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江苏省苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 8 解析几何


专题 8
一、填空题

解析几何

例题 1. 设圆 C : x2 ? y 2 ? 4 的一条切线与 x 轴、 y 轴分别交于点 A, B ,则 AB 的最小值 为 ▲ . 答:4 提示:方法一 取特殊的直线 AB:横截距与纵截距相等。方法二不妨设切点 P(第一象限),

?POA ? ? ,则 ?POB ?<

br />
?

2

? ? ,故 AP ? 2 tan ? , BP ? 2

1 tan ?

故 AB=AP+BP ? 4

例题 2. 过直线 l : y ? 3x上一点P作圆C : ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 2 的两条切线,若两切线关于
2 2

则点 P 到圆心 C 的距离为 直线 l 对称,
答: 10 提示:由圆的平面几何知识可得 CP ? l





例题 3. 已知⊙A: x 2 ? y 2 ? 1,⊙B: ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 ,P 是平面内一动点,过 P 作 ⊙A、 ⊙B 的切线, 切点分别为 D、 若 P ?D E, E P , P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ . 则

11 答: 5
提示:利用切线长公式求出点 P 的轨迹为直线 3x ? 4 y ? 11 ? 0 ,故 P 到坐标原点距离的最 小值为

11 5

x2 y 2 例题 4. 已知 F 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点, P 在椭圆 C 上, 点 线段 PF 与 a b
圆x ? y ?
2 2

? ? 1 2 b 相切于点 Q ,且 PQ ? QF ,则椭圆 C 的离心率为 4





答:

5 3

提示:设左焦点 E,连接 PE,由圆的切线可得 OQ ? PF,而 OQ∥PF,故

PE ? PF ,? b 2 ? (2a ? b) 2 ? 4c 2 ,?e ?

5 。 3
, 0) 作圆:

(备用题)过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 左 焦 点 F (? c, 0 ) c? ( a 2 b2

x2 ? y 2 ?

??? 1 ??? ??? ? ? ? a2 的切线,切点为 E ,延长 FE 交双曲线右支于点 P ,若 OE ? (OF ? OP ) , 2 4


则双曲线的离心率为

e?

10 2
x2 y 2 ? ? 1 的左,右焦点分别为 F1 , F2 , 弦 AB 过 F1 ,若 ?ABF2 的内切圆的周 25 16
.

例题 5. 椭圆

长为 ? , A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ), 则 | y2 ? y1 | = 答:

5 3

提示:利用 S ?BAF2 ?

1 1 r(BA ? BF2 ? AF2 ) ? F2 F1 y 2 ? y1 2 2

例题 6. 已知正方形 ABCD 的坐标分别是 (?1, 0) , (0,1) , (1, 0) , ?1) , 动点 M 满足: (0,

kMB ? kMD ? ?
答: 2 2

1 则 MA ? MC ? 2





提示:设点 M 的坐标为 ( x , y ) ,∵ kMB ? kMD ? ?

1 y ?1 y ?1 1 ? ? ? . 整理,得 ,∴ 2 x x 2

x2 ? y 2 ? 1( x ? 0 ),发现动点 M 的轨迹方程是椭圆,其焦点恰为 A, C 两点,所以 2

MA ? MC ? 2 2

(备用)如图,一圆形纸片的圆心为 O , F 是圆内一定点, M 是圆周上一 动点, 把纸片折叠使点 M 与点 F 重合, 然后抹平纸片, 折痕为 CD , CD 设 与 OM 交于点 P ,则点 P 的轨迹是 “抛物线”和“圆”中的一种情况) .(填写“椭圆”、“双曲线”、

椭圆
例题 7. 椭圆

x x2 y 2 ? y 2 ? 1 的公共焦点为 F1 , F2 , P 是两曲线的一个交点, ? ? 1 和双曲线 3 6 2


2

则 ?PF F2 的面积为 1

答: 2 提示:先利用定义求 PF1,PF2,再用余弦定理求得 cos P ?

1 ,最后用面积公式 3

2 2 例题 8. 设椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点为 A ,椭圆 C 上两点 P, Q 在 x 轴上的射影分 a b

3 ,过点 A 且与 AF1 垂直的直线与 x 轴交于 2 1 点 B , ?AF1B 的外接圆为圆 M . 若直线 3 x ? 4 y ? a 2 ? 0 与圆 M 相交于 E , F 两点,且 4
别为左焦点 F1 和右焦点 F2 ,直线 PQ 的斜率为
???? ???? 1 ME ? MF ? ? a 2 ,则椭圆方程为 2
2 2 答: x ? y ? 1 16 12

2 2 ? ? 提示:由条件可知 P? ? c,? b ? , Q? c, b ? ? ? ? ? ? a ? a ? ? ? ?

1 3 ,所以得: e ? 。 2 2 a ? 2c, b ? 3c ,所以, A 0, 3c , F1 ?? c,0?, B?3c,0? ,从而 M ?c,0? 。 ???? ???? a 1 半径为 a,因为 ME ? MF ? ? a 2 ,所以 ?EMF ? 120? ,可得:M 到直线距离为 2 2
因为 k PQ ?

?

?

2 2 从而,求出 c ? 2 ,所以椭圆方程为: x ? y ? 1 ;

16

12

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F (?c,0) 为圆心,c 为半径的圆与椭圆的左准 a 2 b2 线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .
例题 9. 以椭圆 答: (

2 ,1) 2

提示:焦准距

b2 ?c c

2 y2 例题 10. 已知 F1, F2 分别是双曲线 x 2 ? 2 ? 1 的左、右焦点, P 为双曲线左支上任意一点, a b



PF2 2 的最小值为 8a ,则双曲线的离心率的取值范围为 PF1
2 PF2 2 ? PF1+a ? = ? PF1 ? 4a ? 8a ,故 PF ? 2a ? c ? a 1 PF1 PF1 PF1 2

.

答: (1, 3] 提示:

例题 11. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 ( ? 为锐角)的右焦点 F,P 是右支上任意一点, cos2 ? sin 2 ?

以 P 为圆心,PF 为半径的圆在右准线上截得的弦长恰好等于 PF,则 ? = 答:

? 6

提示:先利用双曲线的第二定义求出离心率,再求 ? (备用题)已知椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直 a 2 b2

线与椭圆交于 P、Q 两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若 ?PQM 为正三角形,则椭圆 的离心率等于 答: ▲

3 提示:利用 FM ? 3PF 可得 3

例题 12. 设椭圆 C : 最小值▲ 答: 5 ? 2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 恒过定点 A(1, 2) ,则椭圆的中心到准线的距离的 a 2 b2

提示:令 a 2 ? m, b 2 ? n ,消元可得:椭圆的中心到准线的距离= f (m) ,再求之

例题 13.如果 P 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,过 P 的直线 l 与椭圆交与 A,B 两点,若 Q 在直 25 9 ??? ??? ???? ??? ? ? ? 线 l 上,且满足 | AP || QB |?| AQ || PB | ,则点 Q 总在定直线 上.

答: x ? ?

25 4

提示:取特殊的左准线,并取特殊点( -

25 ,0 )验证之 4

x2 y 2 y2 ( a ? b ? 0 )与双曲线 C2 : x 2 ? C1 : 2 ? 2 ? 1 ? 1 有公共的焦 a b 4 点, C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三
例题 14. 已知椭圆 等分,则 b2 =__________________. 答:

1 2

提示:直线 AB 为 y ? 2 x 代入椭圆求弦长 MN=

a 1 2 2 2 ,再用 a ? b ? 5 可得 b ? 3 2

(备用)例题 15 下图展示了一个由区间(0,k)(其 k 为一正实数)到实数集 R 上的映射
过程:区间(0,k)中的实数 m 对应线段 AB 上的点 M,如图 1;将线段 AB 围成一个离心

率为

3 的椭圆,使两端点 A、B 恰好重合于椭圆的一个短轴端点,如图 2 ;再将这个椭圆 2

放在平面直角坐标系中, 使其中心在坐标原点, 长轴在 X 轴上, 已知此时点 A 的坐标为 (0, 1),如图 3,在图形变化过程中,图 1 中线段 AM 的长度对应于图 3 中的椭圆弧 ADM 的长 度.图 3 中直线 AM 与直线 y= ?2 交于点 N(n,—2), 则与实数 m 对应的实数就是 n, 记作 f(m)=n,

现给出下列命题:①. 象关于点( ,0)对称;⑤f(m)=

;②

是奇函数;③在定义域上单调递增;④.

的图

时 AM 过椭圆右焦点.

其中所有的真命题是_______ (写出所有真命题的序号) ③、④、⑤

二、解答题
例 15. 平面直角坐标系 xoy 中, 直线 x ? y ? 1 ? 0 截以原点 O 为圆心的圆所得的弦长为 6 (1)求圆 O 的方程; (2)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D,E,当 DE 长最小时,求直线 l 的 方程; (3)设 M,P 是圆 O 上任意两点,点 M 关于x轴的对称点为 N,若直线 MP、NP 分别交 于x轴于点 (m,0)和(n,0),问mn是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由。 1 解:⑴因为 O 点到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 , ………………………2 分 2
2 故圆 O 的方程为 x ? y ? 2 . ………………4 分 x y ⑵设直线 l 的方程为 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b ab 1 1 1 ? 2 ,即 2 ? 2 ? , ……………6 分 由直线 l 与圆 O 相切,得 a b 2 a 2 ? b2
2 2

所以圆 O 的半径为 (

1

)2 ? (

6 2 ) ? 2, 2

1 1 ? 2 ) ≥8 , 2 a b 当且仅当 a ? b ? 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 ? 0 .………10 分 DE 2 ? a2 ? b2 ? 2(a2 ? b2 )(
⑶设 M ( x1 , y1 ) , P( x2 , y2 ) ,则 N ( x1 , ? y1 ) , x12 ? y12 ? 2 , x22 ? y22 ? 2 , x y ? x2 y1 x y ? x2 y1 , 0) , m ? 1 2 直线 MP 与 x 轴交点 ( 1 2 , y2 ? y1 y2 ? y1 x y ? x2 y1 x y ? x2 y1 , 0) , n ? 1 2 直线 NP 与 x 轴交点 ( 1 2 , …………………14 分 y2 ? y1 y2 ? y1
x1 y2 ? x2 y1 x1 y2 ? x2 y1 x12 y2 2 ? x2 2 y12 (2 ? y12 ) y2 2 ? (2 ? y2 2 ) y12 ? ? ? ?2, y2 ? y1 y2 ? y1 y2 2 ? y12 y2 2 ? y12 故 mn 为定值 2. …………………16 分 mn ?

例 16.(本题满分 16 分)已知圆 O : x 2 ? y 2 ? 1 ,点 P 在直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 上,过 点 P 作圆 O 的两条切线, A, B 为两切点, (1) 求切线长 PA 的最小值,并求此时点 P 的坐标; (2) 点 M 为直线 y ? x 与直线 l 的交点,若在平面内存在定点 N (不同于点 M ) ,满足:对 于圆 O 上任意一点 Q ,都有 (3)求 PA? PB 的最小值; 解:(1)设点 P( x0 , y0 )

QN 为一常数,求所有满足条件的点 N 的坐标。 QM

PA2 ? PO2 ? 1 ? x0 ? y0 ? 1 ? x0 ? (2x0 ? 3)2 ? 1 ? 5x0 ? 12x0 ? 8
2 2 2 2

= 5( x0 ? ) ?
2

6 5

4 5

故当 x0 ?

6 6 3 2 ,即 P ( , ) 时, PAmin ? 5 5 5 5

(2)由题: ?

?2 x ? y ? 3 ? 0 , M (1,1) ?y ? x
2 2

设 N (a, b) , Q( x1 , y1 ) ,满足 x1 ? y1 ? 1 则

QN 2 ( x1 ? a) 2 ? ( y1 ? b) 2 ? ? ? (? ? 0) QM 2 ( x1 ? 1) 2 ? ( y1 ? 1) 2
2 2

整理得: 2(a ? ? ) x1 ? 2(b ? ? ) y1 ? (a ? b ? 1 ? 3? ) ? 0 ,对任意的点 Q 都成立,可得

1 ? ?? ? 2 ?a ? ? ? 0 ?? ? 1 ? 1 ? ? ? 解得 ?a ? ,或 ?a ? 1 (舍) ?b ? ? ? 0 2 ?b ? 1 ?(a 2 ? b 2 ? 1) ? 3? ? ? ? 1 ? b? ? 2 ?
即点 N ( , ) 满足题意。

1 1 2 2

2( PO2 ? 1) ? 1) (3) PA ? PB ? PA ? cos ?APB ? PA (2 cos ?APO ? 1) ? ( PO ? 1)( PO2
2 2 2 2

= PO ?
2

2 9 2 2 9 3 2 ? 3 , PO ? , t ? PO ? [ ,?? ) ,而 (t ? )? ? 1 ? 2 在 t ? [ ,?? ) 上恒 令 2 PO 5 t t 5 5

2 9 10 4 1 4 ? ? ? 3 ? ? ?1 ? ? t 5 9 5 9 45 4 6 3 所以 ( PA ? PB ) min ? ? ,当 P ( , ) 时取得 5 5 45
大于 0,故 t ?

例 17.如图,正方形 ABCD 内接于椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,且它的四条边与坐标轴平 a 2 b2

行,正方形 MNPQ 的顶点 M,N 在椭圆上,顶点 P,Q 在正方形的边 AB 上,且 A,M 都 在第一象限. (I)若正方形 ABCD 的边长为 4,且与 y 轴交于 E,F 两点,正方形 MNPQ 的边长为 2. ①求证:直线 AM 与△ABE 的外接圆相切; ②求椭圆的标准方程. (II)设椭圆的离心率为 e ,直线 AM 的斜率为 k ,求证: 2e ? k 是定值.
2

解:(Ⅰ)①依题意: A(2, 2) , M (4,1) , E (0, ?2) ? AM ? (2, ?1), AE ? (?2, ?4)

???? ?

??? ?

???? ??? ? ? ? AM ? AE ? 0 ? AM ? AE

?3 分

? AE 为 Rt ?ABE 外接圆直径? 直线 AM 与 ?ABE 的外接圆相切; ? 5 分

? 42 ? 42 ? 1 x2 y 2 ? a b ? ?1. ②由 ? 解得椭圆标准方程为 20 5 ? 16 ? 1 ? 1 ? a 2 b2
(Ⅱ)设正方形 ABCD 的边长为 2s ,正方形 MNPQ 的边长为 2t ,

? 10 分

x2 y 2 则 A( s, s ) , M (s ? 2t , t ) ,代入椭圆方程 2 ? 2 ? 1 得 a b
2 2 1 s ?t ? s2 ? s2 ? 1 ? 2 ? 2 s ( s ? 3t ) b 2 5 t? s ? a b ? a ? e2 ? 1 ? 2 ? ?? ? 2 2 4t a 4t ? ( s ? 2t ) ? t ? 1 ? 1 ? ? ? b 2 s 2 ( s ? 3t ) 2 2 a b

? 14 分

?k ?

t? s t s ? ? 2e2 ? k ? 2 为定值. ? ( s ? 2t ) s ? 2t

? 15 分

x2 y 2 例 18. (本题满分 16 分) 如图, 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 右焦点分别为 F1 , F2 , 左、 a b
右顶点为 A,上顶点为 B, P 为椭圆上在第一象限内一点. (1)若 S?PF1F2 ? S?PAF2 ,求椭圆的离心率; (2)若 S ?PF1F2 ? S ?PAF2 ? S ?PBF1 ,求直线 PF1 的斜率 k ; (3)若 S?PAF2 、 S?PF1 F2 、 S?PBF1 成等差数列,椭圆的离心

y B P F2 A x

1 率 e ? ? ,1? ,求直线 PF1 的斜率 k 的取值范围. ?4 ? ? ?

F1 O

解:(1)∵ S?PF1 F2 = S?PAF2 ∵a-c=2c ∴e=

∴ F F2 ? F2 A 1

1 …………………………2′ 3 y (2)设 PF的直线方程为 ? k ( x ? c) , 1 ∵ S?PF1 F2 = S?PBF1


1 b ? kc 1 2kc …………………………4′ PF1 · ? PF1 · 2 2 k ?1 2 k 2 ?1

∴b-kc=2kc ∴b=3kc

∵a=3c∴b=2 2 c (3)设 S?PF1 F2 =t,则 S ?PAF2 ? ∵P 在第一象限 ∴ k ?

∴k=

2 2 …………………………7′ 3

a?c t …………………………8′ 2c

b c

b ? kc S ?PBF1 S ?PF1 F2 ? k 2 ? 1 ? b ? kc 2kc 2kc 2 k ?1

b ? kc ·…………………………9′ t 2kc a?c b ? kc t? · t ∴2t= 2c 2kc ∴ 4kc ? ak ? ck ? b ? kc ∴ k (6c ? a) ? b b ∴k ? …………………………11′ 6c ? a b b 1 ? 。∴ ? e ? 1 。 ∴ 5 6c ? a c 1 1 又由已知 ? e ? 1 ,∴ ? e ? 1 。…………………………12′ 4 4 2 b a2 ? c2 2 ∴k ? = 36c 2 ? 12ac ? a 2 36c 2 ? 12ac ? a 2
∴ S ?PBF1 ? =

m ?1 1 ? e2 1 ? e2 = (令 m ? 6e ? 1 ,∴ e ? )……13′ 2 2 6 36e ? 12e ? 1 (6e ? 1)

m ?1 2 ) 1 36 ? m2 ? 2m ? 1 6 = = 36 m2 m2 1 35 2 ( ? ? 1) = 36 m 2 m 1 1 ∵ ? e ? 1 ,∴ ? m ? 5 。 4 2 1 1 15 ? 2 。∴ 0 ? k 2 ? ∴ ? 。 5 m 4 1? (
∴0 ? k ?

15 。…………………………16′ 2

(备用)例19.如图,点 A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点,动点 M 在圆周上,将纸片

折起,使点 M 与点 A 重合,设折痕 m 交线段 CM 于点 N .现将圆形纸片放在平面直角坐标
2 2 xoy 中,设圆 C : ? x ? 1? ? y ? 4a ? a ? 1? , A ?1, 0 ? ,记点 N 的轨迹为曲线 E . 系 2

⑴证明曲线 E 是椭圆,并写出当 a ? 2 时该椭圆的标准方程; ⑵设直线 l 过点 C 和椭圆 E 的上顶点 B ,点 A 关于直线 l 的对称点为点 Q ,若椭圆 E 的离

?1 3 ? e?? , ? ? 2 2 ? ,求点 Q 的纵坐标的取值范围. 心率

解:(1)连结NA, 由题意知,直线m是线段MA的中垂线, ∴NA=NM, 而圆C的半径为 2a ∴NC+NA=NC+NM=CM= 2a (常数) ∴动点N到两定点C, A的距离之和为常数 2a , 所以,点N的轨迹是以定点C, A为焦点,长轴长为 2a 的椭圆 ……………………4分 当 a ? 2 时,由于 c ? 1 ,所以所求椭圆E的方程为 ……………………2分

x2 y 2 ? ?1 4 3
……………………6分

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 a ? 1 ,其上顶点B (0, a ? 1) (2)椭圆E的方程为 a?

所以,直线 l 的方程为 y ?

a 2 ? 1( x ? 1) ,
Q( x0 , y0 )

……………………8分

记点 A(1,0) 关于直线 l 的对称点

1 ? y0 ? x ?1 ? ? 2 ? 0 a ?1 ? 4 a2 ?1 ? y0 ? a 2 ? 1( x0 ? 1 ? 1) y0 ? ? 2 a2 则有 ? 2 , 解得: ……………………11分;
?1 3 ? 1 1 3 e?? , ? ? ? 2 2 ? ? 2 , 由 ,得 2 a

……………………12分



y0 ?

4 a2 ?1 1 1 1 1 3 ?4 2 ? 4 t? 2 ?t ? 2 a a a ,令 a ,因为 a ? 1, 则 4 4,
2

∴ u ? ?t ? t ,∴

u ?[

3 1 , ] 16 4 ,

……………………14分

所以,点 Q 的纵坐标的取值范围是

3 ? y0 ? 2

……………………15分

(备用)例 20.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2 ? y 2 ? 1 与 x 轴正半轴的交点为 F,AB 为该圆的一条弦, 直线 AB 的方程为 x ? m . 记以 AB 为直径的圆为⊙C, 记以点 F 为右焦点、 b 短半轴长为 b ( b ? 0 , 为常数)的椭圆为 D. (1)求⊙C 和椭圆 D 的标准方程; (2)当 b ? 1 时,求证:椭圆 D 上任意一点都不在⊙C 的内部; (3)已知点 M 是椭圆 D 的长轴上异于顶点的任意一点,过点 M 且与 x 轴不垂直的直线 交椭圆 D 于 P、Q 两点(点 P 在 x 轴上方),点 P 关于 x 轴的对称点为 N,设直线 QN ???? ??? ? ? 交 x 轴于点 L,试判断 OM ? OL 是否为定值?并证明你的结论. 解: (1)圆心 C (m, 0) (?1 ? m ? 1) ,则⊙ C 的半径为 r ? 1 ? m2 . 从而⊙ C 的方程为 ( x ? m)2 ? y 2 ? 1 ? m2 . 椭圆 D 的标准方程为 ………………………………2 分 ………………………4 分

x2 y2 ? 2 ?1 . b2 ? 1 b

(2)当 b ? 1 时,椭圆 D 的方程为

x2 ? y2 ? 1 . 2 x2 x2 设椭圆 D 上任意一点 S ( x1 , y1 ) ,则 1 ? y12 ? 1 , y12 ? 1 ? 1 . 2 2
因为 SC 2 ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x1 ? m) 2 ? 1 ? ≥1 ? m2 ? r 2 ,
x12 1 ? ( x1 ? 2m) 2 ? 1 ? m 2 2 2

………6 分

所以 SC ≥ r . 从而椭圆 D 上的任意一点都不在在⊙C 的内部.
???? ??? ? ? (3) OM ? OL ? b2 ? 1 为定值.

………………………8 分

……………………………………9 分

证明如下: 设点 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),则由题意,得 N( x1 ,- y1 ), x1 ? x2 , y1 ? ? y2 . 从而直线 PQ 的方程为 ( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 . 令 y=0,得 xM ?
x1 y2 ? x2 y1 . y2 ? y1

又直线 QN 的方程为 ( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 . 令 y=0,得 xL ?
x2 y1 ? x1 y2 . y2 ? y1

………………………………13 分
x12 y2 x2 y2 ? 1 ?1 , 2 2 ? 2 ?1 , b2 ? 1 b2 b ? 1 b2

因为点 P,Q 在椭圆 D 上,所以 从而 x12 ? b2 ? 1 ?
(b2 ? 1 ?

b2 ? 1 2 b2 ? 1 2 2 y1 , x2 ? b2 ? 1 ? 2 y2 ,所以 2 b b
b2 ? 1 2 2 b2 ? 1 2 y1 ) y2 ? (b2 ? 1 ? 2 y2 ) y12 2 2 (b2 ? 1)( y2 ? y12 ) b b ? ? b2 ? 1 . 2 2 2 2 y2 ? y1 y2 ? y1

xM ? xL ?

???? ??? ? ? 所以 OM ? OL ? xM ? xL ? b2 ? 1 ? 定值.

……………………16 分

x2 (备用)例 21. (2012 南京市一模)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A 为椭圆 + 9 2y2 → → =1 的右顶点,点 D(1,0),点 P,B 在椭圆上, BP = DA . 9 (1)求直线 BD 的方程; (2)求直线 BD 被过 P,A,B 三点的圆 C 截得的弦长; (3)是否存在分别以 PB,PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方 程;若不存在,请说明理由. 说明:本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系,考查运算求解与推理论证能 力


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