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B快递公司送货策略


2008 高教社杯全国大学生数学建模竞赛







我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网 上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的 资料(包括网上查到的资料) ,必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。 我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为,我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是(从 A/B/C/D 中选择一项填写) : 我们的参赛报名号为(如果赛区设置报名号的话) : 所属学校(请填写完整的全名) : 参赛队员 (打印并签名) :1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人

B

中原工学院信息商务学院 程欢欢 郭亚楠 宋响

(打印并签名): 日期: 年 月 日

1

编 号 专 用 页

赛区评阅编号(由赛区组委会评阅前进行编号):

赛区评阅记录(可供赛区评阅时使用): 评 阅 人 评 分 备 注

全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):

全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):

2

快递公司送货策略 摘 要
本文是解决业务员送快件路程安排的问题。业务员至少经过每个送货点一次,为合 理安排业务员的工作,建立一个双目标最优化模型和一个单目标最优化模型。 对于问题一,建立了双目标最优化模型。将问题一转化为八个售货员的最佳旅行售 货员问题,采用最短路径的 D ijkstra 算法,并用 m a tla b 软件编程计算,得到最优树图, 然后按送货点的快件质量总和 25kg 标准将最优树分成八块,最后根据最小环路定理, 利用 lingo 编程。得到八组的路线。根据送货点位置特点进一步优化 对于问题二,根据费用最少建立单目标最优化模型,确定约束条件。利用
m icrosoft visu a l

软件 c ? ? 6.0 求得较优的方案

对于问题三, 在问题一的双目标最优化模型的基础上,结合实际。重新安排业务员
的工作。

关键词:双目标最优化模型 最优哈密顿圈

单目标最优化模型

D ijkstra

算法 最佳旅行售货员

最小生成树

1. 问题的重述
目前,快递行业正蓬勃发展,为我们的生活带来更多方便。对于快递公司,保 证快件能够在指定的时间内送达目的地的前提下,如何才能使业务员人数最少,派 送费用最低 1:所有快件在早上 7 点钟到达,早上 9 点钟开始派送,要求于当天 17 点之前 必须派送完毕 2:每个业务员每天平均工作时间不超过 6 小时 3:在每个送货点停留的时间为 10 分钟,途中速度为 25km/h,每次出发最多能 带 25 千克的重量。 为计算简便,快件一律用重量来衡量,平均每天收到总重量为 184.5 千克。公 司总部位于坐标原点处(如图表 1) ,每个送货点的位置和快件重量见下表,并且假 设送货运行路线均为平行于坐标轴的折线。 本文需要解决的问题: 1:请你运用有关数学建模的知识,给该公司提供一个合理的送货策略(即需要多 少业务员,每个业务员的运行线路,以及总的运行公里数) ; 2:如果业务员携带快件时的速度是 20km/h,获得酬金 3 元/km?kg;而不携带快件 时的速度是 30km/h,酬金 2 元/km,请为公司设计一个费用最省的策略; 3:如果可以延长业务员的工作时间到 8 小时,公司的送货策略将有何变化? 表一
3

送货点 1 2 3 4 6 5 7 8 9 10 11 12 13 14 20

快件量 T (kg) 8 8.2 6 5.5 3 4.5 7.2 2.3 1.4 6.5 4.1 12.7 5.8 3.8 4.6

坐标(km) x y 3 2 1 5 5 4 4 7 0 8 3 11 7 9 9 6 10 2 14 0 17 3 14 6 12 9 10 12 7 14

送货点 16 17 18 19 15 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

快件量 T (kg) 3.5 5.8 7.5 7.8 3.4 6.2 6.8 2.4 7.6 9.6 10 12 6.0 8.1 4.2

坐标(km) x y 2 16 6 18 11 17 15 12 19 9 22 5 21 0 27 9 15 19 15 14 20 17 21 13 24 20 25 16 28 18

2.问题的分析
若将每个公司总部和送货点看成一个图的顶点,各送货点与送货点,送货点与公司 总部的连线看作此图对应顶点间的边,每两个地点的行走距离(横纵坐标差的绝对值之 和)看作对应边上的权,所给送货点就转化为加权网络图,问题就转化图论中一类称之 为旅行售货员的问题,即在给定的加权网络图中寻找从给定点 O 出发,行遍所有顶点至 少一次再回到点 O,使得总权(路程或时间)最小. 本题所求的业务员的最佳路线,也 就是 m 条经过同一点并覆盖所有其他顶点又可使边上的权之和达到最小的闭链 (闭迹) , 即最佳旅行售货员问题。 针对问题一:在平均时间、重量的约束条件下建立了一个双目标最优化的模型,求出一 个合理的运货策略,使得业务员的人数尽量少并且使每个业务员平均路程尽量接近。 由每天送快件的总重量和每位业务员每次所能携带总重量的限制得: 每天收到货的总重 量/出发最多带的重量 ? 1 8 4 .5
25 ? 7 .3 8

,即至少送快件八次才能将所有的快件送完。于是问

题转换为 8 名售货员的最佳路线问题。 针对问题二:在问题一的基础上求出业务员的数目 num,由于业务员携带与不携带快件 的酬金不同,为使费用最低即使发费在每位业务员的费用最低。因此建立求费用最省的 单目标最优化模型。通过方案的对比,求出最省的费用策略。 针对问题三:若把业务员平均每天六个小时的工作时间改为八个小时,在原来的基础上 把六小时的约束条件改为八小时,再根据每组所得的时间合理的组合起来,使每个业务 员的工作时间尽量相同。 模型假设:

3.模型的假设与符号说明
3.1 模型的假设
4

1. 每次业务员从一个区送货回来,再配货的时间为 0,即不花时间。 2. 街道平行于坐标轴。 3. 业务员中途不休息,运货途中快件没有损坏,业务员运送过程也十分安全,没有堵 车等问题,并且业务员很敬业,即一切顺利。 4. 业务员不会中转邮件,即不会中途交给另一个业务员。 5. 每个送货点每天的邮件量基本相同。 6. 在业务员出发后到达邮局的邮件均算入第二天的邮件量。 7. 业务员送完货后必须到公司报到,各个业务员之间运送快件的任务是相互独立。 8. 每个业务员每天的工作时间不超过 6 小时。 9. 每个送货点停留的时间为 10 分钟,途中速度为 25km/h,并且每次出发最多能带 25 千克的重量的货物。 10. 快件一律用重量来衡量,平均每天收到总重量为 184.5 千克。 3.2 符号说明 G(V,E):赋权连通图; W(ei):边 ei 的边权; W(vi):点 vi 的点权; lk: Lj 的各边权之和; V:邮递员的速度; V0:邮局所在地; m(j):第 j 个区域送货的地点数目; M(j):第 j 个区域送货的地点数目; Wp(i):第 j 个区域到第 i 个点时快件剩余重量; V(m(j) o):第 i 个区域最后一个送货点到快递公司的距离; V0:带快递时的速度; mo:带快递时的每千米每千克的费用; v1:不带快递时的速度; m1: 不带快递时的每千米每千克的费用; we(j):第 j 个区域送货总重量; num:业务员的数目 其他符号在文中用到时给出说明.

4.模型的建立与求解
问题一 1 模型的建立 由各送货点的坐标,按照与坐标轴平行行走的方法利用 Microsoft Visual C++ 6.0 软件得到每条边的权。由问题的分析,将送货路线抽象为一个赋权连通图 G (V , E ) ,再 把图 G 分成八个子图 G ( j =1,2,3, 4,5,6,7,8) ,在每个子图中寻找最佳回路 L ( j =1,2, j j

5

3,4,5,6,7,8) l j 为回路 L j 的各边权之和。从公司角度考虑应使业务员尽量少,针对业 , 务员每位走的路线应尽量接近,则确定的双目标最优化的目标函数应该为:
? m in n u m ? 8 ? ? ? m in l k ? l k ? 1 ? i?2

由问题一的分析知道此题属于 NP 问题,对于大型网络(赋权图) ,目前还没有一个求 解旅行售货问题的有效算法,因此只能找一种求出相当好(不一定是最优)的解. 一个有效的方法是,根据最短路径的 D ijkstra 原理,用 MATLAB 软件编程计算得到图的最 优树。如下图所示: 图一 由于在最优树上,各边权接近,要使最优树分解时, 分解结果尽量均衡, 则各子图包 含的顶点就应尽量接近 4 个,通过增环、扩环等方法,对子图内部进行适当调整优化, 由此得到最优树的分解原则如下: (1)每个分区点权的和 ? 25 (2)分解点为 O 点或尽可能接近 O 点; (3)分解所得的三个子图包含的顶点数尽可能接近 4 个; (4)尽量使分解所得的子图为连通图; (5)尽量使子图与 O 的最短路上的点在该子圈内,尽量使各子图内部形成环路。 根据以上原则,得到分解后的结果如下图所示:

寻找出每个分支的最佳哈密尔顿(Hamilton)回路,运用 LINGO 软件编程计算得到 结果如下表: 表2 分八组的路线
问题一
6

问题一

问题三

路线 0-1-3-2-0 0-6-16-5-7-4-0 0-8-14-18-17-20-0 0-9-12-11-10-0 0-19-25-24-0 0-13-15-21-22-0 0-26-28-30-0 0-27-29-23-0 合计 8

经过点数 路程(km) 重量(kg) 时间(h) 业务员(6h) 业务员(8h) 3 5 5 4 3 4 3 3 30 20 45 60 46 68 62 96 86 483 22.2 23.7 24 24.7 25 22.2 20.2 22.5 184.5 1.3 2.63 3.23 2.51 3.22 3.15 4.34 3.94 24.32 ① ③ ① ② ③ ② ④ ⑤ 5 ① ② ② ③ ④ ④ ① ③

4

注:1,2,3,……,30 表示送货地点;①②……⑤表示业务员编号。编号相同表示同一业务员。

由表可知,每个业务员的运行路线、经过点数、携带重量,工作时间和费用。在工作时 间 6h 时需要 5 名业务员,总的时间为 24.32h,总的路程为 483km。 方案二 模型的建立 目标函数的确定 由图分析,坐标分布呈现弧形。首先通过弧形的方案,对临近点的连接,把 30 个 地点分成八个区域如表三,且每个区域的重量都小于等于 25kg,然后使用 MATLAB 软件 找到每个回路的最优哈密顿圈。最后计算出业务员到每个区域送货需要的时间,把几个 区域的时间相加接近 6h 的由一个业务员去送,即 min num(num 表示业务员总人数)。题 目中给的送货点如下:
y
20

15

10

5

x
5 10 15 20 25

30 个送货地点在坐标平面上坐标 模型的求解与分析 假设有八个业务员,算出每个业务员的时间,而总的时间为 24.66h,这样的话,每 个业务员的工作时间大约三个小时,不管是从公司的利益还是从现实的情况都不合理,
7

由此猜测,这八个业务员肯定有同一个人送不同路径的快件,而约束条件给定,每个业 务员每天的平均工作时间小于六个小时,现在不管怎样组合总的时间一定,若为四个业 务员,平均时间为 6.15,大于 6 小时,不符题意。若为六个业务员,平均时间为 4.1, 与给出的六小时相差较多,故从公司利益来看,选择 5 个业务员较合理。具体的各项数 据见下表。 表三
问题一 路线 0-1-3-4-0 0-2-5-17-16-6-0 0-26-28-30-9-0 0-8-27-29-23-0 0-12-11-10-0 0-19-15-21-22-0 0-18-24-25-0 0-7-20-14-13-0 合计 8 问题一 问题三 经 过路 程重 量时 间 点数 (km) (kg) (h) 业务员(6h)业务员(8h) 3 5 4 4 3 4 3 4 30 24 48 96 86 46 68 68 52 488 19.5 25 21.6 24.8 23.3 24.2 24.7 21.4 184.5 1.63 2.75 4.51 4.07 2.34 3.39 3.22 2.75 24.66 ① ② ③ ④ ⑤ ① ③ ② 5 ① ③ ② ④ ④ ③ ① ②

4

注:1,2,3,……,30 表示送货地点;①②……⑤表示业务员编号。编号相同表示同一业务员。

由表可知,每个业务员的运行路线、经过点数、携带重量,工作时间和费用。在工作时 间 6h 时需要 5 名业务员,总的时间为 24.66h,总的路程为 488km, 根据算得路径可得出下图:

8

通过对比,发现方案一比较优越,所用时间短,路程也最短。所用时间为 24.32h,路程 为 483km.所以该公司应采用模型一,每位业务员走的路线为表 2 问题二: 建立模型 这是一个优化问题,由于业务员携带快件时速度为 20km/h,酬金为 3 元/km*kg, 不携带 快件时速度为 30km/h,酬金为 2 元/km*kg,求费用最省策,即建立单目标最优化模型

min ?

8

j ?1

? ? m ? j ? ?1 l v m ? j ? ?1 , 0 ? m 1 ? ? ? ? w p ? i ? ? w ? ei ? ? m 0 ? ? ? ? v0 v1 ? i ?1 ? ? ?

??

? ?

?? ?? ?? ?? ??

确定约束条件 约束条件

s.t:
m0 ? 3 m1 ? 2 v0 ? 2 0 v1 ? 3 0

? w e ? j ? ? 1 8 4 .5
j ?1

8

wp ?i? ? we ? j ? ? l v m ? j ? ? 1, 0 vv

? w ?e ?
k k ?1

i ?1

? ?

?

? ? l ? 0, v ? m ? ? 1 ? ? m
? j?

? j?

?6

v0

60

? w ? e ? ? 25
i i ?1

m? j?

针对方案一和方案二利用 Microsoft Visual C++ 6.0 编程求出费用分别是 15566.3, 16203.5 元。可知采用方案一费用较省。但费用还可以进一步优化,例如在满足条件的 前提下改变业务员的行走路线或者改变业务员的人数以减少公司的费用 问题三 问题三建立在问题一的基础上,有计算和方案对比可知,如果业务员每天工作时间有 6 小时延长到 8 小时,在总时间和路径不变的 3.075 情况下,故需要四个业务员更合理而 且算得这样的费用最省,具体情况如下表 :
问题三 路线 0-2-3-1-0 0-4-7-5-16-6-0 0-8-14-18-17-0 0-10-11-12-9-0 路程 (km) 20 45 60 46 时间(h) 1.3 2.63 3.23 2.51 费用(元) 638.4 1476.1 2156.1 1676.4 业务员 ① ② ② ③

9

0-19-15-25-24-0 0-22-21-15-13-0 0-26-28-30-0 0-27-29-23-0 合计 8

68 62 96 86 483

3.22 3.15 4.34 3.94 24.32

2310.2 2032.8 2624 2652.3 15566.3

④ ④ ① ③

4

1. 模型的评价
1、模型的优点: (1)本模型能够直观地看出各种策略的优缺点,便于决策。 (2)通过各种策略的横向比较,能直观地选出较优的解。而且模型简单易懂,便于理 解。 (3)模型系统的给出了业务员的行走方案,便于指导工作实践。 2、模型的缺点: 模型给出的约束条件可能有不太现实的,忽略了很多因素,这些因素在实际中不可 忽略。问题一可以看到虽然模型一的总路线较短,但是每位业务员行走的路程差大,从 业务员角度缺乏公平性

5 参考文献
[1]:姜启源、谢金星、叶俊编, 《数学模型》-3 版,北京,高等教育出版社,2003.8 [2]:吴建国、汪名杰、李虎军、刘仁云编, 《数学建模案例精编》-1 版,北京,中国水利水电出版 社,2005.5

[3]:邓微,MATLAB 函数速查手册:人民邮电出版社,2008. 附录一: v1=20; v2=30; v3=25; tm=input('猜输入题目序号(如第一题:1) :') if tm==1 fa=input('猜输入方案序号(如第一方案:1) :'); elseif tm==2 fa=input('猜输入方案序号(如第一方案:1) :'); end X=[3 1 5 4 3 0 7 9 10 14 17 14 12 10 19 2 6 11 15 7 22 21 27 15 15 20 21 24 25 28]; Y=[2 5 4 7 11 8 9 6 2 0 3 6 9 12 9 16 18 17 12 14 5 0 9 19 14 17 13 20 16 18]; m=[8 8.2 6 5.5 4.5 3 7.2 2.3 1.4 6.5 4.1 12.7 5.8 3.8 3.4 3.5 5.8 7.5 7.8 4.6 6.2 6.8 2.4 7.6 9.6 10 12 6.0 8.1 4.2]; L1=[];L2=[];L3=[];L4=[];L5=[];L6=[];L7=[];L8=[]; sm=zeros(1,8);t=zeros(1,8);L=[];d=zeros(1,8);Q=zeros(1,8);jm=zeros(1,8); PX=[];PY=[]; s=['L1';'L2';'L3';'L4';'L5';'L6';'L7';'L8'];
10

if fa==1 L1=[1 3 2]; L2=[6 16 5 7 4]; L3=[8 14 18 17 20]; L4=[9 12 11 10]; L5=[19 25 24]; L6=[13 15 21 22]; L7=[26 28 30]; L8=[27 29 23]; elseif fa==2 L1=[1 3 2]; L2=[6 5 16 17 4]; L3=[9 12 13 8]; L4=[7 20 18 14]; L5=[10 11 15 26]; L6=[19 25 24]; L7=[22 21 27]; L8=[23 30 28 29]; elseif fa==3 L1=[2 4 5 6]; L2=[1 3 7 8 9]; L3=[10 11 12]; L4=[22 21 23 15 13]; L5=[16 17 18 20]; L6=[14 25 19]; L7=[24 28 26]; L8=[27 29 30]; elseif fa==4 L1=[2 4 5 6]; L2=[16 17 18 20]; L3=[7 14 25]; L4=[24 28 26]; L5=[1 8 13 19]; L6=[27 29 30]; L7=[10 22 21 11 9]; L8=[3 12 15 23]; elseif fa==5 L1=[1 9 10]; L2=[2 5 4 3]; L3=[12 13 14]; L4=[6 16 17 20 7]; L5=[22 21 15 19]; L6=[18 24 25]; L7=[8 27 29 23];
11

L8=[11 26 28 30]; end plot(X,Y,'k*') hold on for i=1:8 if i==1 L=L1; elseif i==2 L=L2; elseif i==3 L=L3; elseif i==4 L=L4; elseif i==5 L=L5; elseif i==6 L=L6; elseif i==7 L=L7; elseif i==8 L=L8; end PX=L;PY=L; for k=1:length(L) sm(i)=sm(i)+m(L(k)); PX(k)=X(L(k)); PY(k)=Y(L(k)); if k==1 d(i)=X(L(k))+Y(L(k)); else d(i)=d(i)+abs(X(L(k))-X(L(k-1)))+abs(Y(L(k))-Y(L(k-1))); end if k==length(L) d(i)=d(i)+X(L(k))+Y(L(k)); end end if tm==1 t(i)=(d(i)-X(L(k))-Y(L(k)))/v3+(X(L(k))+Y(L(k)))/v3+length(L)/6; elseif tm==2 t(i)=(d(i)-X(L(k))-Y(L(k)))/v1+(X(L(k))+Y(L(k)))/v2+length(L)/6; end jm(i)=sm(i); for k=1:length(L) if k==1
12

Q(i)=3*jm(i)*(X(L(k))+Y(L(k))); else jm(i)=jm(i)-m(L(k-1)); Q(i)=Q(i)+3*jm(i)*(abs(X(L(k))-X(L(k-1)))+abs(Y(L(k))-Y(L(k-1)))); end if k==length(L) Q(i)=Q(i)+2*(X(L(k))+Y(L(k))); end end plot(PX,PY,'r-') hold on text(X(L(1))+0.5,Y(L(1))+0.5,s(i,:)); end disp('时间为:'); disp(t); disp('重量为:'); disp(sm); disp('总路程:'); disp(d); if tm==2 disp('各路线费用:'); disp(Q); end 附录二: #include <iostream> using namespace std; #include <stdio.h> #include <math.h> struct position{ int x; int y; int weight; int len; }; int main() { int n; int i,j; int total=0; cout<<"请输入点的个数"<<endl; position *pos=new position[n]; for (i=0;i<n;i++) { cout<<"请输入横坐标,纵坐标,点的权,边的权"<<endl;
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cin>>pos[i].x>>pos[i].y>>pos[i].weight>>pos[i].len; total+=pos[i].weight; } position p; for (i=0;i<n-2;i++) { for (j=0;j<n-i-1;j++) { if (((pos[j].len)*(pos[i].weight))>((pos[j+1].weight)*(pos[j+1].weight))) { p=pos[j]; pos[j]=pos[j+1]; pos[j+1]=p; } } } int sum=0; int m=1; while (m<n) { total-=pos[i].weight; sum=sum+(pos[m-1].len)*total*3/20; } sum=sum+abs((pos[n-1].len)*2/30); cout<<sum<<endl; return 0; } 附录三: clear;clc; n=31; a=zeros(n); a(1,2)=5;a(1,3)=6;a(1,4)=9;a(1,5)=11;a(1,6)=14;a(1,7)=8;a(1,8)=16;a(1,9)=15 ;a(1,10)=12;a(1,11)=14;a(1,12)=20;a(1,13)=20;a(1,14)=21;a(1,15)=22;a(1,16)= 28;a(1,17)=18;a(1,18)=24;a(1,19)=28;a(1,20)=27;a(1,21)=21;a(1,22)=27;a(1,23 )=21;a(1,24)=36;a(1,25)=34;a(1,26)=29;a(1,27)=37;a(1,28)=34;a(1,29)=44;a(1, 30)=41;a(1,31)=46; a(2,3)=5;a(2,4)=4;a(2,5)=6;a(2,6)=9;a(2,7)=9;a(2,8)=11;a(2,9)=10;a(2,10)=7; a(2,11)=13;a(2,12)=15;a(2,13)=15;a(2,14)=16;a(2,15)=17;a(2,16)=23;a(2,17)=1 5;a(2,18)=19;a(2,19)=23;a(2,20)=22;a(2,21)=16;a(2,22)=22;a(2,23)=20;a(2,24) =31;a(2,25)=29;a(2,26)=24;a(2,27)=32;a(2,28)=29;a(2,29)=39;a(2,30)=36;a(2,3
14

1)=41; a(3,4)=5;a(3,5)=5;a(3,6)=8;a(3,7)=4;a(3,8)=10;a(3,9)=9;a(3,10)=12;a(3,11)=1 8;a(3,12)=18;a(3,13)=14;a(3,14)=15;a(3,15)=16;a(3,16)=22;a(3,17)=12;a(3,18) =18;a(3,19)=22;a(3,20)=21;a(3,21)=15;a(3,22)=21;a(3,23)=26;a(3,24)=30;a(3,2 5)=18;a(3,26)=23;a(3,27)=31;a(3,28)=28;a(3,29)=38;a(3,30)=35;a(3,31)=40; a(4,5)=4;a(4,6)=9;a(4,7)=9;a(4,8)=7;a(4,9)=6;a(4,10)=7;a(4,11)=13;a(4,12)=1 3;a(4,13)=10;a(4,14)=12;a(4,15)=13;a(4,16)=18;a(4,17)=15;a(4,18)=15;a(4,19) =19;a(4,20)=18;a(4,21)=12;a(4,22)=18;a(4,23)=20;a(4,24)=27;a(4,25)=25;a(4,2 6)=20;a(4,27)=28;a(4,28)=25;a(4,29)=35;a(4,30)=32;a(4,31)=37; a(5,6)=5;a(5,7)=5;a(5,8)=5;a(5,9)=6;a(5,10)=11;a(5,11)=17;a(5,12)=17;a(5,13 )=11;a(5,14)=10;a(5,15)=11;a(5,16)=17;a(5,17)=11;a(5,18)=13;a(5,19)=17;a(5, 20)=16;a(5,21)=10;a(5,22)=20;a(5,23)=24;a(5,24)=25;a(5,25)=23;a(5,26)=18;a( 5,27)=26;a(5,28)=23;a(5,29)=33;a(5,30)=30;a(5,31)=35; a(6,7)=6;a(6,8)=6;a(6,9)=11;a(6,10)=16;a(6,11)=22;a(6,12)=22;a(6,13)=16;a(6 ,14)=11;a(6,15)=8;a(6,16)=18;a(6,17)=6;a(6,18)=10;a(6,19)=14;a(6,20)=13;a(6 ,21)=8;a(6,22)=25;a(6,23)=29;a(6,24)=26;a(6,25)=20;a(6,26)=15;a(6,27)=25;a( 6,28)=20;a(6,29)=30;a(6,30)=27;a(6,31)=32; a(7,8)=8;a(7,9)=11;a(7,10)=16;a(7,11)=22;a(7,12)=22;a(7,13)=16;a(7,14)=13;a (7,15)=14;a(7,16)=20;a(7,17)=10;a(7,18)=9;a(7,19)=20;a(7,20)=19;a(7,21)=13; a(7,22)=25;a(7,23)=29;a(7,24)=28;a(7,25)=26;a(7,26)=21;a(7,27)=29;a(7,28)=2 6;a(7,29)=36;a(7,30)=33;a(7,31)=38; a(8,9)=5;a(8,10)=10;a(8,11)=16;a(8,12)=16;a(8,13)=10;a(8,14)=5;a(8,15)=6;a( 8,16)=12;a(8,17)=12;a(8,18)=10;a(8,19)=12;a(8,20)=11;a(8,21)=5;a(8,22)=19;a (8,23)=23;a(8,24)=20;a(8,25)=18;a(8,26)=13;a(8,27)=21;a(8,28)=18;a(8,29)=28 ;a(8,30)=25;a(8,31)=30; a(9,10)=5;a(9,11)=11;a(9,12)=11;a(9,13)=5;a(9,14)=6;a(9,15)=7;a(9,16)=13;a( 9,17)=17;a(9,18)=15;a(9,19)=13;a(9,20)=12;a(9,21)=10;a(9,22)=14;a(9,23)=18; a(9,24)=21;a(9,25)=19;a(9,26)=14;a(9,27)=22;a(9,28)=19;a(9,29)=29;a(9,30)=2 6;a(9,31)=31; a(10,11)=6;a(10,12)=8;a(10,13)=8;a(10,14)=9;a(10,15)=10;a(10,16)=16;a(10,17 )=22;a(10,18)=20;a(10,19)=16;a(10,20)=15;a(10,21)=15;a(10,22)=15;a(10,23)=1 3;a(10,24)=24;a(10,25)=22;a(10,26)=17;a(10,27)=25;a(10,28)=22;a(10,29)=32;a (10,30)=29;a(10,31)=34; a(11,12)=6;a(11,13)=6;a(11,14)=11;a(11,15)=16;a(11,16)=14;a(11,17)=28;a(11, 18)=26;a(11,19)=20;a(11,20)=13;a(11,21)=21;a(11,22)=13;a(11,23)=7;a(11,24)= 22;a(11,25)=20;a(11,26)=15;a(11,27)=23;a(11,28)=20;a(11,29)=30;a(11,30)=27; a(11,31)=32; a(12,13)=6;a(12,14)=11;a(12,15)=16;a(12,16)=8;a(12,17)=28;a(12,18)=26;a(12, 19)=20;a(12,20)=11;a(12,21)=22;a(12,22)=7;a(12,23)=7;a(12,24)=16;a(12,25)=1 8;a(12,26)=13;a(12,27)=17;a(12,28)=14;a(12,29)=24;a(12,30)=21;a(12,31)=26; a(13,14)=5;a(13,15)=10;a(13,16)=8;a(13,17)=22;a(13,18)=20;a(13,19)=14;a(13, 20)=7;a(13,21)=15;a(13,22)=9;a(13,23)=13;a(13,24)=16;a(13,25)=14;a(13,26)=9 ;a(13,27)=17;a(13,28)=14;a(13,29)=24;a(13,30)=21;a(13,31)=26; a(14,15)=5;a(14,16)=7;a(14,17)=17;a(14,18)=15;a(14,19)=9;a(14,20)=6;a(14,21
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)=10;a(14,22)=143;a(14,23)=18;a(14,24)=15;a(14,25)=13;a(14,26)=8;a(14,27)=1 6;a(14,28)=13;a(14,29)=23;a(14,30)=20;a(14,31)=25; a(15,16)=12;a(15,17)=12;a(15,18)=10;a(15,19)=6;a(15,20)=5;a(15,21)=5;a(15,2 2)=19;a(15,23)=23;a(15,24)=20;a(15,25)=12;a(15,26)=7;a(15,27)=15;a(15,28)=1 2;a(15,29)=22;a(15,30)=19;a(15,31)=24; a(16,17)=24;a(16,18)=22;a(16,19)=16;a(16,20)=7;a(16,21)=18;a(16,22)=7;a(16, 23)=11;a(16,24)=8;a(16,25)=14;a(16,26)=9;a(16,27)=9;a(16,28)=6;a(16,29)=16; a(16,30)=13;a(16,31)=18; a(17,18)=6;a(17,19)=10;a(17,20)=17;a(17,21)=7;a(17,22)=21;a(17,23)=35;a(17, 24)=32;a(17,25)=16;a(17,26)=15;a(17,27)=19;a(17,28)=22;a(17,29)=16;a(17,30) =13;a(17,31)=18; a(18,19)=6;a(18,20)=15;a(18,21)=5;a(18,22)=29;a(18,23)=33;a(18,24)=30;a(18, 25)=10;a(18,26)=13;a(18,27)=15;a(18,28)=18;a(18,29)=20;a(18,30)=21;a(18,31) =12; a(19,20)=9;a(19,21)=7;a(19,22)=23;a(19,23)=27;a(19,24)=24;a(19,25)=6;a(19,2 6)=7;a(19,27)=9;a(19,28)=14;a(19,29)=16;a(19,30)=15;a(19,31)=18; a(20,21)=10;a(20,22)=14;a(20,23)=18;a(20,24)=15;a(20,25)=7;a(20,26)=2;a(20, 27)=10;a(20,28)=7;a(20,29)=17;a(20,30)=14;a(20,31)=19; a(21,22)=24;a(21,23)=28;a(21,24)=15;a(21,25)=13;a(21,26)=8;a(21,27)=16;a(21 ,28)=15;a(21,29)=23;a(21,30)=20;a(21,31)=15; a(22,23)=6;a(22,24)=9;a(22,25)=21;a(22,26)=16;a(22,27)=14;a(22,28)=9;a(22,2 9)=17;a(22,30)=14;a(22,31)=19; a(23,24)=15;a(23,25)=25;a(23,26)=20;a(23,27)=18;a(23,28)=13;a(23,29)=23;a(2 3,30)=20;a(23,31)=25; a(24,25)=22;a(24,26)=17;a(24,27)=15;a(24,28)=10;a(24,29)=14;a(24,30)=9;a(24 ,31)=10; a(25,26)=5;a(25,27)=7;a(25,28)=12;a(25,29)=10;a(25,30)=13;a(25,31)=14; a(26,27)=8;a(26,28)=7;a(26,29)=15;a(26,30)=12;a(26,31)=17; a(27,28)=5;a(27,29)=7;a(27,30)=6;a(27,31)=9; a(28,29)=10;a(28,30)=7;a(28,31)=12; a(29,30)=5;a(29,31)=6; a(30,31)=5; a=a+a'; a(find(a==0))=inf; result=[]; p=1; tb=2:length(a); while length(result)~=length(a)-1 temp=a(p,tb);temp=temp(:); d=min(temp); [jb,kb]=find(a(p,tb)==d); j=p(jb(1));k=tb(kb(1)); result=[result,[j;k;d]]; p=[p,k];
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tb(find(tb==k))=[]; end result 附录四: sets: cities/1..31/:level; link(cities,cities):distance,x; endsets data: distance=[]; enddata min=@sum(link(i,j)|i#ne#j:distance(i,j)*x(i,j) ); n=@size(cities); @for(cities(i):@sum(cities(j)|j#ne#i:x(j,i))=1;); @for(cities(i): @for(cities(j)|j#gt#1#and#j#ne#i: level(j)>=level(i)+x(i,j)-(n-2)*(1-x(1,j))+(n-3)*x(j,i););); @for(link:@bin(x)); @for(cities(i)|i#gt#1:level(i)<=n-1-(n-2)*x(1,i); level(i)>=1+(n-2)*x(i,1);); 附录五 #include<stdio.h> #include<iostream> #include<math.h> using namespace std; typedef struct{ int i; int j; }A; int main() { int n; cout<<"请输入坐标的数目"<<endl; cin>>n; A *section=new A[n]; for(int k=0;k<n;k++) { cout<<"请输入第"<<k+1<<"个坐标"<<endl; cin>>section[k].i>>section[k].j; } int m=0; while(m<n-1) {
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for(int k=m+1;k<n;k++) cout<<"("<<section[m].i<<","<<section[m].j<<") 与 ("<<section[k].i<<","<<section[k].j<<") 的 距 离 是 "<<fabs(section[m].i-section[k].i)+fabs(section[m].j-section[k].j)<<endl; m++; } return 0; }

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