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3.2.2 函数模型的应用举例 答案


第三章

3.2.2 函数模型的应用举例

一、选择题 1. 随着海拔高度的升高, 大气压强下降, 空气中的含氧量也随之下降, 且含氧量 y(g/m3) 与大气压强 x(kPa)成正比例函数关系. 当 x=36 kPa 时,y=108 g/m3,则 y 与 x 的函数解析 式为( ) 1 1 A.y=3x(x≥0) B.y=3x C.y= x(x≥0) D.y= x 3 3 [答案] A 2.某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)的关系式为 y=5x+4000,而手套出厂 价格为每副 10 元,则该厂为了不亏本日产手套量至少为( ) A.200 副 B.400 副 C.600 副 D.800 副 [答案] D[解析] 由 10x-y=10x-(5x+4000)≥0,得 x≥800. 3.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确 的是( )

A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 [答案] D[解析] 由图象知甲所用时间短,所以甲先到达终点. 4.下表显示出函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是 ( ) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.双数函数模型 [答案] A[解析] 由表知自变量 x 变化 1 个单位时,函数值 y 变化 2 个单位, 所以为一 次函数模型. 5.一天,亮亮发烧了,早晨 6 时他烧得很厉害,吃过药后感觉好多了,中午 12 时亮亮 的体温基本正常, 但是下午 18 时他的体温又开始上升, 直到半夜 24 时亮亮才感觉身上不那 么发烫了.则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0~24 时)体温的变化情况的是( )

[答案] C[解析] 从 0 时到 6 时,体温上升,图象是上升的,排除选项 A;从 6 时到 12 时,体温下降,图象是下降的,排除选项 B;从 12 时到 18 时,体温上升,图象是上升 的,排除选项 D. 二、填空题 6.现测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x2+1,乙:y=3x -1,若又测得(x,y)的一组对应值为(3,10.2),则应选用________作为拟合模型较好. [答案] 甲[解析] 代入 x=3,可得甲 y=10,乙,y=8.显然选用甲作为拟合模型较好.

1

3 7.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的 ,要使存留的污垢不超过 1%,则至少要清洗 4 的次数是________(lg2≈0.3010). 3 1 1 [答案] 4[解析] 设至少要洗 x 次,则(1- )x≤ ,∴x≥ ≈3.322,所以需 4 次. 4 100 lg2 8.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内 每立方米空气中的含药量 y(mg)与时间 t(h)成正比;药物释放完毕后,y 与 t 的函数关系为 y 1 - =( )t a(a 为常数)其图象如图.根据图中提供的信息,回答问题: 16

(1) 从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y(mg) 与时间 t(h) 之间的关系式为 ________. (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降到 0.25mg 以下时,学生才可进入教室,那么 从药物释放开始至少经过______小时,学生才能回到教室. 1 [ 答案 ] [ 解析 ] (1) 设 0≤t≤ 时, y = kt,将 (0.1,1)代入得 k = 10 ,又将 (0.1,1) 代入 10
1 ? 1 t ?a 1 10t , (0 ? t ? ) ? y ? ( ) 中,得 a=10,? y ? ? 10 1 ? 16 1 t ?10 1 ?( ) ? 16 ? , (t ? 10
1

)

1 t? (2)令 ( ) 10 ? 0.25 得 t≥0.6,∴t 的最小值为 0.6. 16
三、解答题 9.为了保护学生的视力,课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明: 假设课桌的高度为 ycm,椅子的高度为 xcm,则 y 应是 x 的一次函数,下表列出了两套符合 条件的课桌椅的高度: 第一套 第二套 40.0 37.0 椅子高度 x(cm) 75.0 70.2 桌子高度 y(cm) (1)请你确定 y 与 x 的函数关系式(不必写出 x 的取值范围). (2)现有一把高 42.0cm 的椅子和一张高 78.2cm 的课桌,它们是否配套?为什么? [解析] (1)根据题意,课桌高度 y 是椅子高度 x 的一次函数,故可设函数关系式为 y= kx+b.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式, ? ? ?40k+b=75, ?k=1.6, 得? ∴? ∴y 与 x 的函数关系式是 y=1.6x+11. ?37k+b=70.2, ?b=11. ? ? (2)把 x=42 代入上述函数关系式中, 有 y=1.6×42+11=78.2.∴给出的这套桌椅是配套 的.[点评]本题是应用一次函数模型的问题,利用待定系数法正确求出 k,b 是解题的关键. 10.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位: 元/102kg)与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 50 110 250 时间 t 150 108 150 种植成本 Q (1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的 变化关系.Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=a· bt,Q=a· logbt. (2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本. [解析] (1)由提供的数据知道, 描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数 不可能是常数函数,从而用函数 Q=at+b,Q=a· bt,Q=a· logbt 中的任意一个进行描述时都
2

应有 a≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不吻合.所以,选 取二次函数 Q=at2+bt+c 进行描述. 150=2 500a+50b+c, ? ? 以表格所提供的三组数据分别代入 Q=at +bt+c 得到,?108=12 100a+110b+c, ? ?150=62 500a+250b+c.
2

? ? 3 解得?b=-2, ? . ?c=425 2
3 425 t2- t+ . 2 2

1 a= , 200 所以, 描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为 Q= 1 200

3 - 2 1 3 425 (2)当 t=- =150 天时, 西红柿种植成本最低为 Q= · 1502- · 150+ =100 1 200 2 2 2×? ? 200 (元/102kg). 11.某企业生产 A,B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图 1;B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润和投资单 位:万元).

(1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式; (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金,并将全部投入 A,B 两种产品的生产. ①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润? ②问:如果你是厂长,怎样分配这 18 万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大 利润约为多少万元? [解析] (1)设 A,B 两种产品分别投资 x 万元,x≥0,所获利润分别为 f(x)万元、g(x)万 元.由题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x.根据图象可解得 f(x)=0.25x(x≥0).g(x)=2 x(x≥0). (2)①由(1)得 f(9)=2.25,g(9)=2 9=6.∴总利润 y=8.25 万元. ②设 B 产品投入 x 万元,A 产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为 y 万元. 1 则 y= (18-x)+2 x,0≤x≤18. 4 令 x=t,t∈[0,3 2], 1 1 17 则 y= (-t2+8t+18)=- (t-4)2+ . 4 4 2 17 ∴当 t=4 时,ymax= =8.5,此时 x=16,18-x=2. 2 ∴当 A,B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时,可使该企业获得最大利润,约为 8.5 万元.

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