当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数


2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) 已知 ? ? R , sin ? ? 2 cos ? ? )
4 3 3 4 3 4 4 3
10 2

,则 tan 2? ?

A.

B.

>C. ?

D. ?

【答案】C 2 . 2013 年高考陕西卷 ( (理) 设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b co s C ? c co s B ? a sin A , )

则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 【答案】B
3 .2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 ( (理)在△ABC 中, ? A B C ? )
?
4 , AB ? 2 , B C ? 3,

则 sin ? B A C

= (A)
10 10

(B)

10 5

(C)

3 10 10

(D)

5 5

【答案】C 4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) 将函数 y ? sin ( 2 x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 )
?
8



单位后,得到一个偶函数的图象,则 ? 的一个可能取值为
3?

?

?

?
4

(A)

4

(B) 4

(C)0

(D)

【答案】B 5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理) 在 ? A B C ,内角 A , B , C 所对的边长分别为 )
a , b , c . a s in B c o s C ? c s in B c o s A ?

1 2

b , 且 a ? b ,则 ? B ?

A.

?
6

B.

?
3

C.

2? 3

D.

5? 6

【答案】A 6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) 已知函数 f )

? x ? = co s x sin 2 x ,下列结论中错误的
?
2

是 (A) y ? f ? x ? 的图像关于 ? ? , 0 ? 中心对称 (B) y ? f ? x ? 的图像关于直线 x ? (C) f ? x ? 的最大值为
【答案】C 7 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) 函数 y ? x co s x ? sin x 的图象大致为 )
3 2

对称

(D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数

【答案】D 8 . (2013 年高考四川卷(理) 函数 f ( x ) ? 2 s in (? x ? ? ), (? ? 0 , ? )
? , ? 的值分别是(
?
2 ?? ?

?
2

) 的部分图象如图所示,则

)

(A) 2 , ?

?
3

(B) 2 , ?

?
6

(C) 4 , ?

?
6

(D) 4 ,

?
3

【答案】A
? 9 . (2013 年上海市春季高考数学试卷)既是偶函数又在区间 (0, ) 上单调递减的函数是(

)

(A) y ? sin x
【答案】B

(B) y ? co s x (C) y ? sin 2 x

(D) y ? co s 2 x

10. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) 4 co s 5 0 ? tan 4 0 ? )
0 0

(

)

A. 2
【答案】C

B.

2 ? 2

3

C. 3

D. 2 2 ? 1

11 .( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 )) 在 锐 角 中 ? A B C , 角 A , B 所 对 的 边 长 分 别 为 a , b . 若
2 a sin B ? 3b , 则 角 A等 于

A.

?
12

B.

?
6

C.

?
4

D.

?
3

【答案】D 12. (2013 年高考湖北卷(理) 将函数 y ? )
3 c o s x ? sin x ? x ? R ? 的图像向左平移 m ? m ? 0 ? 个长度单位

后,所得到的图像关于 y 轴对称,则 m 的最小值是(

)

A.

?

B.

?
6

C.

?
3

D.

5? 6

12 【答案】B

二、填空题 13. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理) ? ABC 中, ? C ? 90 , M 是 BC 的中点,若 )
0

sin ? BAM

?

1 3

,则 sin ? BAC ? ________.

【答案】

6 3

14. (2013 年高考新课标 1(理) 设当 x ? ? 时,函数 f ( x ) ? sin x ? 2 co s x 取得最大值,则 co s ? ? ______ )

【答案】 ?

2 5 5

.

15 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 福 建 数 学 ( 理 ) 如 图 ?ABC 中 , 已 知 点 D 在 BC 边 ( )

上,AD ? AC, sin ?BAC ?

2 2 3

, AB ? 3 2, AD ? 3 则 BD 的长为_______________

【答案】 3 16. (2013 年上海市春季高考数学试卷)函数 y ? 2 sin x 的最小正周期是_____________ 【答案】 2 ? 17. (2013 年高考四川卷(理) 设 sin 2? ? ? sin ? , ? ? ( ) 【答案】 3 18 .( 2013 年 高 考 上 海 卷 ( 理 )) 若 c o s x c o s y ? s in x s in y ?
1 2
sin ( x ? y ) ? _ _ _ _ _ _ _ _

?
2

, ? ) ,则 ta n 2 ? 的值是_________.

, s in 2 x ? s in 2 y ?

2 3

, 则

【答案】 s in ( x ? y ) ?

2 3

.
2 2 2

19.2013 年高考上海卷 ( (理)已知△ABC 的内角 A、 C 所对应边分别为 a、 c,若 3 a ? 2 a b ? 3 b ? 3 c ? 0 , ) B、 b、

则角 C 的大小是_______________(结果用反三角函数值表示)
【答案】 C ? ? ? a rc c o s
1 3

20 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 大 纲 版 数 学 ( 理 ) 已 知 ? 是 第 三 象 限 角 , s in a ? ? ( )
co t a ? ____________.

1 3

,则

【答案】 2 2 21. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) 函数 y ? 3 sin( 2 x ? )
?
4 ) 的最小正周期为

___________.
【答案】 ?
B C c 22 . 2013 年 上 海 市 春 季 高 考 数 学 试 卷 () ) 在 ? A B C 中 , 角 A、 、 所 对 边 长 分 别 为 a 、b、 , 若 (

a ? 5, ? 8, ? 6 0 ,则 b = _______ b B

?

【答案】7 23. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理) 设 ? A B C 的内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c . )

若 b ? c ? 2 a ,则 3 sin A ? 5 sin B , 则角 C ? _____.
【答案】
2 3

?

24. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) 设 ? 为第二象限角,若 tan(? ? )

?
4

)?

1 2

,

则 sin ? ? cos ? ? ________.
【答案】 ?
10 5

25. (2013 年高考江西卷(理) 函数 y ? sin 2 x ? 2 3 sin x 的最小正周期为 T 为_________. )
2

【答案】 ? 26. (2013 年上海市春季高考数学试卷())函数 y ? 4 sin x ? 3 cos x 的最大值是_______________ 【答案】5 三、解答题 27. (2013 年高考北京卷(理) 在△ABC 中,a=3,b=2 6 ,∠B=2∠A. )

(I)求 cosA 的值;

(II)求 c 的值.
6 ,∠B=2∠A.

【答案】 解:(I)因为 a=3,b=2

所以在△ABC 中,由正弦定理得

3 s in A

?

2 6 s in 2 A

.所以

2 s inA c o s A sin A

?

2 3

6

.故 c o s A ?

6 3

.

(II) 由 (I) 知 c o s A ?

6 3

, 所 以 s i An?

?

1

2

3 Ac ? o s 3

. 又 因 为 ∠B=2∠A, 所 以

cos B ? 2 cos A ? 1 ?
2

1 3

.所以 sin B ?

1 ? cos B ?
2

2 3

2

.

在△ABC 中, s in C ? s in ( A ? B ) ? s in A c o s B ? c o s A s in B ? 所以 c ?
a s in C s in A ? 5.
1

5 3 9

.

28. (2013 年高考陕西卷(理) 已知向量 a ? (c o s x , ? ), b ? ( 3 s in x , c o s 2 x ), x ? R , 设函数 f ( x ) ? a · . ) b
2

(Ⅰ) 求 f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求 f (x) 在 ? 0 ,
? ?

? ?
2? ?

上的最大值和最小值.
1 2 3 2 1 2

b 【答案】解:(Ⅰ) f ( x ) ? a · = cos x ?

3 sin x ?

cos 2 x ?

sin 2 x ?

cos 2 x ? sin( 2 x ?

?
6

).

最小正周期 T ?

2? 2

?? .

所以 f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

), 最小正周期为 ? .

(Ⅱ) 当 x ? [ 0 ,

?
2

]时, 2 x ? (

?
6

) ? [-

?
6

,

5? 6

],由标准函数

y ? sin x 在 [ -

?
6

,

5? 6

]上的图像知, .

f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? [ f (-

?
6

), f (

?
2

)] ? [ ?

1 2

,1] .

所以,f (x) 在 ? 0 ,
?

?

? ?
2? ?

上的最大值和最小值分别为 1, ?

1 2

.

29. (2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学(理) 在 ? A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 )
a ?b ?
2 2

2ab ? c .
2

(1)求 C ;
【答案】

(2)设 c o s A c o s B ?

3 2 5

,

co s ?? ? A ? co s ?? ? B ? cos ?
2

?

2 5

,求 tan ? 的值.

由题意得

30 . ( 2013
f (x) ? ?

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 ( 理 )) 已 知 函 数

? ? ? 2 2 s in ? 2 x ? ? ? 6 s in x c o s x ? 2 c o s x ? 1, x ? R 4 ? ?
? ?
2? ?

.

(Ⅰ) 求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ) 求 f(x)在区间 ? 0 ,
? ?

上的最大值和最小值.

【答案】

31 . ( 2013
a ?

年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 )) 设 向 量

?

? ? 3 s in x , s in x , b ? ? c o s x , s in x ? , x ? 0 , ? 2 ?

?

? . ? ?

(I)若 a ? b .求 x的 值 ;

(II)设函数 f ? x ? ? a ?b , 求 f ? x ? 的 最 大 值 .

【答案】

32. (2013 年高考上海卷(理))已知函数 f ( x ) ? 2 sin ( ? x ) ,其中常数 ? ? 0 ;

(1)若 y ? f ( x ) 在 [ ?

?
4

,

2? 3

] 上单调递增,求 ? 的取值范围;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x ) 的图像向左平移

?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图像,

区间 [ a , b ] ( a , b ? R 且 a ? b )满足: y ? g ( x ) 在 [ a , b ] 上至少含有 30 个零点,在所有满足上述条件的 [ a , b ]

中,求 b ? a 的最小值. 【答案】(1)因为 ? ? 0 ,根据题意有
? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 ? 2 ? 0?? ? ? 4 ? 2? ? ? ? ? 3 2 ?

(2) f ( x ) ? 2 sin ( 2 x ) , g ( x ) ? 2 s in ( 2 ( x ?
g ( x ) ? 0 ? s in ( 2 x ?

?
6

)) ? 1 ? 2 s in ( 2 x ?

?
3

) ?1

?
3

)? ?

1 2

? x ? k? ?

?
3

或 x ? k? ?

7 12

? ,k ? Z ,

即 g ( x ) 的零点相离间隔依次为

?
3



2? 3

,
2? 3 ? 15 ?

故若 y ? g ( x ) 在 [ a , b ] 上至少含有 30 个零点,则 b ? a 的最小值为 1 4 ?

?
3

?

4 3? 3

.

33 . 2013 年普 通高等学 校招生 统一 考试大 纲版数 学(理 ) 设 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 ( )
a , b , c , ( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? a c .

(I)求 B (II)若 s in A s in C ?
【答案】
3 ?1 4

,求 C .

34 .( 2013 年 高 考 四 川 卷 ( 理 )) 在 ? A B C 中 , 角 A , B , C 的 对 边 分 别 为 a , b , c , 且
2 cos
2

A?B 2

c o s B ? s in ( A ? B ) s in B ? c o s ( A ? C ) ? ?

3 5

.

(Ⅰ)求 co s A 的值;

(Ⅱ)若 a ? 4 2 , b ? 5 ,求向量 B A 在 B C 方向上的投影.
【答案】解: ? ? ? 由 2 c o s
2

??? ?

??? ?

A?B 2

c o s B ? s in ? A ? B ? s in B ? c o s ? A ? C

??

?

3 5

,得

? c o s ? A ? B ? ? 1 ? c o s B ? s in ? A ? B ? s in B ? c o s B ? ? ? ?

3 5

,

即 c o s ? A ? B ? c o s B ? sin ? A ? B ? sin B ? ? 则 cos ? A ? B ? B ? ? ?
3 5

3 5

,

,即 c o s A ? ?

3 5

? ?? ? 由 cos A

? ?

3 5
a

, 0 ? A ? ? ,得 s in A ?

4 5

,
b s in A a 2 2

由正弦定理,有

?

b s in B

,所以, s in B ?
?
4

?

.

s in A

由题知 a ? b ,则 A ? B ,故 B ?
2

.
? ? 3? ?, 5?

根据余弦定理,有 ? 4 2 ? ? 5 ? c ? 2 ? 5 c ? ? ?
2 2

解得 c ? 1 或 c ? ? 7 (舍去). 故向量 B A 在 B C 方向上的投影为 B A c o s B ?
??? ?

??? ?

??? ?

2 2

35. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理) 设△ A B C 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , )

且 a ? c ? 6 , b ? 2 , cos B ? (Ⅰ)求 a , c 的值;

7 9

.

(Ⅱ)求 sin ( A ? B ) 的值.
2 2

2 2 2 b ? ? a ? c ? ? 2 a c (1 ? co s B ) 【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2 a c co s B ,得 ,

又 a ? c ? 6 ,b ? 2 ,

cos B ?

7 9 ,所以 a c ? 9 ,解得 a ? 3 , c ? 3 .

sin B ?

1 ? cos B ?
2

4 9

2

(Ⅱ)在△ A B C 中,
s in A ? a s in B b ? 2 3 2

,

由正弦定理得

,
1 ? sin
2

因为 a ? c ,所以 A 为锐角,所以

co s A ?

A ?

1 3

s in ( A ? B ) ? s in A c o s B ? c o s A s in B ?

10 27

2

因此

.
? ?

36. (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) 已知函数 f ( x ) ? 4 c o s ? x ? sin ? ? x ? )

? ?

? (? ? 0 ) 的 4 ?

最小正周期为 ? . (Ⅰ)求? 的值; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 在区间 ? 0 , 2 ? 上的单调性.
2 (sin 2 ? x ? cos 2 ? x ? 1) ? 2 sin( 2 ? x ?

【答案】解: (Ⅰ) ? 2 2 cos ? x (sin ? x ? cos ? x ) ?
? 2? 2? ? ? ? ? ? 1 .所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

)?

2

?
4

)?

2 ,? ? 1

(Ⅱ) 当 x ? [ 0 ,

?
2

]时, 2 x ? (
?
8

?
4

)?[

?
4

,? ?
[

?
4
?

],令 2 x ?

?
4
.

?

?
2

解得 x ?

?
8



所以 y ? f ( x ) 在 [ 0 ,

]上单调递增;在

?

, ]上单调递减 8 2

37. (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的 )

周期为 ? ,图像的一个对称中心为 ( 标不变),在将所得图像向右平移
?
2

?
4

, 0) ,将函数 f ( x ) 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐

个单位长度后得到函数 g ( x) 的图像.

(1)求函数 f ( x) 与 g ( x) 的解析式; (2)是否存在 x0 ? (
? ?
, ) ,使得 f ( x0 ), g ( x0 ), f ( x0 ) g ( x0 ) 按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定 x0 的 6 4

个数;若不存在,说明理由 (3)求实数 a 与正整数 n ,使得 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x ) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点.
【答案】解:(Ⅰ)由函数 f ( x ) ? sin(? x ? ? ) 的周期为 ? , ? ? 0 ,得 ? ? 2

又曲线 y ? f ( x) 的一个对称中心为 (

?
4

, 0) , ? ? (0, ? )

? ? ? 故 f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 0 ,得 ? ? ,所以 f ( x) ? cos 2 x
4 4 2

将函数 f ( x) 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后可得 y ? cos x 的图象,再将
y ? cos x 的图象向右平移

?
2

个单位长度后得到函数 g ( x) ? sin x
2 2
1 2

(Ⅱ)当 x ? (

? ?
, 6 4

) 时,

1 2

? sin x ?

, 0 ? cos 2 x ?

所以 sin x ? cos 2 x ? sin x cos 2 x

问题转化为方程 2 cos 2 x ? sin x ? sin x cos 2 x 在 ( 设 G ( x) ? sin x ? sin x cos 2 x ? 2 cos 2 x , x ? (

? ?

, ) 内是否有解 6 4

? ?

, ) 6 4

则 G ?( x) ? cos x ? cos x cos 2 x ? 2 sin 2 x(2 ? sin x) 因为 x ? (
? ?
, 6 4 ) ,所以 G ?( x) ? 0 , G ( x ) 在 (

? ?

, ) 内单调递增 6 4

? ? 1 又 G( ) ? ? ? 0 , G( ) ?
6 4

2 2

?0

4

且函数 G ( x) 的图象连续不断,故可知函数 G ( x) 在 ( 即存在唯一的 x0 ? (
? ?
, ) 满足题意 6 4

? ?

, ) 内存在唯一零点 x0 , 6 4

(Ⅲ)依题意, F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ,令 F ( x) ? a sin x ? cos 2 x ? 0 当 sin x ? 0 ,即 x ? k? (k ? Z ) 时, cos 2 x ? 1 ,从而 x ? k? (k ? Z ) 不是方程 F ( x ) ? 0 的解,所以方程
F ( x) ? 0 等价于关于 x 的方程 a ? ?

cos 2 x sin x

, x ? k? ( k ? Z )

现研究 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 时方程解的情况 令 h( x ) ? ?
cos 2 x sin x

, x ? (0, ? ) U (? , 2? )

则问题转化为研究直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 x ? (0, ? ) U (? , 2? ) 的交点情况
cos x(2 sin x ? 1)
2

h?( x ) ?

sin x

2

,令 h?( x) ? 0 ,得 x ?

?
2

或x ?

3? 2

当 x 变化时, h( x) 和 h?( x) 变化情况如下表
x
(0,
h?( x )

?
2

)

?
2

(

?

,? )

(? ,

3? 2

)

3? 2

(

3? 2

, 2? )

?

0

2 ?

?

0
?1

?

h( x )

Z

]

]

Z

当 x ? 0 且 x 趋近于 0 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ?? 当 x ? ? 且 x 趋近于 ? 时, h( x) 趋向于 ??

当 x ? 2? 且 x 趋近于 2? 时, h( x) 趋向于 ?? 故当 a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有无交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点; 当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内无交点; 当 ?1 ? a ? 1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) 内有 2 个交点,在 (? , 2? ) 内有 2 个交点 由函数 h( x) 的周期性,可知当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内总有偶数个交点,从而不 存在正整数 n ,使得直线 y ? a 与曲线 y ? h( x) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个交点;当 a ? ?1 时,直线 y ? a 与 曲线 y ? h( x) 在 (0, ? ) U (? , 2? ) 内有 3 个交点,由周期性, 2013 ? 3 ? 671 ,所以 n ? 671? 2 ? 1342 综上,当 a ? ?1 , n ? 1342 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? ag ( x ) 在 (0, n? ) 内恰有 2013 个零点
38 . 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 招 生 考 试 江 苏 卷 ( 数 学 ) 本 小 题 满 分 14 分 . 已 知 ( )
? a= ( c o ? s ? ? ? , s ?n , ) i b ? ( ? o s ?, s , 0 ? ? ? ? ? ? . c in )

(1)若 | a ? b |?

? ? ? ? ? ? 2 ,求证: a ? b ;(2)设 c ? (0 ,1) ,若 a ? b ? c ,求 ? , ? 的值.

【答案】解:(1)∵ | a ? b | ?

2
2

∴| a ? b | ? 2
2

即 a?b
2

?

?

2

? a
2

2

? 2ab ? b

2

? 2,

又∵ a

2

? | a | ? cos
2

2

? ? sin

? ? 1,b

2

? | b | ? cos
2

? ? sin

? ? 1 ∴2 ? 2ab ? 2 ∴ ab ? 0 ∴a ? b
? cos ? ? ? cos ? ? sin ? ? 1 ? sin ?

(2)∵ a ? b ? (cos ? ? cos ? , sin ? ? sin ? ) ? ( 0 ,1)

∴?

? cos ? ? cos ? ? 0 ? sin ? ? sin ? ? 1

即?

两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 : 1 ? 2 ? 2 sin ? ∴? ?
5 6

∴ sin ? ?

1 2

∴ sin ? ?

1 2

∵ 0? ? ?? ??

? ,? ?

1 6

?
? ? ? 2 cos ? x ? ? ,x?R . 12 ? ?

39. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷)已知函数 f ( x ) ?
? ?

(Ⅰ) 求 f ? ?

? ?

? 的值; 6 ?

(Ⅱ) 若 c o s ? ?

3 5

,? ? ?

? ? ? ? , 2 ? ? ,求 f ? 2 ? ? ?. 3 ? ? 2 ? ?
? 3?

【答案】(Ⅰ) f ? ?
?

?

? ?

?? 6 ?

? ? ? ? 2 cos ? ? ? ?? ? 6 12 ?

? ? ? 2 cos ? ? ? ? ? 4 ?

2 cos

?
4

?1;

(Ⅱ) f ? 2? ?
?

?

? ?

?? 3 ?

? ? ? ? 2 c o s ? 2? ? ? ?? 3 12 ? ?

? ? ? 2 c o s ? 2? ? ? ? c o s 2 ? ? sin 2 ? 4 ? ?

因为 c o s ? ?

3 5

,? ? ?

? 3?

4 ? , 2 ? ? ,所以 s in ? ? ? , 5 ? 2 ?
24 25

所以 s in 2? ? 2 s in ? c o s ? ? ? 所以 f ? 2? ?
? ?

, c o s 2? ? c o s ? ? s in ? ? ?
2 2

7 25

? ?

7 ? 24 ? 17 ??? . ? ? co s 2? ? sin 2? ? ? ?? 3 ? 25 ? 25 ? 25

40. (2013 年高考湖南卷(理) 已知函数 f ( x ) ? s in ( x ? )
3 3 5

?
6

) ? cos( x ?

?
3

). g ( x ) ? 2 s in

2

x 2

.

(I)若 ? 是第一象限角,且 f (? ) ?

.求 g (? ) 的值;

(II)求使 f ( x ) ? g ( x ) 成立的 x 的取值集合.
3 2 1 2 1 2 3 2
2

【答案】解: (I) f ( x ) ?
3 5

sin x ?

cos x ?

cos x ?

sin x ?

3 sin x ? f (? ) ?

3 sin ? ?

3 3 5

.

? sin ? ?

,? ? (0,

?
2

) ? cos ? ?

4 5

, 且 g (? ) ? 2 sin

?
2

? 1 ? cos ? ?

1 5

(II) f ( x ) ? g ( x ) ?
?
6 ? [2 k? ?

3 sin x ? 1 ? cos x ?

3 2

sin x ?

1 2

cos x ? sin( x ?

?
6

)?

1 2

? x?

?
6

,2 k? ?

5? 6

] ? x ? [ 2 k? ,2 k? ?

2? 3

], k ? Z

41. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) 本小题满分 16 分.如图,游客从某旅游景区 )

的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然 后从 B 沿直线步行到 C .现有甲.乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m / min .在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从匀速步行到 C .假设缆车匀速直线运动的速度为
130 m / min ,山路 AC 长为 1260 m ,经测量, cos A ?

12 13

, cos C ?

3 5

.

(1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内? A B

C
【答案】解:(1)∵ cos A ?
?
12 13 ( ∴ A 、 C ? 0, )∴ sin A ? 2 5 13

, cos C ?

3 5 4 5

, sin C ?

? ( ∴ sin B ? sin ?? ? A ? C ) ? sin ( A ? C )? sin A cos C ? cos A sin C ?
根据
AB sinC ? AC sinB

63 65

得 AB ?

AC sinB

sin C ? 1040 m
2

(2)设乙出发 t 分钟后,甲.乙距离为 d,则 d ∴d
2

? (130 t ) ? (100 ? 50 t ) ? 2 ? 130 t ? (100 ? 50 t ) ?
2 2

12 13

? 200 ( 37 t
1040 130

2

? 70 t ? 50 )

∵0 ? t ? ∴t ?
35 37

即0 ? t ? 8
35 37
BC sinA ? AC sinB

时,即乙出发

分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
AC sinB 1260 63 65 5 13

(3)由正弦定理

得 BC ?

sin A ?

? 500 (m)

乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V m / min ,则
500 v 710 50 1250 43
500 v ? 710 50 ? 3

∴? 3 ?

?

? 3∴

? v ?

625 14
? 1250 ? 43 , 625 ? 范围内 14 ? ?

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 ? 法二:解:(1)如图作 BD⊥CA 于点 D, 设 BD=20k,则 DC=25k,AD=48k, AB=52k,由 AC=63k=1260m, 知:AB=52k=1040m. (2)设乙出发 x 分钟后到达点 M, 此时甲到达 N 点,如图所示. 则:AM=130x,AN=50(x+2), 2 2 2 2 由余弦定理得:MN =AM +AN -2 AM·ANcosA=7400 x -14000 x+10000, 35 其中 0≤x≤8,当 x= (min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短. 37 1260 126 (3)由(1)知:BC=500m,甲到 C 用时: = (min). 50 5

126 141 86 若甲等乙 3 分钟,则乙到 C 用时: +3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5 86 1250 此时乙的速度最小,且为:500÷ = m/min. 5 43 126 111 56 若乙等甲 3 分钟,则乙到 C 用时: -3= (min),在 BC 上用时: (min) . 5 5 5

56 625 此时乙的速度最大,且为:500÷ = m/min. 5 14 1250 625 故乙步行的速度应控制在[ , ]范围内. 43 14 M B D C
42 . 2013 年 高 考 湖 北 卷 ( 理 ) 在 ? A B C 中 , 角 A , B , C 对 应 的 边 分 别 是 a , b , c . 已 知 ( )
cos 2 A ? 3 cos ? B ? C ? ? 1.

A N

(I)求角 A 的大小; (II)若 ? A B C 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.
【答案】解:(I)由已知条件得: c o s 2 A ? 3 c o s A ? 1
? 2 c o s A ? 3 c o s A ? 2 ? 0 ,解得 c o s A ?
2

1 2

,角 A ? 6 0 ?
a
2 2

(II) S ?

1 2

b c s in A ? 5 3 ? c ? 4 ,由余弦定理得: a ? 2 1 , ? 2 R ? ?
2

2

? 28

sin A

? s in B s in C ?

bc 4R
2

?

5 7

43. (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯) △ ABC 在内角 A, B, C 的对边分别为 )
a, b, c ,已知 a ? b cos C ? c sin B .

(Ⅰ)求 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 ,求△ ABC 面积的最大值.

【答案】

44. (2013年高考新课标1(理) 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90° )

1 (1)若 PB= ,求 PA;(2)若∠APB=150°,求 tan∠PBA 2

[
【 答 案 】 (Ⅰ) 由 已 知 得 ,∠PBC= 60
1 4 1 2 7 4
7 2
o

,∴∠PBA=30 , 在 △PBA

o

中 , 由 余 弦 定 理 得

PA = 3 ?
2

? 2? 3 ?

cos 30 =

o

,∴PA=

;
sin ? sin(30 ? ? )
o

(Ⅱ) 设 ∠PBA= ? , 由 已 知 得 ,PB= sin ? , 在 △PBA 中 , 由 正弦 定 理 得 ,

3 sin150
o

?

,化简

得, 3 cos ? ? 4 sin ? , ∴ tan ? =
3 4 3 4

,∴ tan ?PBA =

.

45. (2013 年上海市春季高考数学试卷)本题共有 2 个小题,第一小题满分 4 分,第二小题满分 9 分.

在平面直角坐标系 x O y 中,点 A 在 y 轴正半轴上,点 Pn 在 x 轴上,其横坐标为 x n ,且 { x n }

是首项为 1、公

比为 2 的等比数列,记 ? Pn A Pn ? 1 ? ? n , n ? N . (1)若 ? 3 ? a rc ta n
1 3

?

,求点 A 的坐标;

8 (2)若点 A 的坐标为 (0, 2 ) ,求 ? n 的最大值及相应 n 的值.

y A

0

P1 P2 P3

P4

x

[解](1)

(2)
t 【答案】[解](1)设 A (0, ) ,根据题意, x n ? 2
n ?1

.由 ? 3 ? a rc ta n
t ( x4 ? x3 ) t ? x4 ? x3
2

1 3

,知 ta n ? 3 ?

1 3

,

x4

? x4 t

x3 t ? x3 t ?

而 ta n ? 3 ? ta n ( ? O A P4 ? ? O A P3 ) ?

t 1?

?

4t t ? 32
2

,

所以

4t t ? 32
2

?

1 3

,解得 t ? 4 或 t ? 8 .

8) 故点 A 的坐标为 ( 0,4 ) 或 (0, .
n ?1

(2)由题意,点 Pn 的坐标为 ( 2

n ?1

,0 ) , ta n ? O A Pn ?
n ?1

2

.

8 2

2 tan ? n ? tan ( ? O A Pn ? 1 ? ? O A Pn ) ?

n

? 2
n

2

8 2 1?

8 2 2
n ?1

?

2

n ?1 2 n ?1

? 16 2 2
n

1 ? 2
n

.

? 8 2 8 2
1 2 2 2 4

8 2 ?

2

8 2

8 2

因为

16 2
n

2

?

2

n

? 2

8 2 16 2
n

2 ,所以 ta n ? n ?

?

,

当且仅当

2

?

2

n

,即 n ? 4 时等号成立.
?
2
2 4

8 2

易知 0 ? ? n ?

?
2

, ? ta n x 在 ( 0, y

) 上为增函数,

因此,当 n ? 4 时, ? n 最大,其最大值为 a rc ta n

.

46.2013 年高考江西卷 ( (理)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(conA)

sinA)cosB=0.

(1) 求角 B 的大小;若 a+c=1,求 b 的取值范围

【答案】解:(1)由已知得 ? co s( A ? B ) ? co s A co s B ?

3 sin A co s B ? 0

即有 sin A sin B ?

3 sin A co s B ? 0 3 co s B ? 0 ,又 co s B ? 0 ,所以 tan B ? 3 ,

因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 0 ? B ? ? ,所以 B ?
2

?
3

.
2 2

(2)由余弦定理,有 b ? a ? c ? 2 a c co s B . 因为 a ? c ? 1, c o s B ? 又 0 ? a ? 1 ,于是有
1 4 1 2 ? b ? 1 ,即有
2

,有 b ? 3( a ?
2

1 2

) ?
2

1 4

.

1 2

? b ?1.


相关文章:
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数 大题答案
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数 大题答案_高考_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数三、解答题 27. (2013 年高考北京...
2013高考数学分类汇编:三角函数(理)
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 . 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版)已知() ? ? R, sin ? ? ...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 .(2013 年浙江...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3三角函数
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3三角函数_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数(附答案)
2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版) )已知 ? ? R, sin ? ? ...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一考试...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数
2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 .已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? 10 ,则 tan 2? ? 2 C. ? A. 4 3 B. 3 4 3 4...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数
2013年全国高考理科数学试题分类汇编3:三角函数_数学_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学分类汇编 3:三角函数一、选择题 1 .(2013 年普通高等学校招生统一...
2013年全国高考理科数学试题分类汇编-专题三 三角函数
2013年全国高考理科数学试题分类汇编-专题三 三角函数_高考_高中教育_教育专区。...2 对称 3 2 (D) f ? x ? 既奇函数,又是周期函数 77. (2013 年普通...
更多相关标签: