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2016届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)空间几何体的表面积和体积(含解析)


2016 届高考数学一轮复习教学案 空间几何体的表面积和体积

[知识能否忆起] 柱、锥、台和球的侧面积和体积 面积 圆柱 圆锥 体积

S 侧=2πrl S 侧=πrl
1 3

V=Sh=πr2h V= Sh= πr2h= πr2 l2-r2
3 3 1 3 1 1

V= (

S 上+S 下+ S上·S下)h
圆台

S 侧=π(r1+r2)l

1 2+r2+r r )h = π(r1 2 1 2 3

直棱柱 正棱锥

S 侧=Ch S 侧= Ch′
2 1 1 3 1

V=Sh V= Sh
3 1

正棱台

S 侧= (C+C′)h′
2

V= (S 上+S 下+ S上·S下)h
4 3



S 球面=4πR2

V= πR3

[小题能否全取] 1.(教材习题改编)侧面都是直角三角形的正三棱锥,底面边长为 a 时,该三棱锥的全 面积是( )

3+ 3 A. a2 4 3+ 3 C. a2 2

3 B. a2 4 6+ 3 D. a2 4 2 2

解析:选 A ∵侧面都是直角三角形,故侧棱长等于 3 4 1 ? ? 2 ? ? 3+ 4 3

a,

∴S 全=

a2+3× ×?

2 ? 2

a?2=

?

a 2.
2,则这个四棱锥的外接球的表面积为

2.已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为 3 ( ) A.12π C.72π 解析:选 B 2
2-

B.36π D.108π 依题意得,该正四棱锥的底面对角线长为 3 2× 2=6,高为

?1 ? ? ×6?2=3,因此底面中心到各顶点的距离均等于 3,所以该四棱锥的外 ?2 ?

接球的球心为底面正方形的中心, 其外接球的半径为 3, 所以其外接球的表面积等于 4π×32 =36π. 3.某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图是一个底边长为 8,高为 5 的等腰三角形,侧视图是一个底边长为 6,高为 5 的等腰 三角形,则该几何体的体积为( A.24 C.64 ) B.80 D.240

解析:选 B 结合题意知该几何体是四棱锥,棱锥底面是长和宽分别为 8 和 6 的矩形, 1 棱锥的高是 5,可由锥体的体积公式得 V= ×8×6×5=80. 3

4.(教材习题改编)表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面

直径为________. 解析:设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r, 则 πrl+πr2=3π,πl=2πr. 解得 r=1,即直径为 2. 答案:2 5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为 2 的等 腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,则该几何体的表面积是 ________. 解析:由三视图可知此几何体的表面积分为两部分:底面积 即俯视图的面积,为 2 3;侧面积为一个完整的圆锥的侧面积,且圆锥的母线长为 2,底 3).

面半径为 1,所以侧面积为 2π.两部分加起来即为几何体的表面积,为 2(π+ 答案:2(π+ 3)

1.几何体的侧面积和全面积: 几何体侧面积是指(各个)侧面面积之和,而全面积是侧面积与所有底面积之和.对侧面 积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行. 2.求体积时应注意的几点: (1) 求一些不规则几何体的体积常用割补的方法转化成已知体积公式的几何体进行解 决. (2)与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性. 3.求组合体的表面积时注意几何体的衔接部分的处理.

几何体的表面积

典题导入 [例 1] (2012·安徽高考)某几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是________.

[自主解答] 示).

由几何体的三视图可知,该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱 (如图所

在四边形 ABCD 中,作 DE⊥AB,垂足为 E,则 DE=4,AE=3,则 AD=5. 1 所以其表面积为 2× ×(2+5)×4+2×4+4×5+4×5+4×4=92. 2 [答案] 92 由题悟法 1.以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之 间的位置关系及数量. 2.多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理. 3.旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用. 以题试法 1.(2012·河南模拟)如图是某宝石饰物的三视图,已知该饰物的正 视图、侧视图都是面积为 3 ,且一个内角为 60°的菱形,俯视图为正 2 )

方形,那么该饰物的表面积为(

A.

3 3

B.2 D.4

3

C.4

解析:选 D 依题意得,该饰物是由两个完全相同的正四棱锥对接而成,正四棱锥的底

?1 ? 面边长和侧面上的高均等于菱形的边长,因此该饰物的表面积为 8×? ×1×1?=4. ?2 ?

几何体的体积

典题导入 [例 2] (1)(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示,它的体积为( )

A.72π C.30π

B.48π D.24π

(2)(2012·山东高考)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,

E 为线段 B1C 上的一点,则三棱锥 A-DED1 的体积为________.
[自主解答] (1)

由三视图知,该几何体是由圆锥和半球组合而成的,直观图如图所示, 圆锥的底面半径为 3,高为 4,半球的半径为 3.

V=V 半球+V 圆锥= · π·33+ ·π·32·4=30π.
23 3 1 1 1 1 (2)VA-DED1=VE-ADD1= ×S△ADD1×CD= × ×1= . 3 3 2 6

14

1

[答案] (1)C

1 (2) 6

本例(1)中几何体的三视图若变为:

其体积为________. 解析:由三视图还原几何体知,该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积 V=V 圆柱-V
圆锥=π×3 2×4-

1 π×32×4=24π. 3

答案:24π

由题悟法 1.计算柱、锥、台体的体积,关键是根据条件找出相应的底面面积和高,应注意充分 利用多面体的截面和旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题求解. 2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则 几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握. 3.等积变换法:利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面.①求体积时,可选择容 易计算的方式来计算;②利用“等积法”可求“点到面的距离”. 以题试法 2.(1)(2012·长春调研)四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,且 PD 垂直于底面

ABCD,N 为 PB 中点,则三棱锥 P-ANC 与四棱锥 P-ABCD 的体积比为(

)

A.1∶2 C.1∶4

B.1∶3 D.1∶8

解析:选 C 设正方形 ABCD 面积为 S,PD=h,则体积比为 1 3

Sh- · S· h- · Sh
32 2 1 3 32

11 1

11

Sh

1 = . 4

(2012·浙江模拟)如图,是某几何体的三视图,则这个几何体的体积是(

)

A.32 C.8

B.24 32 D. 3

解析: 选 B 此几何体是高为 2 的棱柱, 底面四边形可切割成为一个边长为 3 的正方形 1 和 2 个直角边分别为 3,1 的直角三角形,其底面积 S=9+2× ×3×1=12, 2 所以几何体体积 V=12×2=24.

与球有关的几何体的表面积与体积问题

典题导入 [例 3] (2012·新课标全国卷)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,△

ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为(

)

A.

2 6 2 3

B.

3 6 2 2

C.

D.

[自主解答]

由于三棱锥 S-ABC 与三棱锥 O-ABC 底面都是△

ABC,O 是 SC 的中点,因此三棱锥 S-ABC 的高是三棱锥 O-ABC 高
的 2 倍, 所以三棱锥 S-ABC 的体积也是三棱锥 O-ABC 体积的 2 倍. 在三棱锥 O-ABC 中,其棱长都是 1,如图所示,

S△ABC=

3 3 ×AB2= , 4 4

高 OD=

12-?

? 3? ? ?2= 6, ? 3 ? 3 ?

1 3 6 2 ∴VS-ABC=2VO-ABC=2× × × = . 3 4 3 6 [答案] A 由题悟法 1.解决与球有关的“切”、“接”问题,一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作 截面,把空间问题转化为平面问题,从而寻找几何体各元素之间的关系. 2.记住几个常用的结论: (1)正方体的棱长为 a,球的半径为 R, ①正方体的外接球,则 2R= 3a;

②正方体的内切球,则 2R=a; ③球与正方体的各棱相切,则 2R= 2a.

(2) 长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a , b , c ,外接球的半径为 R ,则 2R =

a2+b2+c2.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 1∶3. 以题试法 3.(1)(2012·琼州模拟)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的外接球的表面积为( )

A.2



8π B. 3 16π D. 3

C.4

3

(2)(2012·潍坊模拟)如图所示,已知球 O 的面上有四点 A、B、

C、D,DA⊥平面 ABC,AB⊥BC,DA=AB=BC= 2,则球 O
的体积等于________.

解析:(1)由三视图可知几何体的直观图如图所示. 其中侧面 DBC⊥底面 ABC,取 BC 的中点 O1,连接 AO1,DO1 知 DO1⊥底面 ABC 且

DO1= 3,AO1=1,BO1=O1C=1.
在 Rt△ABO1 和 Rt△ACO1 中,AB=AC= 又∵BC=2,∴∠BAC=90°. ∴BC 为底面 ABC 外接圆的直径,O1 为圆心, 2,

又∵DO1⊥底面 ABC,∴球心在 DO1 上, 即△BCD 的外接圆为球大圆,设球半径为 R, 则( 3-R)2+12=R2,∴R= 2 . 3

∴S 球=4πR2=4π×?

? 2 ? 16π ? ? 2= . ? 3 ? 3?

(2)如图,以 DA,AB,BC 为棱长构造正方体,设正方体的外接球 球 O 的半径为 R,则正方体的体对角线长即为球 O 的直径,所以|CD| = 2
2+

2

2+

2

2=2R,所以

R=

6 . 2

4πR3 故球 O 的体积 V= = 3 答案:(1)D (2) 6π

6π.

1.(2012·北京西城模拟)某几何体的三视图如图所示,该几何体 的体积是( A.8 ) 8 B. 3 4 D. 3 将三视图还原,直观图如图所示,可以看出,这是一个底
正方形 ABCD×PA

C.4 解析:选 D

1 面为正方形(对角线长为 2),高为 2 的四棱锥,其体积 V= S 3 1 1 4 = × ×2×2×2= . 3 2 3

2. (2012·山西模拟)已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上, 且 AB=3,

BC=2,则棱锥 O-ABCD 的体积为(
A. 51 51

) B.3 51

C.2

D.6

51

解析:选 A 依题意得,球心 O 在底面 ABCD 上的射影是矩形 ABCD 的中心,因此棱 锥 O-ABCD 的高等于 51 = 2

?1 42-? ?2

32+22?2=

? ?

51 1 ,所以棱锥 O-ABCD 的体积等于 2 3

×(3×2)×

51. )

3.(2012·马鞍山二模)如图是一个几何体的三视图,则它的表面积为(

A.4π

15 B. π 4 17 D. π 4

C.5π

1 解析:选 D 由三视图可知该几何体是半径为 1 的球被挖出了 部分得到的几何体,故 8 表面积为 7 1 17 ·4π·12+3· ·π·12= π. 8 4 4 4.(2012·济南模拟)用若干个大小相同,棱长为 1 的正方体摆成一个立体模型,其三视 图如图所示,则此立体模型的表面积为( )

A.24 C.22

B.23 D.21

解析:选 C 这个空间几何体是由两部分组成的,下半部分为四个小正方体,上半部分 为一个小正方体,结合直观图可知,该立体模型的表面积为 22. 5. (2012·江西高考)若一个几何体的三视图如下图所示,则此几何体的体积为( )

11 A. 2 9 C. 2

B.5

D.4

解析:选 D 由三视图可知,所求几何体是一个底面为六边形,高为 1 的直棱柱,因 1 此只需求出底面积即可.由俯视图和主视图可知,底面面积为 1×2+2× ×2×1=4,所以 2 该几何体的体积为 4×1=4. 6.如图,正方体 ABCD-A′B′C′D′的棱长为 4,动点 E,F 在棱 AB 上,且 EF=2,动点

Q 在棱 D′C′上,则三棱锥 A′-EFQ 的体积(
A.与点 E,F 位置有关 B.与点 Q 位置有关 C.与点 E,F,Q 位置都有关

)

D.与点 E,F,Q 位置均无关,是定值

? 1 ?1 16 解析:选 D 因为 VA′-EFQ=VQ-A′EF= ×? ×2×4?×4= ,故三棱锥 A′-EFQ 的体 3 ?2 3 ?
积与点 E,F,Q 的位置均无关,是定值. 7.(2012·湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个 边长为 1 的正方形和 4 个边长为 1 的正三角形组成,则该多面体的体积 是________. 解析:由题知该多面体为正四棱锥,底面边长为 1,侧棱长为 1,斜高为 2 1 2 2 ,所以体积 V= ×1×1× = . 2 3 2 6 3 2 ,连接顶

点和底面中心即为高,可求得高为 2 6

答案:

8.(2012·上海高考)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积 为________. 解析:因为半圆的面积为 2π,所以半圆的半径为 2,圆锥的母线长为 2.底面圆的周长 为 2π,所以底面圆的半径为 1,所以圆锥的高为 3 π 3 3,体积为 3 π. 3

答案:

9.(2013·郑州模拟)在三棱锥 A-BCD 中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则 该三棱锥的外接球的表面积为________. 解析: 依题意得, 该三棱锥的三组对棱分别相等, 因此可将该三棱锥补形成一个长方体,

a +b =6 , ? ? 设该长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,且其外接球的半径为 R,则?b +c =5 , ? ?c +a =5 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

得 a2+b2+c2=43, 即(2R)2=a2+b2+c2=43, 易知 R 即为该三棱锥的外接球的半径, 所以该三棱锥的外接球的表面积为 4πR2=43π. 答案:43π 10.(2012·江西八校模拟)如图,把边长为 2 的正六边形 ABCDEF 沿对角线 BE 折起, 使 AC= 6.

(1)求证:面 ABEF⊥平面 BCDE; (2)求五面体 ABCDEF 的体积. 解:设原正六边形中,AC∩BE=O,DF∩BE=O′,由正六边形的几何性质可知 OA=

OC= 3,AC⊥BE,DF⊥BE.
(1)证明:在五面体 ABCDE 中,OA2+OC2=6=AC2, ∴OA⊥OC, 又 OA⊥OB,∴OA⊥平面 BCDE.∵OA?平面 ABEF, ∴平面 ABEF⊥平面 BCDE. (2)由 BE⊥OA,BE⊥OC 知 BE⊥平面 AOC,同理 BE⊥平面 FO′D,∴平面 AOC∥平面

FO′D,故 AOC-FO′D 是侧棱长(高)为 2 的直三棱柱,且三棱锥 B-AOC 和 E-FO′D 为大
小相同的三棱锥, ∴VABCDEF=2VB-AOC+VAOC-FO′D 1 1 =2× × ×( 3 2 1 3)2×1+ ×( 2 3)2×2=4.

11.(2012·大同质检)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是直角梯 形 ABCD,其中 AD⊥AB,CD∥AB,AB=4,CD=2,侧面 PAD 是边长 为 2 的等边三角形,且与底面 ABCD 垂直,E 为 PA 的中点. (1)求证:DE∥平面 PBC;

(2)求三棱锥 A-PBC 的体积. 解:(1)证明:如图,取 AB 的中点 F,连接 DF,EF. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,CD=2,所以 BF 綊 CD. 所以四边形 BCDF 为平行四边形. 所以 DF∥BC. 在△PAB 中,PE=EA,AF=FB,所以 EF∥PB. 又因为 DF∩EF=F,PB∩BC=B, 所以平面 DEF∥平面 PBC. 因为 DE?平面 DEF,所以 DE∥平面 PBC. (2)取 AD 的中点 O,连接 PO. 在△PAD 中,PA=PD=AD=2, 所以 PO⊥AD,PO= 3.

又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD, 所以 PO⊥平面 ABCD. 在直角梯形 ABCD 中,CD∥AB,且 AB=4,AD=2,

AB⊥AD,
1 1 所以 S△ABC= ×AB×AD= ×4×2=4. 2 2 1 1 故三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC=VP-ABC= ×S△ABC×PO= ×4× 3 3 4 3 3 .

3=

12.(2012·湖南师大附中月考)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,其正视 图、俯视图均为矩形,侧视图为直角三角形.

(1)请画出该几何体的直观图,并求出它的体积; (2)证明:A1C⊥平面 AB1C1. 解: (1)几何体的直观图如图所示, 四边形 BB1C1C 是矩形, BB1=CC1 = 3,BC=B1C1=1,四边形 AA1C1C 是边长为 3的正方形,且平面

AA1C1C 垂直于底面 BB1C1C,
1 故该几何体是直三棱柱,其体积 V=S△ABC·BB1= ×1× 2 3× 3 3= . 2

(2)证明:由(1)知平面 AA1C1C⊥平面 BB1C1C 且 B1C1⊥CC1, 所以 B1C1⊥平面 ACC1A1.所以 B1C1⊥A1C. 因为四边形 ACC1A1 为正方形,所以 A1C⊥AC1. 而 B1C1∩AC1=C1,所以 A1C⊥平面 AB1C1.

1.(2012·潍坊模拟)已知矩形 ABCD 的面积为 8,当矩形 ABCD 周长最小时,沿对角 线 AC 把△ACD 折起,则三棱锥 D-ABC 的外接球表面积等于( A.8π C.48 2π B.16π D.不确定的实数 )

解析:选 B 设矩形长为 x,宽为 y, 周长 P=2(x+y)≥4 周长有最小值. 此时正方形 ABCD 沿 AC 折起, ∵OA=OB=OC=OD,三棱锥 D-ABC 的四个顶点都在以 O 为球心,以 2 为半径的 球上, 此球表面积为 4π×22=16π. 2.(2012·江苏高考)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

xy=8 2,当且仅当 x=y=2 2时,

AB=AD=3 cm,AA1=2 cm,则四棱锥 A-BB1D1D 的体积为

________cm3. 解析:由题意得

VA-BB1D1D= VABD-A1B1D1= × ×3×3×2=6.
3 3 2 答案:6 3.(2013·深圳模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AB⊥BD,AB=2,BD= 2,沿

2

2 1

BD 将△BCD 折起,使二面角 A-BD-C 是大小为锐角 α 的二面角,设 C 在平面 ABD 上的
射影为 O.

(1)当 α 为何值时,三棱锥 C-OAD 的体积最大?最大值为多少? (2)当 AD⊥BC 时,求 α 的大小. 解:(1)由题知 CO⊥平面 ABD,∴CO⊥BD, 又 BD⊥CD,CO∩CD=C,∴BD⊥平面 COD. ∴BD⊥OD.∴∠ODC=α .

VC-AOD= S△AOD·OC= × ·OD·BD·OC
3 3 2 2 2 ·OD·OC= ·CD·cos α ·CD·sin α 6 6 2 2 ·sin 2α ≤ , 3 3

1

1 1





当且仅当 sin 2α =1,即 α =45°时取等号. ∴当 α =45°时,三棱锥 C-OAD 的体积最大,最大值为 2 3 .

(2)连接 OB,

∵CO⊥平面 ABD,∴CO⊥AD, 又 AD⊥BC, ∴AD⊥平面 BOC. ∴AD⊥OB. ∴∠OBD+∠ADB=90°. 故∠OBD=∠DAB,又∠ABD=∠BDO=90°, ∴Rt△ABD∽Rt△BDO. ∴

OD BD BD


AB

. 2 2
2

∴OD=

BD2 AB



=1 ,

在 Rt△COD 中,cos α =

OD 1 CD

= ,得 α =60°. 2

1.两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球

O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和 O2 的表面积之和的最小值为(
A.(6-3 C.(6+3 3)π 3)π ) B.(8-4 D.(8+4 3)π 3)π

解析:选 A 设球 O1、球 O2 的半径分别为 r1、r2, 则 3r1+r1+ 3- 2 3 3r2+r2= , 3,

r1+r2=

2 从而 4π(r2 1+r2)≥4π·

r1+r2
2

2

=(6-3

3)π. )

2.已知某球半径为 R,则该球内接长方体的表面积的最大值是(

A.8R2 C.4R2

B.6R2 D.2R2

解析:选 A 设球内接长方体的长、宽、高分别为 a、b、c,则 a2+b2+c2=(2R)2, 2 所以 S 表=2(ab+bc+ac)≤2(a2+b2+c2)=8R2, 当且仅当 a=b=c= 3.右图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆), 则该几何体 的表面积是( A.20+3π C.20+4π ) B.24+3π D.24+4π 3 3

R 时, 等号成立.

解析: 选 A 根据几何体的三视图可知, 该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体, 其中,正方体的棱长为 2,半圆 1 柱的底面半径为 1,母线长为 2.故该几何体的表面积为 4×5+2×π+2× π=20+3π. 2 4.(2012·湖北高考)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以 十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 3 16 9

V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈

V.人们还用过一些类似的近似公式,根据 π=
) 3

3.141 59…判断,下列近似公式中最精确的一个是( 3 16 9

A.d≈

V

B.d≈

2V

C.d≈

3 300 157

V

D.d≈

3 21 11

V

3 6V 4 解析:选 D ∵V= πR3,∴2R=d= ,考虑到 2R 与标准值最接近,通过计算 3 π 6 16 6 6 300 6 21 得 - ≈0.132 08, -2≈-0.090 1, - ≈-0.001 0, - ≈0.000 π 9 π π 157 π 11

8,因此最接近的为 D 选项. 5.(2012·上海高考)如图,AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱,BC=2.若 AD =2c,且 AB+BD=AC+CD=2a,其中 a,c 为常数,则四面体 ABCD 的体积的最大值是 ________.

解析:如图过点 B 在平面 BAD 中作 BE⊥AD,垂足为 E,连接 CE, 1 因为 BC⊥AD, 所以 AD⊥平面 BCE.所以四面体 ABCD 的体积为 S△BCE·AD. 3 当△BCE 的面积最大时,体积最大.因为 AB+BD=AC+CD=2a,所以 点 B,C 在一个椭圆上运动,由椭圆知识可知当 AB=BD=AC=CD=a 时,BE=CE=

a2-c2为最大值,此时截面△BCE 面积最大,为 ×2 a2-c2-1= a2-c2-1,此时四
2 1 2c 面体 ABCD 的体积最大,最大值为 S△BCE·AD= · 3 3 2 答案: c 3

1

a2-c2-1.

a2-c2-1


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