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天津市静海一中2015届高三数学上学期期末考试试题 理


静海一中 2014-2015 第一学期高三数学(理) 期末终结性检测试卷
考生注意: 1. 本试卷分第Ⅰ卷基础题(122 分)和第Ⅱ卷提高题(28 分)两部分,共 150 分。 2. 试卷书写规范工整,卷面整洁清楚,酌情加减 1-2 分,并计入总分。 知 识 技 能 函数、导数 内容 30 解析 几何 25 数列 立体 学习能力 分类讨论 化归思想 47 27 21 习

惯养成 卷面整洁 总分 150

1-2 分

第 I 卷 基础题(共 122 分) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分)

i 5 (2 ? i ) ,其共轭复数 z 的虚部是( ) 2?i 3 3 3 3 A. B. i C.- D. ? i 5 5 5 5 ? y ? 2x ? 2. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则 x ? 2 y 的最小值是( ) ? y ? ?1 ?
1. 设 i 是虚数单位,复数 z ? A. ?

5 2
2

B.0

C.

5 3

D.

5 2
) D. -280

3 3. 若 ( a ?

2 7 ) 的展开式中 a 3 项的系数为( a
B. -14 C. 280

A. 14

4. 已知某几何体的三视图如图,其中正(主)视图中 半圆半径为 1,则该几何体体积为 ( A. 24 ? ) D. 24 ?

3? 2 3 2 9 5. 某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是 ,则 5

?

B. 24 ?

?

C. 24 ? ?

(

) A. a ? 4

B. a ? 5

C. a ? 6

D. a ? 7
1

6.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 与双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线交于 a2 b2

一点 M (1, m) ,点 M 到抛物线焦点的距离为 3, 则双曲线的离心率等于( A. 3 B. 4 ) C.

1 3

D.

1 4

7.设 loga b 是一个整数,且 log a 给出下列四个结论 ①

1 ? log a b ? log b a 2 b

1 ? b ? a 2 ;② loga b ? logb a ? 0 ;③ 0 ? a ? b ? 1;④ ab ? 1 ? 0 . b

其中正确结论的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4

8.在平面上, AB1 ⊥ AB2 ,| OB1 |=| OB2 |=1, AP = AB1 + AB2 .若| OP |< 则| OA |的取值范围是( ) ? 5 ? ? 5 7? ? ? 7 ? 5? , 0, , 2 , 2 A. ? B . C . D . ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? 二、填空题:(每题 5 分,共 30 分)

uuu r

uuur

uuu r

uuur

uuu r

uuu r

uuur

uuu r

uur

1 , 2

9. 为了了解某校高中学生的近视眼发病率,在该校学生中进行分层抽样调查,已知该校 高一、高二、高三分别有学生 800 名、 600 名、 500 名,若高三学生共抽取 25 名,则高 一学生共抽取__________名

10.集合 A ? ? x

? x ?1 ? ? 0? , B ? x x ? b ? a ,若“ a ? 1 ”是“ A ? B ? ? ”的充分 ? x ?1 ?
.

?

?

条件, 则 b 的取值范围是 11.若实数 a ? b ? 2, a ? 0, b ? 0 ,则

1 a ? 的最小值为__________. a b
2

12.已知直线 l 的参数方程 ?

?x ? t ?t为参数 ? 和圆 C 的极坐标方程 ? y ? 2t ? 1
P D A B O·

?? ? ? ? 2 2 cos? ? ? ? ,则直线 l 与圆 C 相交所得的弦长为________. 4? ?
13. 如图已知 PA 切⊙O 于点 A ,D 为 PA 的中点,过点 D 引割线 交 ⊙ O 于 B 、 C 两 点 . PD ? 2 , PB ? 3 , DB ?

3 ,则 2

PC ?

. C

?| x 2 ? 5 x ? 4 |, x ? 0 14.已知函数 f ( x) ? ? 若函数 y ? f ( x) ? a | x | 恰有 4 个零点, 则实数 ?3 | x ? 2 | , x ? 0 a 的取值范围为_________.
三、解答题: 15.(13 分) 已知函数 f ( x) ? sin x ? cos( x ?

?
6

) ? cos 2 x ?

1 2

(1)(4 分)求函数 f ( x) 的最大值,并写出 f ( x) 取最大值 x 时的取值集合; (2)(4 分)若 f ( x 0 ) ?

11 ? ? , x0 ? [ , ] ,求 cos 2 x0 的值; 20 6 2
1 , b ? c ? 3, 2

(3) (5 分) 在 ?ABC 中, 角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c , 若 f ( A) ? 求 a 的最小值.

3

16.(13 分)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随即抽取该流水线上 40 件产品作为样本算出他们的重量(单位:克)重量的分组区间为(490, 495? , (495, 500? ,??(510, 515? ,由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 所示.

(1)(3 分)根据频率分布直方图,求重 量不超过 500 克的产品数量;

(2)(7 分)在上述抽取的 40 件产品中 任取 2 件,设 Y 为重量不超过 500 克的产 品数量,求 Y 的分布列及期望;(3)(3 分)从流水线上任取 5 件产品,求恰有 2 件产品合格的重量不超过 500 克的概率.

17. (13 分)如图, ABCD 是边长为 3 的正方形, DE ? 平面ABCD , AF//DE ,

DE ? 3 AF , BE 与平面 ABCD 所成角为 600 .
(1) (4 分)求证: AC ? 平面BDE ; (2) (5 分)求二面角 F ? BE ? D 的余弦值; (3) (4 分) 设点 M 是线段 BD 上一个动点, 试确定点 M 的位置,使得 AM // 平面BEF ,并证明你的结论. 18. (13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,离心率

4

等于

1 ,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2

y?

3 2 x 的焦点. 24

(1) (3 分)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(2,3) 、 Q(2, ?3) 是椭圆上的两点, A ,

B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动点.
①(4 分)若直线 AB 的斜率为

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

②(6 分)当 A , B 运动时,满足直线 PA 、 PB 与 X 轴始终围成一个等腰三角形,试 问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由. 第Ⅱ卷提高题(共 28 分) 19. (14 分)已知正项数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 an ? Sn ? 1 (n ? N * ) .

(1)(4 分)求数列 {an } 的通项公式;

(2)(4 分)设 cn ? 列 {bn } 的通项公式;

1 n?1 ,数列 {bn } 满足 b1c1 ? b2c2 ? L ? bncn ? (2n ?1)2 ? 2 ,求数 an

(3)(6 分)设 d n ?

d 1 d d n 1 ? 1 ,求证: 1 ? 2 ? L ? n ? ? . an d 2 d3 d n ?1 2 3
1 2 ax ? bx 2

20.(14 分)设函数 f ( x) ? ln x ?

5

(1) (4 分)当 a ? b ?

1 时,求函数 f ( x) 的最大值; 2

(2) (4 分)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a ax ? bx ? , (0 ? x ? 3) , 2 x
1 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2

其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的斜率 k ?

(3) (6 分)当 a ? 0, b ? ?1,方程 2mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,求正数 m 的值.

6

静海一中 2014-2015 第一学期高三数学(理) 期末终结性检测试卷答题纸 知识与技能 得分框 第Ⅰ卷基础题(共 122 分) 一、选择题(每题 5 分,共 40 分) 题号 答案 二、填空题(每题 5 分,共 30 分) 9. 12. ___ 10. 13. 11. 14. 1 2 3 4 5 6 7 8 学法题 卷面整洁 总分

三、解答题(本大题共 4 题,共 52 分) 15.(13 分)

16.(13 分)

7

17(13 分)

8

18.(13 分)

第Ⅱ卷提高题(共 28 分) 19.(14 分)

9

20.(14 分)

10

答案: 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 A 6 A 7 A 8 D

9、40 10 、(-2,2) 11、

1 ? 2 2

12、 2 30

13、4 14、(1,3)

5

15 解:(Ⅰ)

.

∴函数

的最大值为

.当

取最大值时

,解得

.

故 的取值集合为 (2)略

.

(3)由题意

,化简得

,

, ∴

, ∴
11



中,根据余弦定理,得

.

由 16.

,知

,即

.

∴当

时, 取最小值

.

解:(1)重量不超过 500 克的产品数量是 40×(0.05×5+0.01×5)=12 件; (2)Y 的所有可能取值为 0,1,2;





Y 的分布列为

;EY=

78 130

(3)0.3087

17. 如图, , 角为 .

是边长为 的正方形, , , 与平面

平面 所成

12

(Ⅰ)求证:

平面



(Ⅱ)求二面角

的余弦值;

(Ⅲ)设点

是线段

上一个动点,试确定点

的位置,使得

平面

,并

证明你的结论.

9、(Ⅰ)证明: 因为

平面



所以

.

????????2 分

因为

是正方形,

所以



从而

平面

.

????????4 分

(Ⅱ)解:因为

两两垂直,
13

所以建立空间直角坐标系

如图所示.

因为

与平面

所成角为

,即

,??5 分

所以

.



可知



.

???6 分













所以





???7 分

设平面

的法向量为

,则

,即





,则 .

???????8 分

因为

平面

,所以

为平面

的法向量,



所以

.

???????9 分

因为二面角为锐角,所以二面角

的余弦值为

.??????10 分

14

(Ⅲ)解:点

是线段

上一个动点,设

.





因为 所以

平面



, ???????11 分

即 . 分

,解得 ???????12

此时,点 意.

坐标为

, ???????13 分

,符合题

18. (13 分)已知椭圆 C 的中心在原点,离心率 等于

1 ,它的一个短轴端点点恰好是抛物线 2

y?

3 2 x 的焦点. 24

(1) (4 分)求椭圆 C 的方程; (2)已知 P(2,3) 、 Q(2, ?3) 是椭圆上的两点, A , B 是椭圆上位于直线 PQ 两侧的动 点. ①(4 分)若直线 AB 的斜率为

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2
15

②(6 分)当 A , B 运动时,满足直线 PA 、 PB 与 X 轴始终围成一个等腰三角形,试 问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.

(1)设 C 方程为

(a>b>0),则

。由







故椭圆 C 的方程为

。????????4 分

(2) ①设 ( 中整理得

, ) , B (



) , 直线 AB 的方程为 -4< <4, + =

, 代入 , =

,△>0

四边形 APBQ 的面积

=

,当



②当 PA=PB 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 ,则 PB 的斜率为- ,

PA 的直线方程为

,代入

中整理得

+

=0,2+

=



同理 2+

=



+

=





=



从而 19. 已知正项数列

=

,即直线 AB 的斜率为定值?????13 分 的前 n 项和为

{an }

Sn

,且满足

an ? Sn ? 1 (n ? N * ) .

求数列

{an }

的通项公式;

16

cn ?
(2) 设 通项公式;

1 {b } {b } b c ? b2c2 ? ?? bncn ? (2n ?1)2n?1 ? 2 , an , 数列 n 满足 1 1 求数列 n 的

dn ?
(3)设

d 1 d1 d 2 n 1 ?1 ? ??? n ? ? an d d3 d n ?1 2 3 . ,求证: 2

20.



所以 ≥


17



时,

取得最大值

,所以 ≥

???8 分

(3)因为方程

有唯一实数解,

因为

,所以方程(*)的解为

,即

,解得

18


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