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2016年哈尔滨市第一次联合考试 理科数学


东北师大附中 辽宁省实验中学 哈尔滨师大附中 2016 年高三第一次联合模拟考试理科数学试卷精编 第 I 卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求) 1.若集合 A ? [2,3] , B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ,则 A B ? A. {2,3} B. ?

C.2 D. [2,3] 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了集合的运算、一元二次方程的解法以及区间的认识,集合的基本运算在 近几年的各省高考题出现的频率较高,常与一元二次不等的解法交汇命题。 【解题思路】先求出集合 B,然后根据交集的定义求出相应的结果。 【解析】 B ? {x | x2 ? 5x ? 6 ? 0} ? {2,3} , A B ? [2,3] {2,3} ? {2,3} .所以选择 A 选项. 2.若复数 z 满足 zi = 1 + i,则 z 的共轭复数是 A.-1 - i B.1 + i

C.-1 + i

D.1 - i

【答案】B 【考查方向】本题主要考查了复数的运算、共轭复数的概念,复数的运算在近几年各省的高考题中几 乎每年都会出现,需要高度重视。 【易错点】复数的运算题目一般比较容易,往往会在计算时因失误而失分。 【解题思路】先求出复数 z,然后根据共轭复数的概念写出 z 。 【解析】在 zi = 1 + i 两边同时乘以 i,得到 -z=i-1,从而 z=1-i,于是 z ? 1 ? i .所以选择 B 选项. 3.若 m = 6,n = 4,按照如图所示的程序框图运行后,输出的结果是 1 A. B.100 C.10 D.1 100 【答案】D 【考查方向】 本题主要考查了程序框图以及对数的运算。 算法初步是 新课改增加的知识点,在近几年的各省高考题中几乎每年都会考到, 以选择结构和循环结构的考查为主, 常常和函数、 数列等知识交汇命 题。 【易错点】本题会由于没有记清楚 lg a 的含义而出错。 【解题思路】根据流程顺序,将 m,n 的值代入验证即可。 【解析】将 m = 6,n = 4,代入流程图中,由于 6>4,因此走左边的一 支,此时 y ? lg(6 ? 4) ? lg10 ? 1 ,所以选 B 选项。 4.已知向量 a,b 满足 a ? b ? (1, ?3) , a ? b ? (3,7) , a ? b ? A.-12 B.-20 C.12 D.20 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了向量的坐标运算。 【易错点】1、本题往往会因为没有记清楚向量数量积的坐标运算公式而出错; 2、本题会在计算时出现失误而导致计算出错。 【解题思路】

1、根据向量的加、减运算计算出向量 a,b 的坐标; 2、由向量数量积的坐标运算公式 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 即可得到结果。 【解析】由于 a ? b ? (1, ?3) , a ? b ? (3,7) ,两式相加得到 a=(2,2),两式相减得到 b=(-1,-5),
a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 ? (?1) ? 2 ? (?5) ? ?12 ,所以选 A 选项。
?2 x ? 2, x ? 0 5.若函数 f ( x) ? ? x ,则 f ( f (1)) 的值为 ?2 ? 4, x ? 0 A.-10 B.10 C.-2

D.2

【答案】C 【考查方向】本题主要考查了对分段函数的理解以及对复合函数的认识、分段函数在近几年的各省 高考题出现的频率较高。 【易错点】本题易在不理解 f ( f (1)) 的含义而导致错误。 【解题思路】根据复合函数的运算规则,从内层函数出发,逐层往外计算,因此先算 f (1) ,然后再 算 f ( f (1)) . 【解析】因为 1>0,所以 f (1) ? 21 ? 4 =-2,此时由于 f (1) =-2<0,因此 f ( f (1)) ? 2 ? ( ?2) ? 2 ? ?2 ,所以选 C 选项。
1 1 6.设 a, b ? R ,若 p : a ? b , q : ? ? 0 ,则 p 是 q 的 b a A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】B 【考查方向】 本题主要考查了充分条件与必要条件以及不等式的基本性质,充分条件与必要条件在近 几年的各省高考题出现的频率较高,常与不等式交汇命题。 【易错点】1、本题易在不理解充分条件与必要条件的含义而导致错误。 2、本题在应用不等式的性质时会因为疏忽符号而出现错误。 【解题思路】 1、充分条件的判断可以通过取特殊值进行验证; 2、必要条件的判断可以通过不等式的基本性质进行判断。 1 1 1 1 【解析】因为 a ? b ,不妨取 a=-1,b=1,则 ? 1, ? ?1 ,得不到 ? ? 0 ,于是 p 是 q 成立的不充分 b a b a
1 1 1 1 条件;反过来,由于 q : ? ? 0 ,因此 a、b 均小于 0,在 ? 两端同时乘以 ab,即可得到 a ? b , b a b a

从而 p 是 q 成立的必要条件,因此选择 B 选项。

? 7.若点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,则 cos(2? ? ) 的值等于 2 4 4 3 A. ? B. C. ? 5 5 5

D.

3 5

[

【答案】B 【考查方向】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式,诱导公式以及三角恒等变换问题,考查 了转化化归思想方法。 【易错点】1、本题易在使用诱导公式时判断错误符号而导致出错。 2、本题容易因为公式记忆不清楚而出现错误。 【解题思路】首先由点 P 在直线上,可以求得 tan ? ,再利用诱导公式以及三角恒等变换可以求得最

终结果。 【解析】因为点 P(cos ? ,sin ? ) 在直线 y ? ?2 x 上,所以 sin ? ? ?2cos? ,从而 tan ? ? ?2 ,

? 2 tan ? 2 ? (?2) 4 cos(2? ? ) ? ? sin 2? ? ? ?? ? ,所以选 B 选项。 2 1 ? tan 2 ? 1 ? (?2)2 5
8.数学活动小组由 12 名同学组成,现将 12 名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只 研究一个课题,并要求每组选出一名组长,则不同的分配方案的种数为 A.
3 3 3 C12 C9 C6 4 A4 3 A3

3 3 3 4 B. C12 C9 C6 3

C.

3 3 3 C12 C9 C6 3 4 4 A4

3 3 3 3 D. C12 C9 C6 4

【答案】B 【考查方向】本题主要考查了排列与组合的相关知识,主要考查学生分析问题以及运用所学知识解 决实际问题的能力。 【易错点】本题易在左右平移时发生错误,易忽视 x 的系数 2 。 【解题思路】确定解决问题的步骤,根据步骤逐步完成任务即可。
3 3 3 【解析】第一步,先给每个课题选研究成员,共有 C12 C9 C6 种选法(见右表);

3 3 3 4 第二步, 给每个课题组选组长, 有 34 种方法, 因此不同的分配方式有 C12 所以选择B选项。 C9 C6 3 种,

9.从某大学随机抽取的 5 名女大学生的身高 x(厘米)和体重 y(公斤)数据如下表 x 165 160 175 155 170 y 58 52 62 43 60 ?? ? ? 0.92 x ? a ? ,则 a 根据上表可得回归直线方程为 y A.-96.8 B.96.8 C.-104.4 D.104.4 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了考生对回归直线方程的认识,回归直线在新课改中的地位有所提高,在 近几年的各省高考题中失常出现,常与概率、统计等相关知识融合出题。 【易错点】1、本题易在计算时出现失误而导致错误。 2、本题不容易理解线性回归直线方程的含义而导致无法做答。

? 可以知道,只需要算出 y、x ,代入公式即可; ? ? y ? bx 【解题思路】根据公式 a
【解析】 y ? (58+52+62+43+60)=55、x ?

1 5

1 (165 ? 160 ? 175 ? 155 ? 170) ? 165 , 5

? ? 55 ? 0.92 ?165 ? ?96.8 ,所以选择 A 选项。 ? ? y ? bx a
10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
17 7 17 ? 3 10 B. C.13 D. 2 3 2 【答案】A 【考查方向】本题主要考查了三视图以及空间几何体的体积计算公式,三视 图是新课改中新增的知识,在近几年的各省高考题中几乎每年都会出现,常 与空间几何体的表面积和体积交汇命题。 【易错点】不能根据三视图准确地还原出原来的空间几何体而导致本题不会做。 【解题思路】 1、首先根据三视图还原出原来的几何体; 2、根据空间几何体的体积计算公式选择合适的公式计算。

A.

【解析】该三视图所对应得空间几何体如图所示:根据台体的体积计算公式 1 1 1 1 7 V ? h(S ? SS ? ? S ?) ? ? 2 ? (2 ? 2 ? ? ) ? ,所以选 A 选项。 3 3 2 2 3 2 2 x y 11.双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0) , F2 (c,0) ,M, a b N 两点在双曲线 C 上, 且 MN∥ F1F2,| F1 F2 |? 4 | MN | , 线段 F1N 交双曲线 C 于点 Q, 且 | FQ Q N| 1 | |? 则双曲线 C 的离心率为



A. 3 B.2 C. 5 D. 6 【答案】D 【考查方向】本题主要考查了双曲线的定义、方程以及几何性质等知识点,同时考查了综合法、转 化法等思想方法以及学生的计算能力。 【易错点】本题容易因为对双曲线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。 【解题思路】确定 N、Q 的坐标,代入双曲线方程,即可求出双曲线的离心率。 c c 【解析】由于 MN∥F1F2, | F1 F2 |? 4 | MN | ,所以 | MN |? , N ( , y) ,又因为 | F1Q |?| QN | ,所以Q是 2 4
3c y , ) ,N,Q代入双曲线的标准方程中,可以求得 e ? 6 ,所以选 B 选项。 8 2 12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 的图象为一条连续不断的曲线, f (1 ? x) ? f (1 ? x) , f (1) ? a , 且当 0 < x < 1 时, f ( x) 的导函数 f ?( x) 满足: f ?( x) ? f ( x) ,则 f ( x) 在 [2015, 2016] 上的最大值为

F1 N 的中点,所以 Q(?

A.a

B.0

C.-a

D.2016

【答案】C 【考查方向】本题主要考查了函数的单调性、周期性、奇偶性等性质,同时考察了数形结合思想, 该类综合性在近几年各省的高考试题中频繁出现,需要引起重视。 【易错点】本题容易因为不理解 f ?( x) ? f ( x) 这一条件所反映的信息而无法做答。 【解题思路】根据题目中的信息画出符合条件的函数的草图,结合草图利用函数的周期性予以解决。 【解析】 由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 可知函数的对称轴为 x = 1, 由 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数可知 f ( x) 的
x 图像过原点, 令 g ( x) ? e ? x f ( x) , 则 g ?( 因此 g ( x) ? e? x f ( x) 是减函数, x) ? e ?( f ( x?) f ? ( x) 0 ? ,

f ( x) ? e x g ( x) 在(0,1)上为减函数,据此可以画出 f ( x) 的草图(如
图),易知 f ( x) 是周期为 4 的周期函数,于是 f (2015) ? f (3) ? ?a,

f (2016) ? f (4) ? f (0) ? 0 , f ( x) 在 [2015, 2016] 上单调递减,其最
大值为 f (2015) ? ?a ,所以选 C 选项。

第 II 卷(非选择题,共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 ~ 第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题 ~ 第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分) ?x ? y ? 1 ? 0 ? 13.若实数 x,y 满足 ? x ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是__________。 ?x ? 0 ?

【答案】2 【考查方向】本题主要考查了线性规划的相关知识。 【易错点】本题往往会因为不能准确地画出可行域而导致错误。 【解题思路】 1、根据线性约束条件画出可行域。 2、画出直线 x ? 2 y ? 0 ,通过平移确定最大值的位置. 【解析】可行域如图所示,易知当直线 x ? 2 y ? 0 平移至经过 A(0,1) 点时目标函数取得最大值,最大值为 z ? 0 ? 2 ?1 ? 2 。 14.已知三棱锥 P-ABC,若 PA,PB,PC 两两垂直,且 PA = 2,PB = PC = 1,则三棱锥 P-ABC 的内 切球半径为__________。 【答案】

1 4

【考查方向】本题主要考查了空间几何体的结构的相关知识以及“等体积法”的应用,主要考查学 生的空间想象能力和运算求解能力。 【易错点】本题往往会因为不能准确地想象题目中所要求的空间几何体而无法求解。 【解题思路】以内切球的球心为顶点,把三棱锥转化成 4 个小三棱锥,然后体积加一 起就是大三棱锥的体积。(本题也可以) 【解析】如图设O为内切球的球心,其半径为r,则由 VP? ABC ? VO? ABP ? VO? PBC ? VO? PAC ? VO? ABC , 代入数据即可求得 r=

1 。 4

(说明:本题也可以建立空间直角坐标系,利用点到面的距离求解,具体过程略。) 15.已知圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 与抛物线 y 2 ? mx(m ? 0) 的准线交于 A、B 两点,且 | AB |? 2 3 ,则 m 的 值为__________。 【答案】8 【考查方向】本题主要考查了抛物线的性质以及直线与圆的位置关系问题,同时考查了学生的数形 结合以及分类讨论思想。 【易错点】本题必须要对抛物线的标准方程和几何性质有深刻的认识,否则容易因为误认为准线为 m x ? ? 而出错。 2 【解题思路】根据题意画出合适的图形,然后结合图形进行分析和计算. 【解析】在平面直角坐标系中画出圆 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 如图所示,据图可以知 道 CD= 2 3 ,因此抛物线的开口是向右的,其准线为 x ? ? OA=2,得 OE=1,因此准线 x ? ? 16.已知 ΔABC 满足 A ?
m ? ?2 ,解得 m=8。 4

m .由 AE= 3 , 4

?
3

, ( AB ? AC ) ? BC ? 0 ,点 M 在 ΔABC 外,且 MB = 2MC = 2,则 MA 的取

值范围是__________。 【答案】[1,3] 【考查方向】本题主要考查了向量的基本运算、正余弦定理,同时考查了学生的数形结合思想以及 转化化归思想,难度较大。 【解题思路】

1、根据 ( AB ? AC ) ? BC ? 0 判断出三角形 ABC 的形状,并画出符合题意的草图。 2、结合图形利用正余弦定理分析求解。 【解析】由 ( AB ? AC ) ? BC ? 0 可以得知三角形 ABC 为正三角形,根据题意画出
a 2 1 如图所示的图形, 在三角形 BCM 中, 由正弦定理得: 整 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? )
2sin ? ......(1), a 由 sin ? ? 2sin(? ? ? ) ? 2sin ? cos ? ? 2cos? sin ? 得 sin ? (1 ? 2cos ? ) ? 2cos ? sin ? ......(2),

理得: sin ? ?

将(1)代入(2)得到 1 ? 2cos ? ? a cos ? ......(3),三角形 BCM 中余弦定理可得 cos ? ? (3)、(4)联立整理得 a2 ? 5 ? 4cos ? ......(5)

a2 ? 3 ......(4), 2a

? 2 三角形 ACM 中余弦定理可得 MA ? a 2 ? 1 ? 2a cos(? ? ) ? a 2 ? 1 ? a cos ? ? 3 sin ? ......(6), 3
将(1)、(3)、(5)代入(6)得 MA ? a 2 ? 1 ? 2a cos(? ? ) ? 5 ? 2 3 sin ? ? 2cos ? ? 5 ? 4(sin ? ? ) , 3 6 因此 1 ? MA ? 3 . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 3 1 已知数列 {an } 满足 a1 ? ,且 an?1 ? 3an ? 1 , bn ? an ? 。 2 2 (1)求证:数列 {bn } 是等比数列; b ?1 (2)若不等式 n ? m 对 ?n ? N * 恒成立,求实数 m 的取值范围。 bn ?1 ? 1 【答案】 (1)∵ an ?1 ?
2

?

?

b 1 1 3 1 ? 3an ? ? 3(an ? ) ,? n ?1 ? 3 ,又 b1 ? a1 ? ? 1 ,所以数列 ?bn ? 是以 1 2 2 2 bn 2

为首项,以 3 为公比的等比数列; (2)? m ? 1 . 【考查方向】本题考查了利用定义证明数列 {bn } 是等比数列的问题以及不等式恒成立的问题,证明
{bn } 是等比数列是一类常见的问题,可以采用“构造法”即可解决;不等式恒成立问题可以转化为



bn ? 1 的最大值问题,可以结合函数的单调性来解决。 bn ?1 ? 1

【解题思路】本题考查等比数列的证明以及不等式恒成立问题,解题步骤如下: 1、通过“构造法”来证明 ?bn ? 是等比数列;
2、涉及恒成立问题,转化成求函数的最值.

【解析】试题分析:本题第(1)问属于数列中的基本问题,可以直接用构造法解决;第(2)问是 b ?1 数列与函数、不等式的综合问题,难度较大,需要把问题转化为求 n 的最大值的问题,在解决 bn ?1 ? 1 过程中需要“分离常数”。

(1)证明:∵ an ?1 ?

b 1 1 3 1 ? 3an ? ? 3(an ? ) ,? n ?1 ? 3 ,又 b1 ? a1 ? ? 1 , 2 2 2 bn 2

所以数列 ?bn ? 是以 1 为首项,以 3 为公比的等比数列; (2)解:由(1)知,

3n ?1 ? 1 1 4 bn ? 3n?1 ,由 bn ? 1 ? m ,即 ? ? m得 n ?m, n 3 ?1 bn ?1 ? 1 3 3 ? 3 ? 1?

设 cn ?

1 4 ,所以数列 ?cn ? 为减数列, ? n 3 3 ? 3 ? 1?
.

? cn ?max ? c1 ? 1 ,? m ? 1

18. (本小题满分 12 分) 在某批次的某种日光灯管中,随机地抽取 500 个样品,并对 其寿命进行追踪调查,将结果列成频率分布直方图如下。根 据寿命将灯 管分成优等品、正品和次品三个等级,其中寿命 大于或等于 500 天的灯管是优等品,寿命小于 300 天的灯管 是次品,其余的灯管是正品。 (1)根据这 500 个数据的频率分布直方图,求出这批日光灯管的平均寿命; (2)某人从这个批次的灯管中随机地购买了 4 个进行使用,若以上 述频率作为概率,用 X 表示此 人所购买的灯管中优等品的个数,求 X 的分布列和数学期望。 【答案】 (1)370; (2)随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

数学期望 E ( X ) ? 4 ?

1 ?1. 4

【考查方向】本题考查了依据频率分布直方图求平均数、离散型随机变量的分布列、二项分布以及 数学期望的基础知识,考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力,考查运算求 解能力和应用意识。 【易错点】本题容易因对频率分布直方图的认识不到位而导致计算出错; 【解题思路】 1、根据频率分布直方图的相关知识求出平均值; 2、求出随机变量 X 取不同值时的概率,列出随机变量的分布列; 3、根据数学期望的计算公式求出相应的数学期望. 【解析】试题分析:本题第(1)问属于统计与概率中的基础知识,难度不大;第(2)问是概率统 计中的常见问题,考查二项分布,需要在计算的时候细心。 解: (Ⅰ)平均数为

50 ? 0.05 ? 150 ? 0.1 ? 250 ? 0.15 ? 350 ? 0.3 ? 450 ? 0.15 ? 550 ? 0.2 ? 650 ? 0.05 ? 370
(Ⅱ) X 的所有取值为 0,1, 2,3, 4 .由题意,购买一个灯管,且这个灯管是优等品的概率为

k 4? k ? 1? ? 3? k ?1? 0.20 ? 0.05 ? 0.25 ,且 X ~ B ? 4, ? , P( X ? k ) ? C4 ? ? ? ? ? (k ? 0,1, 2,3, 4) , ? 4? ?4? ?4?

1 4 81 1 1 3 108 27 1 ? , P( X ? 1) ? C4 ? ? (1 ? ) ? , 4 256 4 4 256 64 1 2 13 1 2 54 27 1 1 12 3 3 ? P( X ? 2) ? C2 ? , P( X ? 3) ? C4 ? ( ) (1 ? ) ? , 4 ? ( ) (1 ? ) ? 4 4 256 64 4 4 256 128 1 4 1 0 1 P( X ? 4) ? C4 . 4 ? ( ) (1 ? ) ? 4 4 256 所以随机变量 X 的分布列为:
所以 P( X ? 0) ? C4 ? (1 ? ) ?
0

X P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64
1 ?1. 4

1 256

所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 4 ?

19. (本小题 满分 12 分) 如图, 菱形 ABCD 中, ∠ ABC = 60° , AC 与 BD 相交于点 O, AE⊥平面 ABCD, CF∥ AE,AB = AE = 2。 (1)求证:BD⊥平面 ACFE; (2)当直线 FO 与平面 BED 所成角的大小为 45° 时,求 CF 的长度。 【答案】 (1)略; (2)a=3; 【考查方向】本题考查了空间点、线、面的位置关系,同时考查了空间想 象能力和运算求解能力。 【易错点】本题容易因对频率分布直方图的认识不到位而导致计算出错; 【解题思路】 1、第(1)问根据线面垂直的判定定理,在平面 ACFE 中寻找两条与 BD 垂直的直线; 2、第(2)问可以通过建立空间直角坐标系,用向量的方法来解决; 【解析】试题分析:本题第(1)问属于空间线面垂直关系的判定,是基础知识,难度中等;第(2) 问是线面角的问题,用向量解决时需要在计算的时候细心。解答过程如下: (Ⅰ)证明: 四边形 ABCD 是菱形, ? BD ? AC .

Q AE ? 平面 ABCD , BD ? 平面 ABCD ? BD ? AE . Q AC ? AE ? A ,

? BD ? 平面 ACFE
(Ⅱ)解:如图以 O 为原点, OA, OB 为 x, y 轴正向, z 轴过 O 且平行 于 CF ,建立空间直角坐标系.则
B(0, 3, 0), D(0, ? 3, 0), E(1, 0, 2), F (?1, 0, a)(a ? 0) , OF ? (?1, 0, a)
uuu r

设平面 EDB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 则有 r uuu ,即 令 z ? 1, r r n ? (?2,0,1) ? ? 3 y ? 0 ? n ? OB ? 0 ? ? r ? r uuu ? ?x ? 2z ? 0 ? ?n ? OE ? 0 uuu r r uuu r r 1 | OF ? n | |2?a| 2 o 由题意 sin 45 ?| cos ? OF , n ?|? uuu 解得 a ? 3 或 ? . r r ? ? 3 2 | OF || n | a2 ? 1 5 由 a ? 0 ,得 a ? 3 20. (本小题满分 12 分)
3 x2 y 2 2 ,且点 ( 2, ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ) 在 C 上。 2 2 2 a b (1)求椭圆 C 的方程; (2)直线 l 经过点 P(1,0) ,且与椭圆 C 有两个交点 A、B,是否存在直线 l0:x = x0(其中 x0 > 2) , d | PA | 使得 A、B 到 l0 的距离 dA、dB 满足 A ? 恒成立?若存在,求 x0 的值;若不存在,请说明理由。 d B | PB |

r

已知椭圆 C:

【答案】(1)

x2 ? y 2 ? 1 ;(2)存在 x0 .当 x0 ? 4 时符合题意。 4

【考查方向】本题考查了椭圆的标准方程与几何性质,直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考 查了解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 【解题思路】 1、第(1)问根据椭圆的标准方程以及几何性质,建立方程组,通过待定系数的方法即可求解; 2、第(2)问可以通过直线与椭圆的位置关系建立方程组,利用韦达定理、解方程求解; 【解析】试题分析:本题第(1)问属于椭圆简单几何性质的应用,是基础知识;第(2)问是直线 与椭圆的位置关系的问题,常用解析几何的基本思想方法求解,运算量比较大,需要考生在计算过 程中认真、细心。解答过程如下: ? ? ?a ? 2. ?a 2 ? b2 ? c 2 , ? x2 ? C b ? 1, ? y2 ? 1. (Ⅰ)由题意得 ? c 解得 所以 的方程为 3 ? ? , ? 4 ? 2 ?a c ? 3. ? 1 ? ?2 2 ? 2 ? 2 ? 1. b ?a (Ⅱ)存在 x0 .当 x0 ? 4 时符合题意. 当直线 l 斜率不存在时, x0 可以为任意值.

? y ? k ( x ? 1), ? 设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,点 A , B 满足: ? x 2 2 ? ? y ? 1. ?4 2 2 2 2 2 2 2 所以 x A , xB 满足 x ? 4k ( x ? 1) ? 4 ,即 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 .

? ?? ? (8k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 1)(4k 2 ? 4) ? 0, ? 8k 2 所以 ? , ? x A ? xB ? 2 4k ? 1 ? ? 4k 2 ? 4 . ? x A xB ? 4k 2 ? 1 ? 不妨设 xA ? 1 ? xB ,
因为 d A ? | PB | ?d B ? | PA |?

1 ? k 2 [| x0 ? xA | ? | xB ? 1| ? | x0 ? xB | ? | xA ? 1|]

? 1 ? k 2 [2 x0 ? ( x0 ? 1)( xA ? xB ) ? 2 xA xB ] ? 0
从而 2 x0 ?

综上,

8( x0 ? 1)k 2 8(k 2 ? 1) ? ? 0 .整理得 2 x0 ? 8 ? 0 ,即 x0 ? 4 . 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1 x0 ? 4
时符合题意.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? ax 2 ,曲线 y ? f ( x) 在 x = 1 处的切线方程为 y ? bx ? 1 。 (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f ( x) 在 [0,1] 上的最大值; (3)证明:当 x > 0 时, e x ? (1 ? e) x ? x ln x ? 1 ? 0 【答案】(1) a ? 1, b ? e ? 2 ;(2) f ( x)max ? f (1) ? e ? 1 ;(3)略。 【考查方向】本题考查了导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等 基础知识和方法,考查函数思想和化归思想,考查综合分析问题和解决问题的能力。 【解题思路】 1、第(1)问根据导数的几何意义,建立方程组,通过“待定系数法”即可求解; 2、第(2)问可以通过函数的单调性与导数的关系,利用导数判断函数的单调性,再结合函数的单 调性确定函数的最大值; 3、第(3)问可以通过转化化归的方法,将问题转化为函数的最大、最小值问题进行求解。 【解析】试题分析:本题第(1)问属于导数几何意义的应用,是基础知识;第(2)问是用导数研 究函数的性质的问题,是导数题目中的常见问题;第(3)问是用导数作为工具来解决不等式问题, 题目综合性较强,难度较大。解答过程如下: (Ⅰ) f '( x) ? e ? 2ax ,由题设得, f '(1) ? e ? 2a ? b , f (1) ? e ? a ? b ? 1 ,
x

解得, a ? 1, b ? e ? 2 . (Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)知, f ( x) ? e ? x ,? f '( x) ? e ? 2 x ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? x ? 0, x ? ?0,1? ,
x 2 x

故 f ( x) 在 ? 0,1? 上单调递增,所以, f ( x)max ? f (1) ? e ? 1 . 法 2:由(Ⅰ)知, f ( x) ? e ? x ,? f '( x) ? e ? 2 x, f ''( x) ? e ? 2 ,
x 2 x x

? f '( x) 在 ? 0, ln 2 ? 上单调递减,在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增,

所以, f '( x) ? f '(ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? 0 , 所以, f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,所以, f ( x)max ? f (1) ? e ?1 .

(Ⅲ)因为 f (0) ? 1 ,又由(Ⅱ)知, f ( x) 过点 (1, e ? 1) ,且 y ? f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为

y ? (e ? 2) x ? 1 ,故可猜测:当 x ? 0, x ? 1 时, f ( x) 的图象恒在切线 y ? (e ? 2) x ? 1 的上方.
下证:当 x ? 0 时, f ( x) ? (e ? 2) x ? 1 .
x x 设 g ( x) ? f ( x) ? (e ? 2) x ? 1, x ? 0 ,则 g '( x) ? e ? 2 x ? (e ? 2), g ''( x) ? e ? 2 ,

由(Ⅱ)知, g '( x) 在 ? 0, ln 2 ? 上单调递减,在 ? ln 2, ?? ? 上单调递增, 又 g '(0) ? 3 ? e ? 0, g '(1) ? 0,0 ? ln 2 ? 1,? g '(ln 2) ? 0 , 所以,存在 x0 ? ? 0,1? ,使得 g '( x) ? 0 , 所以,当 x ? ? 0, x0 ?

?1, ?? ? 时, g '( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 ,1) , g '( x) ? 0 ,

故 g ( x) 在 ? 0, x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单调递减,在 ?1, ?? ? 上单调递增. 又 g (0) ? g (1) ? 0,? g ( x) ? e ? x ? (e ? 2) x ? 1 ? 0 ,当且仅当 x ? 1 时取等号.
x 2



e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x, x ? 0 . x
x

由(Ⅱ)知, e ? x ? 1 ,故 x ? ln( x ? 1),? x ? 1 ? ln x ,当且仅当 x ? 1 时取等号.

e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x ? ln x ? 1 . 所以, x e x ? (2 ? e) x ? 1 ? ln x ? 1 .所以, e x ? (2 ? e) x ? 1 ? x ln x ? x , x
x



即 e ? (1 ? e) x ? x ln x ? 1 ? 0 成立,当 x ? 1 时等号成立. 请从下面所给 的 22、23、24 三题中选定一题作答,并用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号

方框涂黑,按所涂题号进行评分;不涂、多涂均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分。 22. (本小题满分 10 分选修 4 - 1:几何证明选讲 如图,EF 是⊙O 的直径,AB∥ EF,点 M 在 EF 上,AM、BM 分别交⊙O 于点 C、D。设⊙O 的半径是 r,OM = m。 (1)证明: AM 2 ? BM 2 ? 2(r 2 ? m2 ) ; AM BM (2)若 r = 3m,求 的值。 ? CM DM

AM BM 5 ? ? 【答案】 (1)略错误!未找到引用源。 ; (2) CM DM 2 .
【考查方向】本题考查了几何证明选讲的专题知识,考查了相交弦定理。 【解题思路】本题考查几何证明选讲的相关知识,解题步骤如下: 1、根据图形做辅助线,利用线段之间的关系进行转化。 2、利用相交弦定理解决长度的问题。 【解析】试题分析:本题属于几何证明选讲中的基本问题,题目的难度一般,解题过程如下: (Ⅰ)作 AA ' ? EF 交 EF 于点 A ' ,作 BB ' ? EF 交 EF 于点 B ' . 因为 A ' M ? OA '? OM , B ' M ? OB '? OM , 所以 A ' M 2 ? B ' M 2 ? 2OA '2 ? 2OM 2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 从而 AM ? BM ? AA ' ? A ' M ? BB ' ? B ' M ? 2( AA ' ? OA ' ? OM ) . 故 AM 2 ? BM 2 ? 2(r 2 ? m2 ) (Ⅱ)因为 EM ? r ? m , FM ? r ? m , 所以 AM ? CM ? BM ? DM ? EM ? FM ? r 2 ? m2 .

AM BM AM 2 BM 2 AM 2 ? BM 2 ? ? ? ? 因为 CM DM AM ? CM BM ? DM EM ? FM 2 2 AM BM 2(r ? m ) ? ? 2 所以 . CM DM r ? m2 AM BM 5 ? ? . 又因为 r ? 3m ,所以 CM DM 2
23. (本小题满分 10 分)选修 4 - 4:坐标系与参数方程
? x ? 2cos ? 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程是 y = 8,圆 C 的参数方程是 ? (φ 为参数) 。以 O ? y ? 2 ? 2sin ? 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程; ? ? (2) 射线 OM: θ=α (其中 0 ? a ? ) 与圆 C 交于 O、 P 两点, 与直线 l 交于点 M, 射线 ON: ? ?? ? 2 2 | OP | | OQ | ? 与圆 C 交于 O、Q 两点,与直线 l 交于点 N,求 的最大值。 | OM | | ON |

【答案】 (1)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 ;圆 C 错误!未找到引用源。的极坐标方程分别 是 ? ? 4 sin ? 错误!未找到引用源。 ; (2)

1 . 16

【考查方向】本题考查了坐标系与参数方程的专题知识,考查了直角坐标方程、参数方程、极坐标 方程的相互转化以及在极坐标下直线与圆的位置关系问题。

【解题思路】本题考查坐标系与参数方程的知识,解题步骤如下: 1、根据三种方程之间的相互关系进行转化。 2、根据相关知识求出|OP|、|OQ|、|OM|、|ON|的值,然后利用三角函数的知识求最值。 【解析】试题分析:本题属于坐标系与参数方程中的基本问题,题目的难度一般,解题过程如下: (Ⅰ)直线 l 的极坐标方程分别是 ? sin ? ? 8 . 圆 C 的普通方程分别是 x ? ( y ? 2) ? 4 错误!未找到引用源。 ,
2 2

所以圆 C 错误!未找到引用源。的极坐标方程分别是 ? ? 4 sin ? 错误!未找到引用源。.

(Ⅱ)依题意得,点 P, M 的极坐标分别为 ?

?? ? 4 sin ? , ?? sin ? ? 8, 错误!未找到引用源。和 ? ?? ? ? . ?? ? ? ,

所以 | OP |? 4 sin ? , | OM |?

8 , sin ?

| OP | 4sin ? sin 2 ? 从而 . ? ? 8 | OM | 2 sin ?
| OP | | OQ | sin 2 ? 所以 ? ? ? 2 | OM | | ON |
故当 ? ?

| OQ | ? 同理, | ON |

sin 2 (? ? ) 2 . 2

?

sin 2 (? ? ) 2 2 ? sin (2? ) , 2 16

?

?
4

时,

| OP | | OQ | 1 的值最大,该最大值是 . ? 16 | OM | | ON |

24. (本小题满分 10 分) 选修 4 - 5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? m? | x ? 3| ,不等式 f ( x) ? 2 的解集为 (2, 4) 。 (1)求实数 m 的值; (2)若关于 x 的不等式 | x ? a |? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 【答案】(1) m ? 3 ;(2) a ? 0 或 a ? 6 。 【考查方向】本题考查了含绝对值的不等式的解法。 【易错点】对绝对值不等式的解法不理解是阻碍本题顺利解答的关键; 【解题思路】 1、第(1)问根据根据绝对值不等式的解法,通过转化即可求解; 2、第(2)问是含有多个绝对值问题的求解,可以用绝对值三角不等式求解,也可以采用“零点分 段法”求解; 【解析】试题分析:本题是含有绝对值不等式中的常见问题,难度中等。解答过程如下: (Ⅰ)由已知得 x ? 3 ? m ? 2 ,得 5 ? m ? x ? 1 ? m ,即 m ? 3 . (Ⅱ) x ? a ? f ( x) 得 x ? 3 ? x ? a ? 3 恒成立

x ? 3 ? x ? a ? x ? 3 ? ( x ? a) ? a ? 3 (当且仅当 ( x ? 3)( x ? a) ? 0 时取到等号)
? a ? 3 ? 3 解得 a ? 6 或 a ? 0

故 a 的取值范围为 a ? 0 或 a ? 6 .


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