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2016年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练 数学(理科)含答案


2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第三次适应性训练

数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大 题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若复数 z 满足 ( z ? 3)(2 ? i) ? 5 ( i 为虚数单位) ,则 z 为( ) A. 2 ? i B. 2 ? i C. 5 ? i D. 5 ? i ? ? ? ? ? ? ? 2.对于非零向量 a 、 b , “ a ? 2b ? 0 ”是“ a ? b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量 ? 服从正态分布 N 2, ? 2 , 且 P ?? ? 0? ?0 则 P ? 2 ? ? ? 4? ? . 7 , A. 0 . 6 B. 0 . 4 C. 0.3 D. 0 .2 ( )

?

?

4. 已知函数 f ( x) ? log 2 x , 若在 [1,8] 上任取一个实数 x0 , 则不等式 1 ? f ( x0 ) ? 2 成立的概率是( ) 1 2 1 C. A. 1 B. D. 2 7 2 4 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球 的表面积是( ) A. 6 ? B. 8? C. 9 ? D. 10? 6.下列函数既是奇函数,又在区间 [?1,1] 上单调递减 的是( ) 2? x A. y ? e x ? e ? x B. y ? ln C. y ? ln( x ? x 2 ? 1) D. y ? sin x 2? x 7 .设等差数列 ?an ? 和等比数列 ?bn ? 首项都是 1 ,公差和公比都是 2 ,则

ab2 ? ab3 ? ab4 ? (
A.27 B.26

) C.25 D.24 )

Input S=1 I=1 DO S=S+2

8.根据如图所示的程序,可知输出的结果 S 为 ( A. 5 B. 7 C. 9 D. 10

I=I+3 9.某中学第十届校园文化艺术节在 2015 年 10 月开幕. 在其中一个场馆中, 魔术社, 舞蹈社各表演了两个节目, Loop while I<10 国学社表演一个节目.要求同社团的节目不相邻,则节 Print S End 目单的排法种数是( ) A.72 B.60 C.48 D.24
(三模理科数学试题)第 1 页 共 9 页

2 10.已知 P 为抛物线 y 2 ? 4x 上一个动点,Q 为圆 x2 ? (y ? 4) ? 1 上一个动点, 那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) A. 17 ? 1 B. 8 C.5 D. 5 ? 2 ?x ( x ? 2) ?2 11.已知函数 f ( x) ? ? ,则函数 y ? f (2 ? x) 的图像是( ) ?log 2 x ( x ? 2)

12.已知函数 f ( x) 对定义域 R 内的任意 x 都有 f ( x) ? f (4 ? x) ,且当 x ? 2 时, 其导数 f ?( x ) 满足 xf ?( x) ? 2 f ?( x) ,若 2 ? a ? 4 ,则( ) A. f ? 2a ? ? f (3) ? f (log 2 a ) C. f (log 2 a ) ? f ? 2a ? ? f (3) D. f (log 2 a ) ? f (3) ? f ? 2a ? B. f ?3? ? f (log2 a) ? f (2a )

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题 卡相应的位置) ? 13.设函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos x ? 3(?? ? x ? ? ) 的最大值为 M ,最小值为 m , 2 则M ?m ? .

1? ? 14.二项式 ? x ? ? ? n ? N ? ? 的展开式中,所有项的二项式系数和与所有项的 2? ? a ? a ? ??? ? an ? 系数和分别记为 an , bn 则 1 2 . b1 ? b2 ? ??? ? bn
15.已知 ?ABC 是正三角形,若 a ? AC ? ? AB 与向量 AC 的夹角大于 90? ,则实 数 ? 的取值范围是 . 16. 如图所示, 由直线 x ? a , x ? a ? 1? a ? 0? 和抛物线 y ? x2 及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面
积之间,即 a ?
2

n

?

??? ?

??? ?

????

?

a ?1

a

x 2dx ? (a ? 1)2 . 类比之, ?n ? N* ,

1 1 1 1 1 1 恒成立, 则实 ? ?? ? ? A? ? ??? n ?1 n ? 2 2n n n ?1 2n ? 1 数 A 等于 .
(三模理科数学试题)第 2 页 共 9 页

三.解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题, 共 70 分) 17. (本题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数, 且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

?1? (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ?? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和. ? bn ?
18.(本题满分 12 分)在 2015 年全国高校自主招生考试中,某高校设计了一 个面试考查方案:考生从 6 道备选题中一次性随机抽取 3 题,按照题目要求独 立回答全部问题.规定:至少正确回答其中 2 题的便可通过.已知 6 道备选题 中考生甲有 4 题能正确回答, 2 题不能回答; 考生乙每题正确回答的概率都为 2 , 3 且每题正确回答与否互不影响. (Ⅰ)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列,并计算其数学期望; (Ⅱ)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.

19. (本题满分 12 分) 如图, 正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直, AD ? CD,AB∥CD,AB=AD=2,CD=4,点 M 在线段 EC 上 (Ⅰ)当点 M 为 EC 中点时, BM∥平面 ADEF; 求证: (Ⅱ)当平面 BDM 与平面 ABF 所成锐二面角的余 6 弦值为 时,求棱锥 M-BDE 的体积. 6

20. (本题满分 12 分) 已知 F1, F2 分别是椭圆 C : 2 2 x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 椭圆 C 过点 (? 3,1) 且与抛物线 y 2 ? ?8x 有 2 a b 一个公共的焦点. (Ⅰ)求椭圆 C 方程; (Ⅱ)斜率为 k 的直线 l 过右焦点 F2, 且与椭圆交于 A, B 两点.设 P 为直线 x ? 3 上的一点,若△ ABP 为等边三角形,求直线 l 的方程.

(三模理科数学试题)第 3 页 共 9 页

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (Ⅰ)讨论函数的单调性; ? 1? (Ⅱ)若函数 f ( x) 在 ? 0, ? 内有极值. ? e? ①求实数 a 的取值范围;

a . (a ? R) x ?1

1 ②若 x1 ? (0,1), x2 ? (1, ??) 求证: f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ? . e

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分.答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A, B 两点,过点 A 作⊙ O1 的切线交⊙ O2 于 点 C ,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙ O1 、⊙ O2 于点 D, E , DE 与 AC 相交于点 P . (Ⅰ)求证: AD / / EC ; (Ⅱ)若 AD 是⊙ O2 的切线,且 PA ? 6, PC ? 2, BD ? 9 ,求 AD 的长.

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ? x ? 3cos ? 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ( ? 为参数) y ? 3 ? 3sin ? ? ???? ? ??? ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OM ? 3OP ,P 点的轨迹为曲线 C2 . (Ⅰ)求 C2 的方程; (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

?
3

与 C1 的异

24.(本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a . (Ⅰ)当 a ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ,
1 1 ? ? a ? m ? 0, n ? 0 ? ,求证:m ? 2n ? 4 . m 2n

(三模理科数学试题)第 4 页 共 9 页

三模理科数学参考答案
一.选择题 题号 1 2
答案

3 D

4 C

5 B

6 B

7 C

8 B

9 C

10 A

11 D

12 D

D

A

二.填空题 13.7 14. 2 n ?1 15. (2, ??) 16. ln 2 三.解答题 17. 解: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,
2 由 a3 ? 9a2a6 3 2 得 a3 ? 9a4

所以 q 2 ?

1 ………………3 分 9

1 故 q ? 由 2a1 ? 3a2 ? 1 3 1 得 2a1 ? 3a2q ? 1 ,所以 a1 ? 3 1 故数列{an}的通项式为 an= n ………………………………6 分 3 (Ⅱ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an ? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ………………………………8 分 n(n ? 1) ?? 2 1 2 1 1 故 ?? ? ?2( ? ) ………………………………10 分 bn n(n ? 1) n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1 2n 1 所以数列 { } 的前 n 项和为 ? ……………………………12 分 n ?1 bn

由条件可知 a>0,

18.解: (Ⅰ)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为 ξ、η,
则 ξ 的可能取值为 1,2,3, 1 2 1 3 0 C4 C2 1 C2 C4 C2 1 4C2 3 P(ξ=1)= C3 =5,P(ξ=2)= C3 =5,P(ξ=3)= C3 =5, 6 6 6 ∴考生甲正确完成题数的分布列为

ξ P

1 1 5

2 3 5

3 1 5

(三模理科数学试题)第 5 页 共 9 页

1 3 1 Eξ=1× 5+2× 5+3× 5=2.

………………………………………..4 分

2 2 1 3-k 又 η~B(3,3),其分布列为 P(η=k)=Ck (3)k· (3) ,k=0,1,2,3; 3· 2 ∴Eη=np=3× 3=2. ………………………………………6 分 1 2 3 2 1 2 (II)∵Dξ=(2-1)2× + (2 - 2) × + (2 - 3) × 5 5 5=5, 2 1 2 Dη=npq=3× 3× 3=3, 3 1 ∵P(ξ≥2)= + =0.8, 5 5 分 ∴Dξ<Dη. P(η≥2)= …..…..….. 8分

12 8 + ≈0.74, ∴P(ξ≥2)>P(η≥2).…………10 27 27

从回答对题数的数学期望考查,两人水平相当;从回答对题数的方差考查,甲较稳定;从 至少完成 2 题的概率考查,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲 的实验通过能力较强.………………12 分

19.解: (Ⅰ)取 DE 的中点 N ,连接 NM , AN
? AB ? CD, MN ? CD ,且 MN ?
1 CD ? AB 2 ? 四边形 ABMN 是平行四边形,故 MB ? AN , 又 BM ? 平面 ADEF 所以 MB ?平面 ADEF ………4 分 ???? ? (II)设 M ( x, y, z ) ,则 EM ? ( x, y, z ? 2) ??? ? 又 EC ? (0, 4, ?2) ???? ? ??? ? 设 EM ? ? EC(0 ? ? ? 1) ,则 x ? 0, y ? 4? , z ? 2 ? 2? , 即 M (0, 4? , 2 ? 2? ) ? 设 n ? ( x1, y1, z1 ) 是平面 BDM 的一个法向量, ??? ? ? ???? ? ? 则 OB ? n ? 2x1 ? 2 y1 ? 0, OM ? n ? (2 ? 2?) z1 ? 4? y1 ? 0,

? 2? 2? ? n ? (1, ?1, ) ,………………7 分 取 x1 ? 1, y1 ? ?1, z1 ? 1? ? 1? ? ??? ? 又由题设 OA ? (2,0,0) 是平面 ABF 的一个法向量 ? ??? ? ????? ? n ? OA 2 1 ? cos? n,OA? ? ? ??? ? 6 ? ? ? ………………10 分 ? ? 2 2 n OA 4? 2 2? 2 (1 ? ? ) 即点 M 为 EC 中点,此时, S? DEM ? 2, AD 为三棱锥 B ? DEM 的高
(三模理科数学试题)第 6 页 共 9 页

4 ………………12 分 3 3 1 ?1, 20.解(Ⅰ)由题意得 c=2, 2 ? 2 a a ?4 得 a4﹣8a2+12=0,解得 a2=6 或 a2=2(舍去) x2 y 2 ? 1 ....................................4 分 则 b2=2,故椭圆方程为 ? 6 2 ? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅱ)直线 l 的方程为 y=k(x﹣2) .联立方程组 ? 6 , 2 ? y ? k ( x ? 2) ? VM ? DEB ? VB ? DEM ?

得(3k +1)x ﹣12k x+12k ﹣6=0, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 2 12k 12k 2 ? 6 故 x1 ? x2 ? 2 , x1 x2 ? ...............................6 分 3k ? 1 3k 2 ? 1 2 6(k 2 ? 1) 则 AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 设 AB 的中点为 M(x0,y0) . 3k 2 ? 1 2k 6k 2 由中点坐标公式得 x0 ? 2 , y0 ? 2 .......................8 分 3k ? 1 3k ? 1 直线 MP 的斜率为 ?
1 1 1 ? k 2 3(k 2 ? 1) , 又 xP=3, 所以 MP ? 1 ? 2 x0 ? x p ? . k k k 2 3k 2 ? 1

2

2

2

2

当△ ABP 为正三角形时,|MP|= 可得

3 AB , 2

,.......................10 分

解得 k=± 1.…即直线 l 的方程为 x﹣y﹣2=0 或 x+y﹣2=0.......................12 分

21.解:(Ⅰ) f ?( x) ?

( x ? 1) 2 ? ax x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? x( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2 (1)a ? 0, f ( x) 在 (0,1), (1, ??) 上单调递增;

( x ? (0,1) ? (1, ??) )

a ? 2 ? a 2 ? 4a ) 上递增, (2)a ? 0, f ( x) 在 (0, 2 a ? 2 ? a 2 ? 4a a ? 2 ? a 2 ? 4a 在( ,1) , (1, ) 上递减, 2 2 a ? 2 ? a 2 ? 4a ( , ??) 递增 ???4 分 2 1 x 2 ? (a ? 2) x ? 1 (Ⅱ) ①0<x<1 或 x>1 时, f ?( x) ? , 由 f ?( x) ? 0 在 (0, ) 内有解, 2 e x( x ? 1)
(三模理科数学试题)第 7 页 共 9 页

令 g ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 1 ? ( x ? ? )( x ? ? ) , 1 ? ?? =1 不妨设 0 ? ? ? ,则 ? ? e ,因 g (0) ? 1 ? 0 , e 1 1 a?2 1 ? 1 ? 0 ,解得 a ? e ? ? 2 . 所以 g ( ) ? 2 ? ???6 分 e e e e ②证明:由 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a 或 x ? ? , 由 f ?( x) ? 0 ? a ? x ? 1 或 1 ? x ? ? ,得 f ( x) 在 (0, ? ) 上单调递增, 在 (? ,1) 上单调递减, 在 (1, ? ) 上单调递减, 在 ( ? , ??) 上单调递增。 a 由 x1 ? (0,1) ,得 f ( x1 ) ? f (? ) ? ln ? ? ,由 x2 ? (1, ??) ,得 a ?1 a , ?????8 分 f ( x2 ) ? f ( ? ) ? ln ? ? ? ?1 所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( ? ) ? f (? ) ,因为 ? ? ? ? 1, ? ? ? ? a ? 2 ,所以 1 1 1 f ( ? ) ? f (? ) ? ln ? ? ln ? ? ( ? ) ? ? ?1 ? ?1 1 ?? ? ?? ? ? 2 ln ? ? ? ? ? 2 ln ? ? ? ? ( ? ? 1)(? ? 1) 2 ? (? ? 2) 1 , ?????????10 分 ? 2 ln ? ? ? ?

?

记 h( ? ) ? 2 ln ? ? ? ? 增,

1

?

( ? ? e) 则 h?( ? ) ?

2

?

?1?

1

?2

? 0 , h( ? ) 在 (0, ??) 上单调递

1 1 所以 h( ? ) ? h(e) ? e ? 2 ? ,故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? e ? 2 ? .??????12 分 e e 22 选修 4-1:几何证明选讲 ?ADB ? ?CAB ? (Ⅰ) ? ? ?ADB ? ?CEP ? AD ? EC ???4 分 ?CEP ? ?CAB ? 9 ? BP 6 ? ? (Ⅱ) ?ADB ? ?PCE ? PE 3 6 ? 2 ? PE ? (9 ? BP) ? 联立??解答得: PE ? 4, BP ? 3 所以 AD2 ? DB ? DE ? 9 ?16 ? AD ? 12 ???12 分 23.选修 4-4:坐标系与参数方程 解(Ⅰ)依题意,设点 P ? x, y ? , M ( x0 , y0 ) ,
(三模理科数学试题)第 8 页 共 9 页

1 ? x ? x0 ? uuuv uu u v ? 3 ,即 ? x ? cos ? 由 OM ? 3OP ,得 ? ? ? y ? 1 ? sin ? ?y ? 1 y 0 ? 3 ? 所以 C2 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 ????4 分 (Ⅱ)以 x 轴为极轴, o 为极点,建立极坐标系, 则 C1 的极坐标方程为 ? ? 6sin ? , C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ?

? ? ?? ? 联立 ? 得, ?1 ? 3 3 ????6 分 3 ? ? ? ? 6sin ? ? ? ?? ? 联立 ? 得, ?2 ? 3 ????8 分 3 ? ? ? ? 2sin ?
则 AB ? ?1 ? ?2 ? 2 3 ??????10 分 24.(本题满分 10 分).选修 4-5:不等式选讲 ?x ? 2 ?x ? 2 解(Ⅰ) Q x ? 2 ? x ? 1 ? 2 ? ? or ? ? x ? 2 ? x ? 1 ? 4 ?? x ? 2 ? x ? 1 ? 4 1 7 ? x ? ? or x ? ?????5 分 2 2 (Ⅱ)? f ? x ? ? 1 的解集为 ? 0, 2? ? a ? 1
1 1 1 1 ? ? 1 ? m ? 2n ? (m ? 2n)( ? ) m 2n , ? m 2n 2n m ? 2? ? ? 2?2 1 ? 4 m 2n 故 m ? 2n ? 4 ??????10 分

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