?
x

.

10.已知 f ( x ) 为定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 ? x ,则当 x ? 0 时,

f ( x) ?

.

11.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且在区间 [0, ??) 上单调递增,若实数 a 满足

f (log 2 a) ? f (log 1 a) ? 2 f (1), 则实数 a 的取值范围是
2

.

x ? ?2 ? a ,x ? 2 12 . 设 函 数 f ( x) ? ? , 若 f ( x) 的 值 域 为 R , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 2 ? ?x ? a , x ? 2




2

13.已知函数 f ( x) ?| x ? 4 | ?a | x ? 2 |, x ?[?3,3] ,若 f ( x ) 的最大值是 0 ,则实数 a 的取 值范围是 .

14 . 已 知 m ? R , 函 数 f ( x) ? ?

?| 2x ? 1 |x, ? 1 2 , g ( x) ? x ? 2 x ? 2m ?1 , 若 函 数 log ( x ? 1), x ? 1 ? 2

y ? f [ g ( x)] ? m 有 6 个零点,则实数 m 的取值范围是

.

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
15.(本小题 14 分)
0 ? 1 ?2 ? 3? 3 求值: (Ⅰ) ? 2 ? ? ? ?9.6 ? ? ? 3 ? . ? 4? ? 8? 1 (Ⅱ) lg25 ? lg2 ? lg 0.1 2 1 ? 2

16. (本小题 14 分) 设集合 A ? ? x |

? ?

1 ? ? 2? x ? 4? , B ? ? x | x 2 ? 2mx ? 3m2 ? 0? (m ? 0) 32 ?

(1)若 m ? 2 ,求 A ? B ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围。

17.(本小题 14 分) 某厂生产某种产品的月固定成本为 10(万元), 每生产 x 件, 需另投入成本为 C ( x ) (万元) . 当 月产量不足 30 件时, C ( x ) ?

1 2 x ? x (万元) ;当月产量不低于 30 件时, 6

C ( x) ? 5 x ?

800 ? 50 (万元) .因设备问题,该厂月生产量不超过 50 件.现已知此商品 x ? 20

每件售价为 5 万元,且该厂每个月生产的商品都能当月全部销售完. (1)写出月利润 L (万元)关于月产量 x (件)的函数解析式; (2)当月产量为多少件时,该厂所获月利润最大?

18. (本小题 16 分) 已知函数 f ? x ? ? ln

a?x 是奇函数. 1? x

(1)求实数 a 的值; (2)判断函数 f ( x ) 的单调性,并给出证明.

19. (本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| , g ( x) ? x2 ? 2ax ? 4a ? 2 ,函数 F ? x ? ? min ? f ( x), g( x)? ,其 中 min ? p, q? ? ?

? p, p ? q . q , p ? q ?

(1)若函数 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,求实数 a 的取值范围; (2)已知 a ? 3 ,①求 F ? x ? 的最小值 m ? a ? ; ②求 F ? x ? 在区间 0,6 上的最大值 M ? a ? .

? ?

20. (本小题 16 分) 对于函数 f ( x ) ,若在定义域内存在实数 x ,满足 f (? x) ? ? f ( x) ,则称 f ( x ) 为“局部奇 函数” . (1)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 4a(a ? R) ,试判断 f ( x ) 是否为“局部奇函数”?并 说明理由; (2)若 f ( x) ? 2 x ? m 是定义在区间 [?1,1] 上的“局部奇函数” ,求实数 m 的取值范围; (3) 若 f ( x) ? 4x ? m ? 2x?1 ? m2 ? 3 为定义域 R 上的 “局部奇函数” , 求实数 m 的取值范围.

江苏省扬州中学 2017-2018 学年高一数学第一学期期中考试

一、填空题(5*14=70)
1. {4,5} 2. {x | x ? 1且x ? 0} 3. 4 4. b ? a ? c 5. 1 6.

10 ? 3

7. (0, 2) 8. a ? ? 9. 1 10. 2? x ? x 11. (0,2] 12. a ? ?1 或 a ? 2 13. (??, ?5] 14. 0 ? m ?

3 2

3 5

二、解答题:(14+14+14+16+16+16)
0 ? 9 ?2 ? 27 ? 15.解: (Ⅰ)原式 ? ? ? ? ? ?9.6 ? ? ? ? ?4? ? 8 ? 1 ? 2 3

?

3 4 1 ?1? ? . 2 9 18

(Ⅱ)原式 ? lg25 2 ? lg2 ? lg10

1

?

1 2

3 1 ? 1 ? 3 . ? lg ? 25 2 ? 2 ?10 2 ? ? lg10 2 ? 2 ? ?

16.解:由题知: A ? ?x | ?2 ? x ? 5? , B ? {x | ?3m ? x ? m} (1)当 m ? 2 时, B ? ?x | ?6 ? x ? 2? 所以 A ? B ? {x | ?2 ? x ? 2}

(2)因为 A ? B ,所以 ?

??2 ? ?3m 2 即m ? 3 ?m ? 5

17.解: (1)当 0 ? x ? 30 且 x ? N
2 时, L ? 5 x ? C ( x) ? 10 ? 5 x ? ( x ? x) ? 10 ? ?

1 6

1 2 x ? 4 x ? 10 6

当 30 ? x ? 50 且 x ? N 时,

L ? 5 x ? C ( x) ? 10 ? 5 x ? (5 x ?

800 800 ? 50) ? 10 ? 40 ? x ? 20 x ? 20

? 1 2 ? x ? 4 x ? 10 ? ? 6 所以 L ? ? ?40 ? 800 ? x ? 20 ?

x ? (0,30)且x ? N x ? [30,50]且x ? N

(2)当 0 ? x ? 30 且 x ? N 时, L( x) 在 (0,12) 上递增,在 (12,30) 上递减, 此时 Lmax ? L(12) ? 14 当 30 ? x ? 50 且 x ? N 时, L( x) 在 [30,50] 上递增,此时 Lmax ? L(50) ? 因为 14 ?

40 3

40 ,所以 Lmax ? L(12) ? 14 3

答:当月产量为 12 件时,该厂所获月利润最大.

18. 解: (1)由 f ? x ? ? ln

a?x a?x ?0 得: 1? x 1? x

? ( x ? a)(1 ? x) ? 0 ,? f ( x) 是奇函数,定义域关于原点对称,? a ? 1
此时 x ? (?1,1) , f ? x ? ? ln

1? x 1? x

f ? ? x ? ? ln

1 ? ( ? x) 1? x 1? x ? ln ? ? ln ? ? f ( x) 1 ? ( ? x) 1? x 1? x

故 a ? 1 符合题意. (2) f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递减 证明:在区间 (?1,1) 任取两点 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln

1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? ln ? ln ? ln 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2

? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0 ?1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2
又 x1 , x2 ? (?1,1) ? (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 ?

1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1? ln ?0 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递减.

19.解:(1) a ? 1 (2)令 f ? x ? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2
2

则 f ? x ?min ? f ?1? ? 0 , g ? x ?min ? g ? a ? ? ?a ? 4a ? 2
2

所以 m ? a ? ? {

0,3 ? a ? 2 ? 2 ?a 2 ? 4a ? 2, a ? 2 ? 2
2

.
2

( 3 )当 x ? 1 时, x ? 2ax ? 4a ? 2 ? 2 x ?1 ? x ? 2 ? a ?1?? 2 ? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时,

x2 ? 2ax ? 4a ? 2 ? 2 x ?1 ? 2 ? x ? 2?? x ? 2a ?
所以使得 F ? x ? ? x ? 2ax ? 4a ? 2 成立的 x 的取值范围 2, 2a .
2

?

?

当 0 ? x ? 2 , F ? x ? ? f ? x ? ? max f ? 0 ? , f ? 2 ? ? 2 ? F ? 2 ? 当 2 ? x ? 6,

?

?

F ? x ? ? g ? x ? ? max ? g ? 2 ? , g ? 6 ?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2 ? , F ? 6 ?? ,
所以 M ? a ? ? {

34 ? 8a,3 ? a ? 4 . 2, 4 ? a

20.


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