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高中数学 2.1.2指数函数及其性质(2)精讲精析 新人教A版必修1


课题:2.1.2 指数函数及其性质(2) 精讲部分
学习目标展示 (1)掌握指数函数的图象及性质(2)掌握指数函数的性质比较大小(3)掌握指数形式的 函数定义域、值域的求法 衔接性知识 1. 请画出指数函数 f ( x) ? ax ( a ? 0且 a ? 1) 的图象并,说明这些图象过哪个定点。 2. ①当 x ? 0 时, 2 x
x ②当 x ? 0 时

, ( )

1 ;当 x ? 0 时, 2 x

1;
1.

1 2

1 1;当 x ? 0 时, ( )x 2

基础知识工具箱 指数函数的图象和性质 函数名称 解析式 定义域 值域 指数函数

f ( x) ? a x (a ? 0 且 a ? 1)
R

(0 , ? ?) ,即 a x ? 0

a ?1

0 ? a ?1

图象

奇偶性 单调性 性质 函数值分 布

指数函数是非奇非偶函数 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数

?? 1 ( x ? 0) ? 0 ? a ?? 1 ( x ? 0) ?? 1 ( x ? 0) ?
x
2.5

?? 1 ( x ? 0) ? 0 ? a ?? 1 ( x ? 0) ?? 1 ( x ? 0) ?
x
? 0.26

典例精讲剖析 例 1. 比较大小:(1) 1.7 与 1.7
3.6

(2) 0.8

?0.12

与 0.8

(3)1.7

0.3

与 0.9

3.1

(4) 0.16?2.1 、 1.6?2.3 与 0.4?0.2 (5) 3.7 2.4 、 3.6 2.4 与 3.62.1 解:(1)?1.7 ? 1 ,? y ? 1.7 x 在 (?? , ? ?) 是增函数,? 2.5 ? 3.6 ,? 1.72.5 ? 1.73.6 (2)? 0 ? 0.8 ? 1 ,? y ? 0.8x 在 (?? , ? ?) 是减函数

? ? 0.12 ? ?2.6 ,? 0.8?0.12 ? 0.8?2.6
( 3 ) ?1.70.3 ? 1.70 ? 1 , 0 ? 0.9 3.1 ? 0.90 ? 1 ,?1.70.3 ? 0.9 3.1 (4)? 0.16?2.1 ? 0.160 ? 1 , 0.4?0.2 ? 0.40 ? 1 , 0 ? 1.6?2.3 ? 1.60 ? 1 ,?1.6
?2.3

最小

? 0.16?2.1 ? (0.42 )?2.1 ? 0.4?4.2 ? 0.4?1.2 , 0.16?2.1 ? 0.4?1.2 ? 1.6?2.3
(5)

3.72.4 3.7 37 37 ? ( )2.4 ? ( )2.4 ? ( )0 ? 1 ,而 3.72.4 ? 0 、 3.62.4 ? 0 ,? 3.72.4 ? 3.62.4 2.4 3.6 3.6 36 36
2.4

又 3.6

? 3.62.1 ,所以 3.72.4 ? 3.62.4 ? 3.62.1

例 2.求下列式中的实数 x 的值: (1) 2 ? 4
x x ?1

(2) a

3 x ?1

? a2 x?4 (a ? 0, a ? 1)
2 x?2

解: (2)不等式可化为: 2 ? 2
x



? 2 ? 1 ,? x ? 2 x ? 2 ,即 x ? ?2 ,故实数 x 的范围为 (?? , ? 2)
(2)当 a ? 1 时, 3 x ? 1 ? 2 x ? 4 ,? x ? ?3 ,故实数 x 的范围为 [?3 , ? ?) 当 0 ? a ? 1 时, 3 x ? 1 ? 2 x ? 4 ,? x ? ?3 ,故实数 x 的范围为 (?? , ? 3] 例 3.求下列函数的定义域和值域: (1) y ? 2
1 x?4
?| x| (2) y ? ( )

2 3

(3) y ? 4 ? 2
x

x ?1

?2

解: (1)使解析式有意义,得 x ? 4 ? 0 ,? x ? 4 ∴定义域为 (?? , 4) ? (4 , ? ?) 设t ?

1 1 t ,则 y ? 2 , 又? t ? ,? t ? 0 x?4 x?4

? y ? 2t 是 t 的增函数? 2t ? 1 且 2t ? 0 ,即 y ? 0 且 y ? 1
所以函数 y ? 2
1 x?4

的值域为 (0 , 1) ? (1, ? ?)

(2)定义域为为 R

t 设 t ? ? | x | ,则 y ? ( ) ,? t ? ? | x | ,? t ? 0 ,

2 3

2 2 ? y ? ( )t 是 t 的减函数,? ( )t ? 1 3 3 2 ?| x| 所以函数 y ? ( ) 的值域为 [1, ? ?) 3 (3) 定义域为为 R

y ? 4x ? 2x?1 ? 2 ? (2x )2 ? 2 ? 2x ? 2 ,设 2x ? t ,则 y ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ?1)2 ? 1
? t ? 2x , t ? 0 ,所以 t ? 1 时, ymin ? 1
故 y ? 4x ? 2x?1 ? 2 的值域为 [1 , ? ? ). 1 例 4. 已知 f(x)= x +a 是奇函数,求 a 的值及函数值域. 2 -1 [分析 ] 本题是函数奇偶性与指数函数的结合,利用 f(- x)=- f(x)恒成立,可求得 a

值.其值域可借助基本函数值域求得. [解析] ①∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)对定义域内的每一个 x 都成立. 1 1 1 1 1 即-[ x +a]= -x +a,∴2a=- -x - x =1,∴a= . 2 -1 2 -1 2 -1 2 -1 2 ②∵2 -1≠0∴x≠0∴定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) 1 1 1 1 1 1 1 1 x ∵u=2 -1>-1 且 u≠0,∴ <-1 或 >0,∴ x + <- 或 x + > u u 2 -1 2 2 2 -1 2 2 1 1 ∴f(x)的值域为(-∞,- )∪( ,+∞) 2 2
x x (选讲)例 5 .已知方程 9 ? 2 ? 3 ? 3k ? 1 ? 0 有两个实数解,试求实数 k 的取值范围. x 2 [错解] 令 t ? 3 ,则原方程可化为 t ? 2t ? 3k ? 1 ? 0 ※,
x

2 要使原方程有两个实数解,则 ? ? (?2) ? 4(3k ?1) ? 0 ,解得 k ?

2 3

所以实数 k 的取值范围为 ( ?? , [ 辨析 ]

2 ]. 3

x 换元后 t ? 3 ? 0 ,原方程有两个实数解,则关于“新元” t 的方程※应有两

个正数解, 而 ? ? 0, 只能保证方程※有两个实数解, 不能保证原方程有两个实数解. 事 实上,当方程※有两个负根时,原方程无解.
x 2 [正解]法 1. 令 t ? 3 ,则 t ? 0 .原方程有两个实数解,即方程 t ? 2t ? 3k ? 1 ? 0 有

两个正实数解,则

?? ? (?2) 2 ? 4(3k ? 1) ? 0 1 2 ? ,解得 ? x ? ? x1 ? x2 ? 2 ? 0 3 3 ? x ? x ? 3k ? 1 ? 0 1 2 ?
所以实数 k 的取值范围为 ( , ]
x 2 法 2.由已知,得 k ? ? ? (3 ) ?

1 2 3 3

2 x 1 ? 3 ? ,令 t ? 3x ,则 3 3 1 2 1 1 2 k ? ? t 2 ? t ? ? ? (t ? 1) 2 ? , ? t ? 3x ,? t ? 0 , 3 3 3 3 3 2 1 2 ? k (t ) ? ? (t ? 1) 2 ? 在 (0 , 1] 上递增,在 [1 , ? ? )上递减 , ? kmax ? k (1) ? 3 3 3
x x k ? 1? 0有两个实数解,可知 由方程 9 ? 2 ? 3 ? 3

1 3

1 2 ? y ? k 与 y ? ? (t ? 1) 2 ? 在 t ? 0 时有两个交点或者相切(如图) 3 3

而 k (0) ?

1 2 1 2 ,所以 ? k ? ,即所以实数 k 的取值范围为 ( ?? , ] 3 3 3 3
精练部分

A 类试题(普通班用) 0.7 0.9 0.8 1. 已知 a=0.8 ,b=0.8 ,c=1.2 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c [答案]D [解析]考察函数 y=0.8 ,∴0.8 <0.8 <1.又 1.2 >1,∴c>a>b. 2.下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是( A. y ? 2
1 x
x
0.9 0.7 0.8

)

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b

)
x

B.y= 2 -1

x

C.y= 2 +1

2? x D. y ? ( )

1 2

[答案] D 1 [解析] 在 A 中,∵ ≠0,∴ 2 x ? 1 ,所以函数 y ? 2 x 的值域是{y|y>0,且 y≠1}.
1

1

x

在 B 中,∵2 -1≥0,∴ 2 -1≥0,所以函数 y= 2 -1的值域是[0,+∞).

x

x

x

在 C 中,∵2 +1>1,∴ 2 +1>1,所以函数 y= 2 +1的值域是(1,+∞).
2? x 在 D 中,由于函数 y ? ( ) 的定义域是 R,也就是自变量 x 可以取一切实数,所以 2-x 2? x 2? x 也就可以取一切实数,所以 ( ) 取一切正实数,即函数 y ? ( ) 的值域为(0,+∞),

x

x

x

1 2

1 2

1 2

故选 D. 3.已知 f ( x) ? a ? x (a ? 0 且 a ? 1) ,且 f (?2) ? f (?3) ,则实数 a 的取值范围是_______

4.函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1),在 x∈[1,2]时的最大值比最小值大 ,求实数 a 的值 2 [解析] 注意进行分类讨论 (1)当 a>1 时,f(x)=a 为增函数,此时 f(x)max=f(2)=a ,f(x)min=f(1)=a,
x
2

x

a

a 3 2 ∴a -a= ,解得 a= >1. 2 2
(2)当 0<a<1 时,f(x)=a 为减函数,此时 f(x)max=f(1)=a,f(x)min=f(2)=a
x
2

a 1 2 ∴a-a = ,解得 a= ∈(0,1) 2 2
3 1 综上所述:a= 或 . 2 2

? 1? 5.已知函数 f ( x) ? a x?2 ( x ? 0) 的图象经过点?4, ?,其中 a ? 0 且 a ? 1 . ? 9?
(1)求 a 的值;(2)求函数 y ? f ( x) ( x ? 0) 的值域.
2 解析:(1) y ? f ( x) 函数图象过点 (4 , ) ,所以 a ?

1 9

1 1 ,∴ a ? , 9 3

x?2 x?2 2 (2) f ( x) ? ( ) ( x ? 0) ,由 x ? 0 ,得 x ? 2 ? ?2 ,∴ 0 ? ( ) ? ( ) ?

1 3

1 3

1 3

1 9

∴函数 y ? f ( x) ( x ? 0) 的值域为 (0 , 9] B 类试题(3+3+4) (尖子班用) 0.7 0.9 0.8 1. 已知 a=0.8 ,b=0.8 ,c=1.2 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a>b>c [答案]D [解析]考察函数 y=0.8 ,∴0.8 <0.8 <1.又 1.2 >1,∴c>a>b. 2.下列函数中,值域是(0,+∞)的函数是( A. y ? 2
1 x
x
0.9 0.7 0.8

)

B.b>a>c

C.c>b>a

D.c>a>b

)
x

B.y= 2 -1

x

C.y= 2 +1

2? x D. y ? ( )

1 2

[答案] D 1 [解析] 在 A 中,∵ ≠0,∴ 2 x ? 1 ,所以函数 y ? 2 x 的值域是{y|y>0,且 y≠1}.
1

1

x

在 B 中,∵2 -1≥0,∴ 2 -1≥0,所以函数 y= 2 -1的值域是[0,+∞). 在 C 中,∵2 +1>1,∴ 2 +1>1,所以函数 y= 2 +1的值域是(1,+∞).
2? x 在 D 中,由于函数 y ? ( ) 的定义域是 R,也就是自变量 x 可以取一切实数,所以 2-x
x x x

x

x

x

1 2

2? x 2? x 也就可以取一切实数,所以 ( ) 取一切正实数,即函数 y ? ( ) 的值域为(0,+∞),

1 2

1 2

故选 D. 1 a 1 b 3.已知实数 a, b 满足 ( ) = ( ) ,下列五个关系式:① 0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④ 2 3

b<a<0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有(
A.1 个 [答案] B B.2 个 C.3 个

) D.4 个

1 x 1 x [解析] 作 y=( ) ,y=( ) 图象,作 y=t 与两曲线相交, 2 3 比较横坐标大小.

当 0<t<1 时,可得 0<b<a;当 t=1 时,可得 a=b=0;当 t>1 时,可得 a<b<0. 故①②⑤有可能成立,而③④不可能成立,故选 B. 4.已知 f ( x) ? a
?x

(a ? 0 且 a ? 1) ,且 f (?2) ? f (?3) ,则实数 a 的取值范围是_______
2 3

解析: ∵ f (?2) ? f (?3) ,?a ? a ,? 0 ? a ? 1 ,∴实数 a 的取值范围是 (0 , 1) 5.如果函数 f ( x) ? (1 ? 2a) 在实数集 a 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是_______
x

解析:根据指数函数的概念及性质求解. 由已知得,实数 a 应满足 ?
x

?1 ? 2a ? 0 1 1 ,解得 0 ? a ? ,所以实数 a 的取值范围是 (0 , ) 2 2 ?1 ? 2a ? 1
a

6 .函数 f(x) = a (a>0 且 a ≠ 1) ,在 x ∈ [1,2] 时的最大值比最小值大 ,则 a 的值为 2 ________.

[答案]

3 1 或 2 2

[解析] 注意进行分类讨论 (1)当 a>1 时,f(x)=a 为增函数,此时 f(x)max=f(2)=a ,f(x)min=f(1)=a,
x
2

a 3 2 ∴a -a= ,解得 a= >1. 2 2
(2)当 0<a<1 时,f(x)=a 为减函数,此时 f(x)max=f(1)=a,f(x)min=f(2)=a
x
2

a 1 2 ∴a-a = ,解得 a= ∈(0,1) 2 2
3 1 综上所述:a= 或 . 2 2 7.若函数 f ( x) ? a x ?1 (a ? 0 且 a ? 1) ,的定义域和值域都是[0,2],求实数 a 的值. 解析:当 a ? 1 时, f ( x ) 在[0,2]上递增,
0 ? ? f (0) ? 0 ?a ? 1 ? 0 ∴? ,即 ? 2 ,∴ a ? ? 3 .又 a ? 1 ,∴ a ? 3 , ? ? f (2) ? 2 ?a ? 1 ? 2

当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在[0,2]上递减, ∴?

?a 0 ? 1 ? 2 ? f (0) ? 2 ? ,即 ? 2 ,它无解,从而 a= 3. ? ? f (2) ? 0 ?a ? 1 ? 0
x ?2

8.已知函数 f ( x) ? a

1? ( x ? 0) 的图象经过点? ?4,9?,其中 a ? 0 且 a ? 1 . ? ?

(1)求 a 的值;(2)求函数 y ? f ( x) ( x ? 0) 的值域.
2 解析:(1) y ? f ( x) 函数图象过点 (4 , ) ,所以 a ?

1 9

1 1 ,∴ a ? , 9 3 1 3 1 3 1 9

x?2 x?2 2 (2) f ( x) ? ( ) ( x ? 0) ,由 x ? 0 ,得 x ? 2 ? ?2 ,∴ 0 ? ( ) ? ( ) ?

1 3

∴函数 y ? f ( x) ( x ? 0) 的值域为 (0 , 9] 9.若函数 y=

a·2x-1-a
2 -1
x

为奇函数.

(1)求 a 的值;(2)求函数的定义域. 解:∵函数 y=

a·2x-1-a
2 -1
x

,∴y=a-

1 . 2 -1
x

(1)由奇函数的定义,可得 f (? x) ? f ( x) ? 0

即a?

1 ? 2x 1 1 1 ? a ? ? 0 ? 2 a ? ? 0 ,即 a ? ? , ?x x x 2 2 ?1 2 ?1 1? 2
1 1 ? x , 2x ? 1 ? 0 ,即 x ? 0 2 2 ?1

(2)? y ? ?

? 函数的定义域为 (?? , 0) ? (0 , ? ?)
10.已知 ?1 ? x ? 2 ,求函数 f ( x) ? 3 ? 2 ? 3x?1 ? 9x 的值域. 解: f ( x) ? 3 ? 2 ? 3x?1 ? 9x ? ?(3x )2 ? 6 ? 3x ? 3 .令 3x ? t , 则 y ? ?t 2 ? 6t ? 3 ? ?(t ? 3)2 ? 12 .∵ ?1 ? x ? 2 ,∴

1 ? x ? 9. 3

∴当 t ? 3 ,即 x ? 1 时, y 取得最大值 12;当 t ? 9 ,即 x ? 2 时, y 取得最小值-24, 即 f ( x ) 的最大值为 12,最小值为-24.∴函数 f ( x ) 的值域为[-24,12].


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