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宜宾市2014-2015学年高二下学期期末考试数学理试题


2014 年秋期普通高中二年级期末测试 数学试题(理科)
本试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页, 共 4 页。考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试卷、草稿纸上答题无效.满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷(选择题

r />共 50 分)

注意事项:必须使用 2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有 一项是符合题目要求的. 1. 命题“ 若x ? a ? b , 则x ? 2ab ”的逆命题是 (A) 若x ? a ? b , 则x ? 2ab (C) 若x ? 2ab, 则x ? a ? b
2 2 2 2 2 2

(B) 若x ? a ? b , 则x ? 2ab (D) 若x ? a ? b , 则x ? 2ab
2 2

2

2

2. 与向量 a =(1,-3,2)垂直的一个向量的坐标为

(A)(1, 3, 2)

(B)(-1,-3,2)

(C)(-2,-2,-2) (D)(1,-3,-2)

3.投球 3 次,事件 Ai 表示“投中 i 次”,其中 i=0,1,2,3.那么 A ? A1 ? A2 ? A3 表示的是 (A)全部投中(B)必然投中 (C)至少有 1 次投中 (D)投中 3 次 4.如图所示的程序框图,输出 S 的值为 (A)12 (B)20 (C)30 (D)40

5.下列有关命题的说法错误 的是 ..
2 (A)对于命题 p : ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,

2 则 ? p : ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ;

2 (B)“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件; 2 2 (C)命题“若 x ? 1 , 则 x ? 1 ”的否命题为:“若 x ? 1 ,则 x ? 1 ”;

(D)命题“若 x ? y ? 5 ,则 x ? 2或y ? 3 ”是假命题. 6.已知 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,且 n ? ? ,则下列叙述正确的是 (A) m / / n, m ? ? ? ? / / ? (C) ? ? ? , m ? n ? n / /? (B) m / / n, m ? ? ? ? ? ? (D) ? / / ? , m ? ? ? m / / n

2014 年秋期普通高中二年级期末测试数学试题(理科) (共 4 页;

第 1 页)

7. 如图,在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,直线 AB1 和 平面 A 1B 1CD 所成角为 (A)

? 6

(B)

? 4

(C)

? 3

(D)

? 2

8. 在 区 间 [?3, 4] 上 随 机 地 取 一 个 实 数 a , 使 得 二 次 方 程
x ? 2ax ? 2a ? 3 ? 0 有实根的概率是
2

(A)

1 7

(B)

2 7

(C)

3 7

(D)

4 7

9.一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形, 则这个几何体的体积为 (A) (C)

?4 ? ? ?
3

3

(B) ?4 ? ? ? 3 (D)

?8 ? ? ?
2

3

?8 ? ? ?
6

3

10. 把一个底面边长和高都为 6 的正三棱锥(底面是正三角形,从顶点向底面作垂线,垂足是底面 的中心的三棱锥) P ? ABC 的底面 ABC 放置在平面 ? 上,现让三棱锥绕棱 BC 逆时针方向旋 转,使侧面 PBC 落在 ? 内,则在旋转过程中正三棱锥 P ? ABC 在 ? 上的正投影图的面积取值 范围是 (A) [
54 13 13 ,12 3]

[ (B)

54 13 ,9 13] 13

(C) [

48 13 13

,12 3]

(D) [

48 13 ,3 39] 13

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某班有男生 25 名,女生 20 名,采用分层抽样的方法从这 45 名学生中抽取一个容量为 18 的样本,则应抽取的女生人数 为 名.

12. 如右图,圆锥 SO 中, AB 、 CD 为底面圆的两条直径,

AB ? CD ? O ,且 AB ? CD , SO ? OB ? 2 , P 为 SB 的中

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点.异面直线 SA 与 PC 所成角的正切值为

.

13. 某校为了解数学学科的教学情况,在一次考试中随机 地抽取了 100 个同学的成绩(满分为 100 分)作为样本,并 根据这个样本数据得到了如图所示的频率分布直方图,估 计这次数学考试成绩的平均数为
x

.

14. 已知命题 p : ?x ? ? 0,1? , a ? e ,命题 q : ?x ? R, x 2 ? x ? a ? 0 ,若命题 p ? q 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 .

15.在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,给出以下命题:
? ①直线 A 1 B与B 1C所成的角为60 ;

②动点 M 在表面上从点 A 到点 C1 经过的最短路程为 1 ? 2 ; ③若 N 是线段 AC1 上的动点,则直线 CN 与平面 BDC1 所成 角的正弦值的取值范围是 [
3 3 ,1] ;

④若 P、Q 是线段 AC 上的动点,且 PQ ? 1 ,则四面体 PQB1 D1 的体积恒为 则上述命题中正确的有 .(填写你认为正确的命题序号)

2 6

.

三、解答题(共 6 个题,共 75 分,要求写出解答过程) 16. (本题满分 12 分) 如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中,
P

E

AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,点 E 是 PD 的中点.
(Ⅰ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅱ)求证: AC ? PB .
B C A D

17. (本题满分 12 分) 每年暑期,学校老师都会要求学生在家附近的图书馆查阅大量学习资料,如图所示的茎叶 图中记录了暑期甲组 3 名同学去图书馆 A 查阅资料的次数和乙组 4 名同学去图书馆 B 查阅资料 的次数. 且乙组同学去图书馆 B 查阅资料次数的平均数是 9.25 . (Ⅰ)求 x 的值 ; (Ⅱ)在茎叶图中,从查阅资料次数大于 8 的同学中任选 2 名, 求选出的 2 名同学查阅资料的次数之和大于 20 的概率.

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18.(本题满分 12 分)

? x2 ? x ? 6 ? 0 ? 设 p :实数 x 满足 x ? 4ax ? 3a ? 0 ,其中 a ? 0 . q :实数 x 满足 ? 2 . ? ?x ? 2x ? 8 ? 0
2 2

(Ⅰ)若 a =1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (Ⅱ)若 ? p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,两家商场对购买该商品 的顾客奖励方案如下: 甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴 影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为 15°,边界忽略不计)即为中奖. 乙商场:从装有 3 个白球 2 个红球 1 个黄球的盒子中一次性随机摸出 2 个球(球除颜色外 不加区分),如果摸到的是 1 个红球 1 个黄球,即为中奖. 问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?

20. (本题满分 12 分) 已知在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,且 AD ? 2, AB ? 1, PA ? 1, PA ? 平面 ABCD , E 、F 分别是线 段 AB 、 BC 的中点. (Ⅰ) 求直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值; (Ⅱ) 判断并说明 PA 上是否存在点 G ,使得 EG / / 平面 PG 的值;若不存在,请说明理由; PFD ?若存在,求出 GA

21. (本题满分 14 分) 在如图所示的几何体中,平面 ACE⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为平行四边形,
?ACB ? 90 ,EF//BC, AC=BC=2EF=2 , AE=EC=
0

2 .

F

E A D

(Ⅰ)求证: AE ? EF; (Ⅱ)求平面 ABF 与平面 BDE 所成的锐二面角的正切值; (Ⅲ)若点 G 在线段 DE 上,求直线 CG 与平面 ABF 所 B 成的角的正弦值的取值范围;并求该正弦值取最大值时,

C

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多面体 ABCDFG 的体积.

2014 年秋期普通高中二年级期末测试 数学试题(理科)参考答案及评分意见
说明: 一、本解答给出了一种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可比照评分意见制订 相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分, 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半, 如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)
题号 答案

1 C

2 C

3 C

4 B

5 D

6 B

7 A

8 C

9 D

10 A

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.8; 12. 2 ; 13.68; 14. ( , e] ; 15.①③④. 三、解答题(共 75) 16. 证明: (Ⅰ)连结 BD 交 AC 于 O,连结 EO,则 EO∥PB, 又 PB ? 面 AEC ∴PB∥面 AEC???6 分
P

1 4

E

(Ⅱ)∵PA⊥面 ABCD, AC ? 面ABCD
A

∴PA⊥AC 又 AB⊥AC, PA ? AB ? A ∴AC⊥平面 PAB,

???8 分
B C

D

???10 分
第 5 页)

2014 年秋期普通高中二年级期末测试数学试题(理科) (共 4 页;

PB ? 面PAB ∴AC⊥PB
17.解:(I)在茎叶图中,?

???12 分

x ? 8 ? 9 ? 12 ? 9.25,? x ? 8 ?????4 分 4 (II)茎叶图中, 查阅资料次数大于 8 的同学共 5 人,设其中查阅资料次数为 9 的二个

同学分别为 a , b ,查阅资料次数为 11 的同学为 c ,查阅资料次数为 12 的二个同学分别为

d , e ,从中任选两人的结果共 10 种:
ab, ac, ad , ae, bc, bd , be, cd , ce, de
??????????????8 分 )的结果共有 7 个:

其 中 查 阅 资 料 的 次 数 之 和 大 于 20 ( 记 为 事 件 A

a d, a e , , bd , b,e c,d c , e de


??????????????10

? p ( A) ?

2

7 10
2

?????????????? 12

18.解由 x -4ax+3a <0,a>0 得 a<x<3a,即 p 为真命题时,a<x<3a,???2 分 由?
?x -x-6≤0, ? ? ?x +2x-8>0
2 2

得?

?-2≤x≤3, ? ? ?x>2或x<-4,

即 2<x≤3,即 q 为真命题时 2<x≤3.

???????4 分 ?? 5分

?1<x<3, ? (1)a=1 时,p:1<x<3,由 p∧q 为真知 p、q 均为真命题则? ?2<x≤3 ?

得 2<x<3,所以实数 x 的取值范围为(2,3). (2)由 ? p 是 q 的必要不充分条件得 q ? ?p, ? p ≠> q

???6 分

? a ? 3或3a ? 2

及 a ? 0 a>0

???9 分

? a ? 3或0 ? a ? 2

? 2? ? a ? ? 0, ? ? ?3,??? ? 3?
2 2

???12 分

19.如果顾客去甲商场,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为 π R (R 为圆盘的半径),阴影区 域的面积为 4×15π R π R = . 360 6
2 2

πR 6 1 所以,在甲商场中奖的概率为 P1= 2= . πR 6

???5 分

如果顾客去乙商场,记盒子中 3 个白球为 a1,a2,a3 ,2 个红球为 b1,b2,b3,1 个黄球为 c , 记 (x , y) 为一次摸球的结果,则一切可能的结果有: (a1 , a2) , (a1 , a3) , (a1 , b1) , (a1 , b2) , (a1,c) ,(a2,a3) ,(a2,b1) ,(a2,b2) ,(a2,c) ,(a3,b1) ,(a3 ,b2) ,(a3,c) ,(b1,b2) ,(b1,

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c),(b2,c),共 15 种,
摸到的 2 个球都是一个红球一个黄球有 (b1,c),(b2,c)共 2 种, 所以在乙商场中奖的概率为 P2= 因为 P1>P2, 所以,顾客在甲商场中奖的可能性大 ???12 分

2 15

???10 分

20(Ⅰ) ? PA ? 平面 ABCD , CD ? 面ABCD,? PA ? CD

又AD ? CD, PA ? AD ? P ? CD ? 面PAD
过点 A 作 AH ? PD,垂足为 H,连结 CH,则 ?ACH 是直线 AC 与平面 PCD 所成??3 分 在 △ACH 中,AH=

2 5

AC= 5

sin ?ACH ?
2 5

AH 2 ? AC 5
???6 分

? 直线 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值为
(Ⅱ).过 E 作 EM//DF,EM ? AD=M,则 AM= 过 M 作 MG // PD, MG ? PA ? G , 则 AG ?

1 AD , 4

1 AP ,且 面EMG // 面PFD , 4 PG ?3 GA

???10 分 ???12 分

又 EG ? 面EMG,? EG // 面PFD ,此时 21.(Ⅰ)证明: ∵平面 ACE⊥平面 ABCD,

且平面 ACE∩平面 ABCD=AC,BC⊥AC,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥平面 ACE, ∴BC⊥AE, ∵EF∥BC, ∴ AE ? EF ??4 分

(Ⅱ) 以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,过 A 作平面 ABCD 的垂线为 z 轴 建立空间直角坐标系如图, 由题意得 A(0,0,0),B(2,-2,0), D(0, 2,0) , E(1,0,1) ,F(1,-1,1), 分 ??5

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? (2, ?2,0) , BF ? (?1,1,1) , BD ? (?2, 4,0) , BE ? (?1, 2,1)

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设平面 BDE 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??

由 m ? BD ? 0 ,

?? ??? ?

?? ??? ? m? B E ?0

得?

? ?2 x1 ? 4 y1 ? 0 , ? x ? 2 y ? z ? 0 ? 1 1 1
???????7 分

不妨设 x1 =2,则 y1 =1,

?? z1 =0,故 m ? (2,1,0)

同理平面 ABF 的法向量为 n=(1,1,0),

?? ? m?n ?? ? 3 3 10 ∴ sin ? m, n ?? ?? ? ? , ? 10 2? 5 m?n
平面 ABF 与平面 BDE 所成的锐二面角的正切值

∴ tan ? m, n ??

?? ?

1 . 3

(Ⅲ)由题设 ,则 CG ? CD ? DG ? (? ? 2, 2 ? 2?, ?) . 由(Ⅱ)知平面 ABF 的法向量为 n=(1,1,0). 设直线 CG 与平面 ABF 所成的角为 ? ,则

??? ?

??? ? ????

1 . 3

?????????9 分

??? ? ? CG ? n ? ? 2 ? 2 ? 2? ? . sin ? ? ??? ? ? ? ? CG ? n (? ? 2) 2 ?(2 ? 2? )2 ? ? 2 ? 2 2 3? 2 ? 6? ? 4
.

当 ? ? 0 时,

当 ? ? 0 时, sin ? ?

1 2 4( ) ? 6
2

1

1

.

?

?

?3

令 t ? 4( ) ? 6
2

1

?

1 3 3 ? 3 ? 4( ? ) 2 ? , ? ? 4 4


1

∵ 0 ? ? ? 1, ∴t ?1

1

?

?1
1 2

∴ 0 ? sin ? ?

直线 CG 与平面 ABF 所成的角的正弦值的取值范围 ?0, ? .?????????12 分 2 当 sin ? ?

? 1? ? ?

1 时, t ? 1 ,此时点 G 点 E 重合. 2

由(Ⅰ)知 BC⊥平面 ACE, 由四边形 ABCD 为平行四边形得 AD∥BC,故 AD⊥平面 ACE. ∵AC= 2, AE=EC= 2 ,

AE ? EC .

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∵BC⊥AE,

AE ⊥平面 BCEF.

1 1 1 1 5 VABCDFG ? VABCDEF ? VA?BCEF ? VD? ACE ? ? ( BC ? EF )CE ? AE ? ? AE ? CE ? AD =. 3 2 3 2 3
?????????14 分

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